表面涂色的正方体
江阴市城中实验教育集团 卢丽惠
一、教材分析
《表面涂色的正方体》是小学数学苏教版教材第十一册《长方体和正方体的认识》一单元安排的一次综合实践活动。教材将棱长为2、3、4、5的大正方体分别涂色分割成棱长为1的小正方体，让学生借助已有的学习经验，在观察、想象、推理、交流等活动中，发现3面涂色、2面涂色、1面涂色小正方体的个数与大正方体顶点、棱、面之间的关系，探索问题的本质，使学生在探究规律的过程中，进一步积累数学活动经验，感悟数学思想方法，发展空间观念。
二、学情分析
学生已经认识了长方体和正方体的一些特征，如面面相交于棱，三棱交于顶点，这些为理解3面涂色的在顶点、2面涂色在棱上、1面涂色在面上作了必要的知识储备。在这一单元的学习过程中，学生已具备了一些观察、想象、推理、归纳的能力。同时，学生已初步具备提出问题、解决问题的能力，有一定的小组合作意识和合作能力，这为本次活动的展开奠定了基础。
三、教案及教学设计意图
教学目标：
1.将知道：（方法的具体化）
①涂色正方体有4种：3面有色、2面有色、1面有色、0面有色。
②4种涂色正方体有它特定的位置。
③4种涂色正方体个数的计算方法以及规律。
2.会理解：（属性与关联的明朗化）
①通过合作，观察理解几面涂色与其特定位置是有关系的。
②通过合作，观察、分类、操作理解3面有色的个数不变，2面有色、1面有色、0面有
色都跟“棱平均分的份数－2”有关。
③通过归纳理解小正方体不同涂色面个数的规律。
3.能做到：（迁移与运用的综合化）
①能正确计算3面有色、2面有色、1面有色、0面有色小正方体的个数。
②在小组合作中能组装“四阶魔方”，提高小组合作能力。
③在探索规律的过程中，感悟数学思想方法，获得发现规律的愉悦体验，发展数学思维和空间观念，促进理解力进阶。
教学重点：探索2面、1面、0面涂色的小正方体的位置规律及计算方法。
教学难点：理解2面、1面、0面涂色的小正方体一般化的计算方法。
教学准备：多媒体课件、研究单、每组学具：2个3×3×3的正方体、2个10×10×10的正方体、8个3面有色、24个2面有色、24个1面有色、8个0面有色的小正方体。
教学过程：
一、观察，形成猜想
1.先问：这是一个（正方体），把正方体的棱长平均分成2份，切开能得到几个小正方体？
2.再问：这些小正方体有几个面被涂上了红色？
3.明确：把正方体的棱长平均分成2份，可以分得8个小正方体，它们的涂色情况只有一种，都是3面有红色。
4.猜想：如果把正方体的棱平均分成其他的份数，得到小正方体的涂色情况又会是怎样的呢？
【设计意图：通过观察、想象，明确正方体的棱被平均分成2份，切开的8个正方体涂色情况只有一种：都是三面涂色。由此引发学生猜想，激发学生学习兴趣，为进一步探究正方体的棱平均分成其他的份数，得到小正方体的涂色情况作铺垫。】
二、比较，探索规律
（一）举例，明确关联
1. 设问：你想怎么研究？（从简单开始举例研究）
2. 明确：把正方体的棱长平均分成三份，可以得到几个小正方体？（27个）
3. 合作：这些小正方体的涂色情况究竟是怎样的？以小组为单位研究！
4. 汇报：哪个小组愿意来汇报你们的研究成果？
5. 定类：把正方体的棱长平均分成三份，得到小正方的涂色情况一共有四种类型：有的是3面涂色，有的是（2面涂色），有的是（1面涂色），还有的是（0面涂色）。
6. 定向：3面涂色的小正方体跟它所在的位置有关，那其他涂色的小正方体跟位置有没有关系呢？把你的想法在小组里说一说。
7. 交流：哪位同学愿意来交流一下你的想法？
（1）学生自由说。
（2）教师演示说。
8. 小结：把正方体的棱长平均分成3份，得到小正方体的涂色情况和2份是不一样的。我们还发现了小正方体的涂色情况和个数与它所在的位置有关。到底有怎样的关系呢？想彻底弄明白吗？那研究把棱长平均分成几份的呢？4份？5份？还是10份？……
【设计意图：探究规律，一般是从简单想起，借助3×3×3的正方体，通过找一找、数一数、说一说，初步感知涂色小正方体有4类，分别是3面有色、2面有色、1面有色和0面有色，充分感知3面有色的小正方体在顶点，2面有色的小正方体在棱上，1面有色的小正方体在面上，0面有色的小正方体在体中，从而感悟涂色小正方体的个数是与其所在的位置有关系。同时通过设问平均分成（ ）份？把探索逐步推向深入和一般化。】
（二）补例，明朗特点
1. 合作：小组合作研究把棱长平均分成10份的情况，要求先想一想，再算一算，最后记一记。教师巡视指导。
2. 汇报：哪一组来上来汇报一下你们的研究结果？——其他小组有补充或不同的意见吗？
3. 定类:通过研究，我们发现如果把正方体的棱长平均分成10份，小正方体的涂色情况也是四种类型。
4. 深究：（1）为什么三面涂色的还是8个呢?
