比是除法吗？

【问题凝视】

六上教材“比的认识”一课中“两个数相除又叫做两数的比”，这句话很容易让学生理解为比是除法的一种形式，对比的概念的掌握就会变成“两个数相除”或者“比是除法”这样单一的理解，而实际上只有在求比值时才用到两个数相除。那么如何打破孩子的定势思维，去进一步思考：比不是除法的另一种表现形式，而是有着自身的特点、意义和价值的，这也是为什么有了除法还要学习比的最佳理由。

【成因透视】

（一）学生对“比”的概念的片面理解

“比”与“除法”不是等价概念，显然孩子对文中描述的：两个数的比表示两个数相除的理解是很不到位的，这并不是“比”的本质概念。概念的要素最为重要的一点是应该让学生认同概念产生的价值，进而引发其对本质特征的关注。数学家们是认可教材描述性的定义方式的——因为数学的研究对象就是抛弃了“具体的量”，是在高度抽象的、形式化的“数”的层面上去研究“比”的。因此数学家们不认可“不同类量的比”，就比如路程与时间的比得出速度，认为那是“物理中的事情”是用数学为工具解决的物理中问题。但对于我们一线老师来说，我们不可能让孩子们脱离具体的量，到抽象的形式的“数”去理解什么是“比”，也不可能在小学里就区分这个是数学中的，那个是物理中的。由此国内外的小学数学教材都设计了具体的情境，通过具体的情境让学生结合可感知的“量”去理解比。也就是说比可以用两个数相除来表示，但不能在“比”和“除法”之间划上等号，不能视为同一个概念。

（二）教师灌输式教学，没有对“比”进行深入探究

我们在教学某一知识点时必须明确它的意义，比如教学分数时，要明确让学生知道分数产生的原因以及分数的意义，但学习比时，对为什么要学“比”却含糊不清，在学习比、分数、除法之间的联系与区别时，也只是让学生明确比的前项在分数中做了分子，在除法中做了被除数，比的后项在分数中做了分母，在除法中做了除数，“比”是一种关系，“分数”是一个数，“除法”是一种运算。对于“比”和“除法”更深刻的区别，就没有再深入地去探究，正因为如此，灌输式的教学才会让学生的思考不会有深刻的体现。

【出路审视】

（一）选取生活中的比，在现象中透析出本质。
    奥苏泊尔指出：“影响学习最重要的因素是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况去教学。”数学教学活动必须把握好学生的学习起点，在学生原有认知水平的基础上组织及展开教学活动，不断地发展、改造、完善学生的已有经验。

很多教学资料将比定义为两个同类量之间的倍数关系，显然比绝不仅仅只是表示相除关系的一种形式，它反映的是一种关系，形式是现象，关系才是本质。
因此本节课就摒弃传统的由除法引入的教学设计，而是选取生活中比的一些实际事例引入教学，引导学生从“份数”出发，从变化的两个数当中去发现不变的是两个数之间的倍数关系，从而对比的本质也有了更为科学的理解，它体现着量与量之间的倍数关系，使学生初步抓住了比的本质特征。

（二）辨析事例中的比，在理解中拓展其深度。
    概念教学往往需要通过正例和反例来提升学生认识概念的清晰度。除法只能表示两个量之间的关系，而比则更加强调对量与量之间倍数关系的描述，并且比能表示出两个、三个乃至更多个量之间的倍数关系。
    这节课设计的三个生活当中比的事例的对比辨析，照片中的比利用的是“长方形的形状不能改变”这个特点，让学生进一步感悟比的意义，理解比的本质；而在篮球赛当中的比分是一种差比关系，跟前面的比进行了对比，认识到本课学习的比是一种倍比关系，这一过程引领学生去伪存真，让学生能更为深刻的去思考和理解比；那么做面包中的比，除了加深学生对比的理解外，更为重要的是它引出了三个量，甚至更多个量的比，拓展了学生对比的本质的理解，也提升了学生对概念理解的深度和广度。

（三）联结概念中的比，在系统中建构出整体。

概念同化的心理过程都应经历以下几个阶段！：1.辨认。2.同化。3.强化。建立新概念与原有概念之间的联系，把新概念纳入原有的认知结构，使新概念赋予新的意义。通过将新概念与某些相关概念进行比较时，应把原有的认知结构和新的知识连接起来，让新旧知识发生作用，在同化和顺应的学习活动中，加强新旧概念的联系沟通，促进学生对新知的深刻理解，又能通过比较新旧概念的差异，理清之间的联系与区别，形成网状的知识脉络，实现概念系统的整体建构，促使学生的概念认知得到进一步的发展。

本课除了采用“照片像不像”、“果汁与水的比”以及“树高与影长的比”等这些同类量比，还要注重比产生的“源”，同时也不能忽视像路程、时间这样不同类量的比，因此在概念初具雏形后，适时的呈现这些不同类量的比的材料，以便完善比的内涵，帮助学生建构起完整的比的系统概念。

