今天认真阅读了《小学数学教材中的大道理》一书之课题9：“建议为‘分数的基本性质’直称为‘分数的相等性质’，好不好”。主要讲了将“分数的基本性质”进行更名的问题，应该说，几年前我就在《小学教学》杂志上读过这篇文章，留下了深刻的印象，所以这次不能算是学习，只能算是重温。在重温的过程中，我愈加佩服于先生的学识、睿智及对小学数学教材的洞察力，正是因为先生解读得透，洞察得深，敏锐地发现了“分数的基本性质”背后重要的数学思想——“等价类”，才会发现“分数的基本性质”这一大家习以为常的名称背后的问题，才会进行有益的更名与突破。

一、何谓等价类？

张先生在书中指出：把分数的基本性质改称为“分数的相等性质分数的这一“相等性质”， 其数学价值在于揭示多元表示”和“等价类”的数学思想方法。

“等价类”是一个重要的数学思想方法。 它是“分类”数学方法的引申。分类之后，在同一类中的对象就具某种等价性。 这在后续课程中应用极其广泛。

应该说，教了这么多年“分数的基本性质”，我都只关注知识与技能，从来不知道这一知识背后还有这么重要的数学思想，被张先生一点拨，我恍然醒悟。是的，分数运算之难，在于通分。学生不知道为什么要扩分、通分、约分，明明是同一个分数，老是化来化去，其实，这里就藏着一个很深刻的思想：“等价类”。等价类是一个很普通的名词。等价类是一个很普通的名词，字面上理解是等价类里面的元素，按照某种等价关系彼此相等。

在一个集合中，我们可以提出一种关系，来判断两个元素是否等价。如果这种集合中的元素具有自反性、对称性和传递性，在数学上就可以称为等价关系。在实践中，我们常常利用等价关系对所研究的事物进行分类，按等价关系进行分数是一种分类的抽象方法，广泛地运用于各种情况。

二、还有哪些等价类？

当我知道“分数的基本性质”的背后是“等价类”的数学思想后，我就开始思考：除了“分数的基本性质”，数学上还有哪些也蕴含了“等价类”的数学思想？书中张先生提到了一个“角的相等性质”的例子，他认为按“等价类”的数学思想，可以将角重新进行定义为：“如果画出的两个角有相同的顶点，两条边彼此重叠（不必一样长），就认为这两个角是相等的。这儿也用到了“等价类”的思想。

除此外，我还想到了与“分数的基本性质”相关的一些其他的性质，比如：商不变的性质、比的基本性质、比例的基本性质，如果按照这样的思路，是否也可以进行一定的更名呢？比如：比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变，这叫做比的基本性质，这儿是否可以更名为比的相等性质？在这个性质中，也存在着“等价类”的思想，比如2：3=4：6=6：9=……，这就是彼此等价的一类比，这类比的形态就是“比的基本性质”。

三、分数基本性质背后“等价类”思想有何用？

我觉得，分数基本性质背后的“等价类”思想，最重要的一个作用就是异分母加减法。分数的四则运算是建立在整数运算的基础上，其本质都是“相同计数单位个数的运算”。但是，由于分数的表示不唯一，在运算时需要约分、扩分、通分、公倍数、公因数等运算技能，成为了学习的难点。从数学学科本位知识探讨这个问题，用到了一个深刻的思想，即“等价类思想”。

在异分母分数加减法的教学中，我们会设计一系列的环节，让学生知道：只有统一分数单位才能相加减。这其实就是等价类不同形态分数存在的价值，但是我们可能只停留在这一步：只有相同分数单位的数才能相加减，而没有在原来的基础上再往前走一步，如果我们能够站在“等价类”这一数学思想的高度，能够在学生顺利计算出结果的基础上，进行深层次的追问，学生会对等价类分数有更深刻的认识。

笔者曾见过一个课例，在帮助学生提炼“等价类”思想方面做得比较成功。教师先让学生解答下面四道题，然后组织学生讨论：① 每题算式中都有2/3 ，在计算时分别扩分成了哪些分数？② 为什么要将2/3 扩分成其他形态的分数？（统一分数单位）③ 将2/3 扩分成哪个分数，依据是什么？（根据另一个分数分母的特点）

在学生讨论的基础上，教师作适当小结：这组分数，最具代表性的分数是2/3，在运算时需要根据其他运算分数分母的特点扩分成不同形态的分数。好比是一个人有不同的装束：校服、运动服、休闲服、西装……在学校上课需要穿校服，运动时穿运动服，生活中穿休闲服，舞台上穿西装……但不管穿什么衣服，都是同一个人。这样的比喻尽管不能完全准确，确让学生体会到数学的原始思想其实也很平常，更易使学生理解。

总之，以后我们在教学分数的意义、分数的基本性质、分数加减混合运算等内容时，需要站在“等价类”数学思想的高度，对原有的知识作进一步补充和提炼，更好地去挖掘例题、习题的教学功能，引导学生多想一步往往会使学生对分数的认识更深一步。