【推荐理由】就数学学习而言，是否理解数学知识以及理解到何种程度，无疑是至关重要的。在数学学习过程中，学生所运用的学习素材，所采用的学习方式，所经历的学习过程，所进行的数学思考，都在一定程度上决定了其对数学知识的理解深度。“做数学”是学生运用材料和工具，在动手动脑相协同的过程中，通过操作体验、数学实验、综合实践等活动，理解数学知识、探究数学规律、解决问题的一种数学学习方式，是发展数学核心素养、实现数学学科育人的一种范式。“做数学”的过程，丰富了知识的表征方式，还原了知识的产生过程，触及了知识的基本原理，为抽象的数学知识直观化、可视化创造了条件，成为促进学生深度理解数学知识的一条重要路径。

在“做数学”中丰富表征方式，深度理解数及计数法

对数学知识的理解，需要避免简单记忆和机械运用，重要的是通过多样而准确的表征方式，丰富知识的外延，指向知识的内涵。“做数学”的过程必然伴随着对数学材料或数学工具的操作，数学材料、工具的丰富性与典型性，以及操作过程中学生多样化和个性化的操作结果，为丰富知识的表征方式提供了可能。

以认识自然数为例，基于小学生以动作和表象为主要特征的表征方式，紧扣抽象出数和掌握十进位值制计数法这两个关键环节，让学生经历“做数学”的过程，帮助学生实现对数及计数法的深度理解。

认识自然数是学生学习数学的起点，也是数学知识体系基础中的基础：不仅是后续学习数学知识的基础，其中抽象出数的过程所蕴含的数学思想方法以及由此所获得的数学活动经验，同样构成了后续学习的基础。

史宁中教授认为，数量是对现实生活中事物量的抽象，数是对数量的抽象，对应是实现这种抽象的方法之一，也是适合小学生认知水平的方法。怎样引导学生运用对应的方法逐步抽象出数? 可以设计如下“做数学”的过程：第一步，从实际场景中分离出计数对象；第二步，用小棒一一对应地表达数数的过程；第三步，观察摆出的小棒，将同样的情况归类；第四步，判断生活场景中还会有哪些物体也可以用同样的小棒表示；第五步，对照小棒的多少，尝试用同一数字符号表示。上述过程大致如图1所示。

上述活动的关键在于，在符号化之前，通过“做”的过程对“对应”形成了真切而具体的体验，同时感知了数的丰富表征。这样，学生对数概念的理解就不会停留在机械地数数，更不会只是抽象地读数和写数，而是赋予了数现实的意义，体会到数与现实之间的紧密联系。进一步地，为了丰富学生对10 以内数的结构的认识，我们还可以让学生运用如图2所示的特定计数工具来表示数，让学生体会同一个数的不同表征方式，进而帮助学生形成良好的数感。

对于十进位值制计数法的理解，可以借助计数器的操作来实现。计数器作为半抽象的表征工具，可以很好地帮助学生由具体过渡到抽象，或解释抽象的数所表示的具体含义。利用计数器实现对计数法的深度理解，其中具有典型意义的是以下两个操作过程：

一是从方块（小棒）的具体表征，过渡到计数器的半抽象表征。其价值在于，从方块（小棒）计数过渡到计数器计数时，引入数位概念，并在对应数位上用几粒算珠表示几个十（百、千……），这就为学生搭建了一个半抽象的桥梁，从而在“做数学”的过程中直观地感知位值计数。

二是利用计数器体会“满十进一”。对于“满十进一”的理解，较为典型的操作过程是：在计数器上表示出999 后，如果继续添上1，如何从个位拨起，逐步向前一位进一，最后拓展出千位，并表示出1000。

上述过程，一方面丰富了数的表征方式，另一方面通过计数器等具有半抽象特性的工具操作， 在“做数学”的过程中，让静态的数学知识得到动态的呈现。这样的过程，有助于学生对数及计数法的深度理解。

在“做数学”中经历构造过程，深度理解图形性质

理解并掌握图形的性质是认识图形的核心内容。对图形性质的认识并不是仅基于图形的定义进行推理的结果，更重要的是从图形本身出发所获得的发现。这种发现的过程可以设计成“做数学”的过程，让学生通过构造图形发现有关图形的特征。这种发现有助于学生对图形性质的深度理解。

例如，对于三角形而言，“任意两边之和大于第三边”是其重要的特性。为了帮助学生在自主探索中获得相关的发现，可以设计如下的“做数学”过程：

（1）提出数学问题：任意选取三根小棒，能围成一个三角形吗?

（2）通过对具体材料的操作，确定研究对象：尝试从长度分别为8厘米、5厘米、4厘米、2厘米的四根小棒中，任选三根围三角形。

（3）对操作产生的结果进行初步的观察并分成两类：不能围成三角形的与能围成三角形的。

（4）对比、归纳并获得初步的发现，产生猜想：从小棒长度的关系出发，分析研究不能围成三角形的原因以及能围成三角形的规律。

（5）重复实验，验证猜想：画任意的三角形，测量验证其三条边之间的关系。

（6）探究原理：为什么三角形任意两边长度的和大于第三边？

（7）得出结论。

显然，上述过程是一个在“做”中发现的过程， “做”中产生的现象构成了直观的分析对象，让学生的数学思考有所依托，也为后续数学原理的探究奠定了基础。有了上述过程，学生对三角形的抽象特性就有了具体而深刻的理解。

再如，对于四边形与其对角线的关系，同样可以通过构造图形的过程，让学生自主发现：第一步，通过实际操作，分析作为四边形对角线的两条线段相交的各种情况；第二步，对是否平分、是否垂直、是否相等进行分类研究，提出初步的猜想；第三步，通过对材料的具体操作初步验证猜想；第四步，尝试给出严格的证明。

上述“做数学”的过程，实质是让学生在“做” 中发现，“做”的素材与“做”的过程，成为学生进行数学思考的基础。正是经历了“做”后的猜想、验证、发现的过程，学生实现了对图形性质的深度理解。