毛新薇:更名缘于解读 突破缘于思考 ——读《小学数学教材中的大道理》课题9随感 2020-03-06
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今天认真阅读了《小学数学教材中的大道理》一书之课题9:“建议为‘分数的基本性质’直称为‘分数的相等性质’,好不好”。主要讲了将“分数的基本性质”进行更名的问题,应该说,几年前我就在《小学教学》杂志上读过这篇文章,留下了深刻的印象,所以这次不能算是学习,只能算是重温。在重温的过程中,我愈加佩服于先生的学识、睿智及对小学数学教材的洞察力,正是因为先生解读得透,洞察得深,敏锐地发现了“分数的基本性质”背后重要的数学思想——“等价类”,才会发现“分数的基本性质”这一大家习以为常的名称背后的问题,才会进行有益的更名与突破。

 

一、何谓等价类?

 

张先生在书中指出:把分数的基本性质改称为“分数的相等性质分数的这一“相等性质”, 其数学价值在于揭示多元表示”和“等价类”的数学思想方法。

“等价类”是一个重要的数学思想方法。 它是“分类”数学方法的引申。分类之后,在同一类中的对象就具某种等价性。 这在后续课程中应用极其广泛。

 

应该说,教了这么多年“分数的基本性质”,我都只关注知识与技能,从来不知道这一知识背后还有这么重要的数学思想,被张先生一点拨,我恍然醒悟。是的,分数运算之难,在于通分。学生不知道为什么要扩分、通分、约分,明明是同一个分数,老是化来化去,其实,这里就藏着一个很深刻的思想:“等价类”。等价类是一个很普通的名词。等价类是一个很普通的名词,字面上理解是等价类里面的元素,按照某种等价关系彼此相等。

 

在一个集合中,我们可以提出一种关系,来判断两个元素是否等价。如果这种集合中的元素具有自反性、对称性和传递性,在数学上就可以称为等价关系。在实践中,我们常常利用等价关系对所研究的事物进行分类,按等价关系进行分数是一种分类的抽象方法,广泛地运用于各种情况。

 

二、还有哪些等价类?

    

当我知道“分数的基本性质”的背后是“等价类”的数学思想后,我就开始思考:除了“分数的基本性质”,数学上还有哪些也蕴含了“等价类”的数学思想?书中张先生提到了一个“角的相等性质”的例子,他认为按“等价类”的数学思想,可以将角重新进行定义为:“如果画出的两个角有相同的顶点,两条边彼此重叠(不必一样长),就认为这两个角是相等的。这儿也用到了“等价类”的思想。

 

除此外,我还想到了与“分数的基本性质”相关的一些其他的性质,比如:商不变的性质、比的基本性质、比例的基本性质,如果按照这样的思路,是否也可以进行一定的更名呢?比如:比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数,比值不变,这叫做比的基本性质,这儿是否可以更名为比的相等性质?在这个性质中,也存在着“等价类”的思想,比如2:3=4:6=6:9=……,这就是彼此等价的一类比,这类比的形态就是“比的基本性质”。

 

三、分数基本性质背后“等价类”思想有何用?

 

我觉得,分数基本性质背后的“等价类”思想,最重要的一个作用就是异分母加减法。分数的四则运算是建立在整数运算的基础上,其本质都是“相同计数单位个数的运算”。但是,由于分数的表示不唯一,在运算时需要约分、扩分、通分、公倍数、公因数等运算技能,成为了学习的难点。从数学学科本位知识探讨这个问题,用到了一个深刻的思想,即“等价类思想”。

 

在异分母分数加减法的教学中,我们会设计一系列的环节,让学生知道:只有统一分数单位才能相加减。这其实就是等价类不同形态分数存在的价值,但是我们可能只停留在这一步:只有相同分数单位的数才能相加减,而没有在原来的基础上再往前走一步,如果我们能够站在“等价类”这一数学思想的高度,能够在学生顺利计算出结果的基础上,进行深层次的追问,学生会对等价类分数有更深刻的认识。

 

笔者曾见过一个课例,在帮助学生提炼“等价类”思想方面做得比较成功。教师先让学生解答下面四道题,然后组织学生讨论:① 每题算式中都有2/3 ,在计算时分别扩分成了哪些分数?② 为什么要将2/3 扩分成其他形态的分数?(统一分数单位)③ 将2/3 扩分成哪个分数,依据是什么?(根据另一个分数分母的特点)

 

 

 

 

 

 

在学生讨论的基础上,教师作适当小结:这组分数,最具代表性的分数是2/3,在运算时需要根据其他运算分数分母的特点扩分成不同形态的分数。好比是一个人有不同的装束:校服、运动服、休闲服、西装……在学校上课需要穿校服,运动时穿运动服,生活中穿休闲服,舞台上穿西装……但不管穿什么衣服,都是同一个人。这样的比喻尽管不能完全准确,确让学生体会到数学的原始思想其实也很平常,更易使学生理解。

 

总之,以后我们在教学分数的意义、分数的基本性质、分数加减混合运算等内容时,需要站在“等价类”数学思想的高度,对原有的知识作进一步补充和提炼,更好地去挖掘例题、习题的教学功能,引导学生多想一步往往会使学生对分数的认识更深一步。