今天认真阅读了《小学数学教材中的大道理》一书之课题14：“用平移来定义‘平行’并不妥当”，主要讨论的是小学数学教材中的“平行”与平移这两个内容间的逻辑顺序该怎么厘清的问题。因为昨天刚看完了课题13，也是讲的有关“平行”的话题，所以今天看这个课题，并不觉得累人。但是看完后，有些地方觉得愈发地糊涂，这可能是因为张、任、巩三个专家的观点不太一致的原因吧。虽然三个专家都摆明了自己的观点，也都有合理的论据来支撑，但由于观点不一致，导致争论到最后也没形成一个定论：用平移定义“平行”，究竟行不行？
静下心来想想，没有定论或许也是一件好事，没有定论意味着我们需要独立思考，需要在专家们观点的基础上去判断、去辨别、去选择，进行批判性地思考，然后形成自己的答案，这有利于培养我们的批判思维与专业反思能力。
在将专家们的观点一一咀嚼、消化、反思的过程中，我发现他们争论的焦点，莫过于一个字——“序”，其实他们争论的就是：如何正确处理知识序与学生的认知序？于是，一个关键词开始出现在我脑中：“三序合一”。围绕“三序合一”，我开始静心思考，慢慢地，本来模糊的东西开始变得清晰，本来存在的疑问慢慢澄明。
一、“三序合一”：小学数学教学一个重要的命题
理想的课堂，应该追求“三序合一”的境界，即应该是知识序、认知序和教学序的有机统一。所谓知识序就是知识点在所处的某一知识体系当中的顺序。任何一个知识点的学习，都必须有相应的下位知识做支撑，下位知识缺失，知识点的学习根本无法完成。所谓认知序即学生的认知规律、认知过程和认知现实。所谓教学序是课堂教学的流程。
这三序中，我觉得知识序应当排在首位。就“平行”这节课而言，要了解平行的知识序的话，不妨可以学习一下数学史，从数学的源头来考察一下平行这一本体性知识的内涵。于是，我认真查阅了《数学符号史》《小学数学的基础理论》等数学工具书，了解到了人类对平行线的研究历程及欧几里德在《几何原本》中对平行线的阐述。
人类对平行线经历了几千年的研究。公元300年左右，欧几里德在《几何原本》中提出了著名的平行公设（第五公设），即“同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线两侧的两个内角之和小于180度，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。”意思是说，同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和等于180度，这两条直线一定不相交，也就是平行。它引发了几何史上最著名的长达2000多年的关于“平行线理论”的讨论。正因为平行公设难于理解和证明，所以如今中小学数学中都把“同位角相等，两直线平行”和“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”等公理当作平行公理，帮助学生理解平行线理论。
其实在公元前4世纪，我国战国时期的《墨经》中对平行线就有了相关记载。墨子说：“平，同高也。”意思是说，平行线是指两条直线中，一条直线上的各个点到另一条直线的距离都相等的两条直线。这与欧几里德几何学定理“平行线间的公垂线相等”的意思相同。
通过文献学习，我对平行的发明史有了进一步的了解，在这过程中，我发现《几何原本》中提出了著名的平行公设，已经将平行的定义“平行线间的公垂线相等”讲得非常清楚，这也说明了数学家们真的非常伟大，尤其佩服的是早在公元前4世纪，墨子就已经对平行的本质有了深刻的认识，他提到的“平行线是指两条直线中，一条直线上的各个点到另一条直线的距离都相等的两条直线”的结论，用到了“距离”的概念，而“距离”的概念仍立足于“垂直”的基础之上，本质上仍然归结为“两条直线同时垂直于第三条直线叫平行线”的平行线定义。由此可见，不管是墨子还是欧几里德，他们对平行的定义都能归属于平行本质中“方向相同”这一朴素的认识观。
二、“三序合一”：究竟离我们有多远？
就本节课而言，能否用平移来定义平行，这其实是一个知识序与认知序的考量。如果从数学知识本身的序而言，平行是属于下位概念，平移才是上位概念，如果用平移来定义平行，那就是用上位概念来定义下位概念，很明显，这完全颠倒了知识的序。但是从学生的认知序而言，平移又是学生学习平行的一个重要的生活经验，是学生的认知现实，所以用平移来定义平行，又是符合学生的认知顺序的。这样就形成了一种作为知识序与认知序之间的悖论，这也是专家们矛盾争论的焦点所在。
作为一线老师，其实我更关心的是教材序。因为教材是一线老师使用的蓝本，所以教材的序决定了一线老师的教学序。但是从目前的教材来看，其实教材本身的知识序也并不严密。在课题14中已经介绍了北师大版教材中平移与平行之间的知识序之间的问题，我们再来看看苏教版的教材（如下图），虽然没有用平移来定义平行，没有出现“混而有错”的现象，但是仅仅用三组直线，就来定义平行线，其实也是有一些问题的。
首先，图片给出的例子明明是线段，凭什么说“根据上图可以画出下面三组直线”。其次，教材中提出的问题是：“这三组直线哪些相交，哪些不相交”？那么，究竟怎样才能判断相交与不相交？仅仅是凭直观观察来判断吗？张教授反复指出：在小学阶段的几何学习，只有通过折叠等操作，以及实际“画”出来的直观方式，感知“平行”，理解“平行”。学生凭观察就能理解平行吗？第三，“像这样不相交的两条直线叫平行线”，这是一个描述性的定义，没有体现平行的本质：“两直线若同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行。”
通过以上分析可知，目前关于“平行”这一知识，有些教材只遵循了学生的认知序，但没有遵循知识本身的序，导致了知识序与学生认知序的分离；有些教材虽然没有违背知识本身的序，但却没有很好地考虑学生的认知序。教材到底怎么样才能既体现知识序，又体现学生的认知序，实现知识序与认知序的完美统一呢？
我想，就目前的教材而言，可能并没有很好地解决这个问题，而也正是因为有这样的问题，使得一线老师很难把握“平行”的本质，也很难去科学、有效、合理地去设计教学的序。这样一来，知识序、认知序、教学序就无法和谐地统一在一起。这样的问题需要我们理性地、慎重地对待，这些问题，有的可能是教材编写者要着重考虑的，有的是一线老师要去思考的。
三、“三序合一”：能否让“平行”教学更敞亮？
三序合一，就目前看来，这还只是一种理想的教学境界，事实上，我们离“三序合一”的境界还很远。
就“平行”而言，如何要做到三序合一，前提条件是首先要遵循知识本身的序，也就是张教授所指出的“先有平行才能有平移”，不能用平移来定义平行。
其次，在遵循知识序的基础上，要考虑到学生的已有经验，如张教授所言：“平行是老百姓非常认可的一个概念，平行移动是普通概念中的一种而已。平行作业、平行运输、平行工作都是平行，所有的平行并不只是一个数学概念。如果你的目标、你的方向、你的工作要求都是一样的，就是方向相同，就是不相交，各搞各的，彼此不要来往，就是这样一种思想，这个是最普遍的。”
我觉得学生对平行还是有现实基础的，所以我们可以从平行这一现实生活中的概念出发，通过“方向相同”这一“方向直觉”来让学生理解“平行”的内涵，这完全是可行的。这样一来，知识序与学生的认知序才能真正地相融，然后教师根据这样的两个序，再来进行教学流程的设计，将教学序与知识序、认知序合三为一，达成数学教学的和谐统一。
我想，这或许是我今后要努力的方向吧。虽然还没践行，但只要方向是对的，我坚信总会有春暖花开的一天！