【片段重构】

一、探究新知，课前同学们已经预习了本节课的内容，都有什么收获？
生1:今天我们学习的比的内容有比号、前项、后项、比值等知识。
生2:我妈妈做果汁饮料时，纯果汁饮料和水的体积比是3:2。
初步认识表示倍数关系的比
课件出示:医院消毒用的医用酒精的主要成分是乙醇，它是由乙醇和水按体积比3:1配制的。
师：仔细观察图上的信息，你能找到的是什么的比？
生：是乙醇和水的体积的比。
师：“乙醇和水的体积比是3:1”是什么意思呢？
生：医用酒精含有乙醇和水，一定量的医用酒精中如果乙醇的体积占三份，那么水的体积就占一份。
师生模拟配制医用酒精，教师板书乙醇和水的体积的用量。
师：仔细观察这些数据，你发现了什么？
生：乙醇用量一直是水的三倍。
师：这个过程中什么在变？什么始终不变？
生1：总量在变，但是乙醇和水的体积的比始终没有变，也就是乙醇的体积是水的三倍。
生2：乙醇和水的用量在变，但乙醇和水的倍数关系不变。
师：就像同学们说的，比表示两个数相除的倍数关系，前项和后项可以不断的变化，但倍数关系不变，乙醇的体积始终是水的三倍。
2.辨析比分与数学中的比。
课件出示：1.做面包时，面粉与水的质量比是2:1
          2.照片的长和宽的比是5:3
          3.2018年亚运会男篮决赛中，中国队84:72赢了伊朗队夺冠
师：图中的这些比有没有前面我们讨论出的变化特点呢？
学生先独立思考再小组交流，最后全班汇报交流。
生1：照片中的比是按照一定的比例来放大和缩小的，只是照片本身会变大或变小。
生2.：照片的大小虽然有变化，但照片中的比也像配制医用酒精中的比一样，具有倍数关系不变的特点。
课件演示照片长宽的变化。
师：仔细观察照片，在变的过程中有没有发现什么不变？
生：长和宽的比值没有变，也就是说长变大，宽也变大了，但他们的变化是一致性的。
师：是呀，只有长宽同时变化，照片才不会变形，从而得出长和宽的比具有倍数关系且不变。
师：对第三幅图中篮球赛的比分，你有什么看法？生1：我觉得篮球赛的比分能表示两个球队的得分对比情况，应该是我们学习的比。生2：我不这么认为。因为篮球赛中的比分随着比赛进程不断变化，并不具有不变的特性。
师生共同模拟篮球赛的比赛过程，了解比分的形成。
师：篮球赛中比分是体现两个队的比分差别，是一种两个数量相差的关系，它的变化没有规律，是随机的，而我们本课要研究的比是体现两个数量之间的一种倍比关系，所以这不是我们数学上研究的比，仅仅是比赛的得分纪录而已。
师：第一幅图中的比是我们今天学习的比吗？生：第一幅图中的笔也具有倍数关系，并且倍数关系不变，所以是我们学习的比。
师：如果不按照这个比取原料，比如面粉取100克，水也取100克，结果会怎么样呢？
生：那样的话水相对比较多，面包和水的比不是2:1，可能就做不出面包了。
师：做面包时用到的原料不止面粉和水，还有鸡蛋、糖等，那能不能用比把它们的关系也表示出来呢？
师：假如做面包时要用到面粉两份，水一份，鸡蛋一份，怎样表示这三个量的关系呢？
生：2:1:1。
师：所以比还可以表示三个量或者多个量的倍数关系。
3.回顾感知比的优点。
师：刚才我们研究了生活中的比，你能说一下什么是比吗？
生：比是表示数量之间的倍数关系。
师：为什么人们喜欢用比来表示数量之间的倍数关系呢？用比表示比较简单，很容易看出倍数关系。

二、巩固提高，基础应用。
师：你会写比吗？请试着完成下面几道题？课件出示：四年级一班有45人，其中男生23人，女生22人。
男生人数与女生人数的比是（       ）
男生人数与全班人数的比是（       ）
女生人数与全班人数的比是（       ）
学生独立完成后交流。
2，拓展提高。师：下面的信息能不能用比来表示？如果可以，请把比写出来。
课件出示：1.婴儿的头约占身体的1/4。
     2.小宇的身高是145厘米，他弟弟的身高是1米。
     3.妈妈用20元钱买了4千克黄瓜。
学生独立思考，写比，全班交流。
第一题关注如何分析头是一份、身高是4份。
第2题看学生是否会注意到单位不同，需要转化为相同的单位。
生1：第3题能不能写成比，因为单位不一样。生2：我认为能写成比，因为20元钱买4千克黄瓜相当于5元钱买一千克黄瓜。
师板书：20：4。
师：这个比的前项是什么？后项又是什么？生：前项是总价，后项是数量。
师：这个比表示的确实不是倍数关系，那总价和数量的比能得出什么呢？
生：20÷4＝5（元/千克）是单价。
师：这个比的比值是一个新的量，表示单价，我们以前就知道总价除以数量等于单价，今天学了比后还可以说单价就是总价和数量的比。
师生讨论“路程和时间的比就是速度”。
师：一个小小的比竟然隐藏了这么多关系，这是我们以前学过的分数和除法都做不到的。
三、回顾整理
师：同学们，我们一起来回顾一下本节课的学习过程。我们通过生活中比的事例初步认识了比，知道了比表示两个量相除的倍数关系；通过对不同事例中的对比辨析，明确比赛中的比分，不是数学上的比，进一步掌握了比还可以表示多个量之间的倍数关系；通过运用学到的知识解决实际问题，从而发现不同类量的比的比值是一个新的量。通过学习我们不难发现，数学知识来源于生活，同时又服务于生活，希望同学们做生活中的有心人，发现更多数学知识。

遵循学生的认知特点，将抽象的概念置身于现实背景中去理解，发展学生已有的数学经验，理清它们之间的联系与区别，建构完整的概念系统，不断优化学生的认知结构，更有利于提高和发展学生的数学思维和数学理解，这是把握概念教学的重要原则和策略，也是“比的意义”这节课带给我们的启示。

(江阴市城中实验小学  沐涯曲)