今天认真阅读了《小学数学教材中的大道理》一书之课题7、8，其中课题7中“究竟为什么要学习分数？教材交待得不大清楚”。讲的是分数与包含除的关系，看完后我又一次脑洞大开，对分数的本质有了更深入的了解与把握。

一、包含除也是分数平均分的一种情形

张先生在书中指出：“我国的分数定义是 :“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫作分数。”这样的定义，必须要预先知道平均分为几份。但是许多情境是难以做到的。事实上，对一个平均分问题，有两种情形：情形1 ：先知道“分几份”，然后问所分的那份结果的大小。这是用分数表示“整体里的一个部分有多大”。例如4等分月饼，问每块多大？答案是四分之一 。情形2 ：先知道分到的一部分的大小，然后问“该部分在整体中占多大？”。至于整体要平均分为几份，那是需要计算或测量的。”

说实话，我教“分数的意义”很多年，从来没有对分数的定义有个批判与质疑，从来没有想过分数竟然与除法一样，也有两种情况：等分除与包含除。

张先生又指出：“分数的定义单纯用平均分的情形1作为引例进行概括，是不够的。过分强调，不求发展，将会带来呆板的思维定势。尤其因为“分数是整数之比”。以后分数的应用，多半会涉及部分与整体的比例关系，即情形2的问题。这一现象似乎还没有引起广泛的注意，课程标准和教材也都没有充分关注。因而建议从理论和实践上进行研究，妥善处理。”

反观现行教材与教学，我们确实对分数中包含除这一情形重视不够，虽然教材中也经常有这样的例子，如：“一盒铅笔有15支。以一盒作为一个整体。如果我取出其中的5支，试问它占整体的几分之几？”我在讲的时候，没有上升到包含除的高度，而是直接引导学生观察问题特点，明确这是“求一个数是另一个数的几分之几？”的类型，然后总结出解题公式“一个数除以另一个数=几分之几”，让学生按照公式，用分数除法的知识来求解。现在想想，可能学了分数与除法的关系以后，这类题可以这样解，但是在分数的意义一课时如果遇到此类问题，更应引导学生从包含分的角度来理解。

二、作为“行为”的分数与分数的产生

分数是一个内涵丰富的数学概念，是人们比较早就认识了（仅次于自然数）的数（在古埃及保留下来的资料中就有分数），在数学发展史中具有重要的地位。分数是在实际度量和物品均分中产生的，分数的产生经历了一个漫长而艰辛的过程。开始时，将物体一分为二，于是产生了原始的分数概念，或者叫做分数概念的萌芽，这也几乎是世界各民族分数概念的共同渊源。在此之后，才逐渐出现了三分之一、三分之二等简单的分数。

从上可知，分数的产生与“行为”有关，这是我们在分数的初步认识与分数的再认识中需要着重把握的——作为“行为”的分数。一般来说，学生学习分数不是从分数概念的符号或者语言入手，而是从分数的“产生”入手。即理解分数首先是从“行为”（平均分物体）入手。从“行为”的角度看，怕了“平均分”（也就是张先生说的等分除）认识分数外，测量也是认识分数的重要途径。当测量“连续的量”时，首先需要选定“度量单位”，“数”被测量物体包含多少个“度量单位”。这儿就涉及到了张先生所提到了第2种情形——包含除的分数。

三、如何明析分数中的等分除与包含除

对于分数，有两种平均分的类型，仔细分析，情形一中等分除的问题是从整体到部分，问的是部分“有多大 ”，而情形2中包含除的问题则是从部分到整体，即已知部分的大小，问其整体含有几个部分，部分在整“占多少 ”。从数学思维上看，如何用一个数来表示 “有多大 ”和“占多少 ”，思维的方向和目的是不一样的。

分蛋糕是分数的几何模型，铅笔份额是算术模型。问题具有几何直观性，更加贴近学生的生活，比较容易理解问题。问“部分 占整体的几分之几 ”，是纯粹的数量问题，没有几何背景，理解起来相对困难些。但是它在数学上更为深刻。这一问题直接影响到对分数与除法关系的解释，分数除法的颠倒相乘算法，以及比、比例、百分比等知识的理解与应用。因此在教学中要重点加以关注，反复训练，形成数学直觉，养成数学技能。

经过今天的学习，我对分数的理解走原来单一的定义理解走向了多维度的理解，在以后教学“分数的意义”时，我会根据等分除与包含除这两种情形，在教学时提供多种不同的“实物模型”，在分割中使学生逐步体验分数含义的多样性与复杂性。同时我会根据学生认识分数的心理特征，精心设计，精心控制，逐步提升学生在抽象的水平上理解分数。