（2）两面涂色的小正方体的个数是？怎样想的？（板书：棱中）
（3）一面涂色的正方体个数是？又是怎样想的？（板书：面中）
（4）那0面有色的是怎样算出来的呢？这3个“10－2”分别是什么意思？
5.想象：想象力可是一种非常重要的数学能力。一起来想象：
（1）徒手想：伸出手
（2）直观看：一起看
（3）整体想：透视想
【设计意图：借助10×10×10的正方体学具，通过观察，进一步明确了涂色正方体的类型还是只有4类。通过比较，细化这4类涂色正方体的位置，分别在顶点、棱中、面中、心中。
由于棱平均分的份数增多，各种涂色小正方体的个数还可借助算式更能说明白，初步理解算式的含义。通过徒手想、直观看、透视想逐步培养学生空间想象能力。】
（三）扩例，明晰规律
1.推理：如果把正方体的棱长平均分成100份，那3面涂色有（ ）个？
2面涂色的可以怎样算呢？1面涂色的呢？0面呢？
2. 归纳：如果把正方体的棱长平均分成n份呢？你能用算式来表示四种涂色情况的个数吗？写在学习单上。
3. 交流：展示学习单汇报
4.追问：为什么都用了“n-2”？其实不管是2面涂色的，1面涂色的，还是0面涂色的，都跟“棱－2”有关。
5. 小结：今天我们一起研究表面涂色的正方体（板书：课题）。通过观察，我们有了一个猜想；通过举例，我们发现随着正方体棱长平均分的份数不同，小正方体的涂色情况是有所不同的，跟它们所处的位置有关。研究过程中，我们还对不同的例子进行了比较（板书：比较），发现不管正方体的棱长平均分成几份，3面涂色个数是不变的，其他类型的个数是变化的，我们还用式子还归纳了（板书：归纳）其中的变化规律。
【设计意图：通过举例，从正方体的棱平均分成3份、10份，再到100份、n份，从简单到复杂，层层深入的研究，归纳明晰隐藏在其中的一般规律。通过动画演示，空间想象，找到变与不变，明确个数与棱均分的份数与棱－2有关，理解算法，解决了各类涂色正方体个数分别是多少的问题。】
三、操作，运用规律
其实生活中有很多现象都蕴藏着一定的规律，在研究过程中，我们要敢于猜想、学会举例，善于比较，科学归纳，还要把他们运用在自己的生活中（板书：应用）。
1.任务：小组合作组装四阶魔方，先想一想，再算一算，最后拼一拼。
2.组装：小组比赛
3.分享：冠军组分享成功经验。
4.小结：看来，他们不仅分工明确、通力合作，还紧紧抓住了今天所学的知识， 0面在中心，1面在面上，2面在棱上，3面在顶点，甚至还考虑到了他们的组装顺序，先想出了中心，再安装外层。
【设计意图：通过小组合作组装4×4×4的魔方，旨在：1.继续积累活动经验，形成一个完整的归纳推理过程。2.让孩子在学中玩，玩中学，感受到数学是有用的。3.通过小组合作，培养学生的合作能力和竞争意识。4.领悟到所学知识运用到实践中，还要进行变通运用（即先拼0色、再拼1色、然后拼2色，最后拼3色才能拼的又快又好）】
教学反思：
1. 厘清问题的思维指向，激发学习源动力
问题是思维的心脏，不同问题的思维指向是有所差异的。本课，由“魔方”散了怎么办？提出贯穿始终的3个核心问题——表面涂色的正方体有几类？它们的位置分别在哪里？它们的个数分别有几个？围绕它们展开了一系列的研究。在研究的过程中，老师的追问再一次让学生思维碰撞，产生智慧的火花。如“3面有色为什么是8个，有没有可能是7个或者9个？”学生主动将涂色小正方体与位置联系起来，将零碎的课堂提问编织成了一张思维关系网。教师能站在学生的视角，重新审视不同层次、类别的问题解决过程中学生需要经历的思维过程，厘清问题的思维指向，摒弃无效问题，让真实且有挑战性的问题驱动学习的真正生发，从而使学生的理解力进阶。
2.观察操作，多元表征，丰富空间表象
学具是学生数学学习的“拐杖”，教师给学生提供了棱长平均分成3份，棱长平均分成10份的正方体。在小组合作中，学生动手数一数，标一标、算一算、填一填，在操作中感悟其内在规律，丰富了空间观念。本课放手让学生自主参与探究，真正体现了学生的主体地位。教师重视学生在活动中的动手、动脑、动口能力的锻炼，重视培养学生综合运用所学知识解决实际问题的能力，充分体现了“综合实践”重在实践的理念。
3.纵横联系，灵活运用，发展空间想象
教学中通过举例，从正方体的棱平均分成3份、10份，再到100份、n份，从简单到复杂，层层深入的研究，归纳明晰隐藏在其中的一般规律。通过动画演示，空间想象，找到“变”与“不变”，明确个数与棱均分的份数与“棱－2”有关，让学生理解其中的算法，解决了各类涂色正方体个数分别是多少的问题。
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