——从正比例的意义到正比例函数图像的思考与实践
世界是运动变化的，“函数”是研究运动变化的重要数学模型，与实际的联系十分紧密,在分析和解决一些实际问题中有着广泛的应用。正比例关系正是从运动变化、一一对应的角度认识和研究两个相关联的量之间“变”与“不变”的规律。“对应”两个数量之间的“比值不变”是正比例关系的本质属性。从研究具体的量走向变化的量，从研究单个具体数据的静态数量关系走向一组多个数据的动态数量关系，是学生认识过程中的一次重大飞跃。通过本单元的学习，可以让学生进一步加深对过去学过的数量关系的理解，初步学会从变量的角度来认识两种量之间的关系，感受函数的思想方法。同时，正比例的知识在日常生活中有着广泛的应用，学好这部分内容，既可以锻炼学生用数学的眼光观察现实生活的意识，提高解决问题的能力，又可以为进一步学习函数知识奠定扎实的基础，教学中应该更好地引领学生从正比例意义到正比例图像。
一、理解正比例意义中的“变”
1、游戏：理解相关联
同桌一起玩石头剪刀布的游戏，赢一次得5分，交流得分。明确：得分的多少和获胜的次数是有联系的。获胜的次数多所以得分也多，获胜的次数少那相对应的得分也会少。得分是随着获胜次数的变化而变化的，像这样“一种量变化,另一种量也随着变化”,我们就称它们为 “两种相关联的量”
2、举例说明、找找辨辨
师：生活中相关联的量很多,请大家认真研究,看看每张表中两种量是否相关联?
表1，一辆汽车在公路上匀速行驶，行驶时间和路程如下表：
时间 /时 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
… |
路程/千米 |
80 |
160 |
240 |
320 |
400 |
… |
表格中有哪两种量？行驶的时间和路程是相关联的量吗？为什么？
汽车行驶的时间多，行驶的路程也多，行驶的时间和路程同时增加；
路程行的少，行驶的时间也少，时间和路程同时减少。
行驶的时间和路程的变化是（一致的）
时间随着路程的变化而变化，时间和路程是两种相关联的量。
表2，购买一种铅笔的数量和总价如下表：
数量/枝 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
… |
总价/元 |
0.4 |
0.8 |
1.2 |
1.6 |
2 |
… |
变化方向一致，数量和总价是两种相关联的量
表3，读一本书，已读的页数和剩下的页数如下表：
已读页数/页 |
20 |
35 |
50 |
60 |
90 |
… |
剩下页数/页 |
80 |
65 |
50 |
40 |
10 |
… |
变化方向不一致，已读页数和剩下页数是两种相关联的量。
表4，用同样多的钱购买笔记本的单价和数量如下表：
单价/元 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
… |
数量/本 |
60 |
30 |
20 |
15 |
12 |
… |
单价和数量变化方向不一致，单价和数量是两种相关联的量
表5，正方体棱长和体积变化情况如下表：
边长 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
… |
面积 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
… |
变化方向一致，边长和面积是两种相关联的量
表6，小明的年龄和身高变化如下表：
年龄/岁 |
2 |
8 |
20 |
25 |
30 |
… |
身高/厘米 |
85 |
125 |
176 |
176 |
176 |
… |
小明的年龄和身高不是相关联的两种量，因为年龄变化，身高不一定发生变化。
二、理解正比例意义中的“不变”
1、独立探究、初步感知意义
根据刚才的分类，仔细观察这三张表，它们的变化方向都一致，那这两种相关联的量有没有什么变化规律呢？如果有规律，又是按什么规律变化的呢？
出示表1，一辆汽车在公路上行驶，行驶时间和路程如下表：
时间 /时 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
… |
路程/千米 |
80 |
160 |
240 |
320 |
400 |
… |
交流：路程和时间是两种相关联的量，路程随着时间的变化而变化，在变化的过程中有什么规律呢？路程和所对应的时间的比的比值都是80吗？
80 160 240
=80 =80 =80 ......
还真的是这样，追问：这里的……是什么意思？这个比值80就是汽车的什么？（速度）我们可以用一个怎样的数量关系式来表示？
=速度（一定）
表2和表5中相关量的两个量又有怎样的变化规律呢？和你的同桌一起说一说，算一算，完成研究单。
交流：
表2中总价和数量是两种相关联的量，数量变化，总价也随着变化，总价和对应数量的比的比值总是不变的，也就是单价是一定的。
数量关系：
=单价（一定）
表5中正方形的边长和面积这两个相关联的量有怎样的变化规律呢？
交流：
正方形的边长和面积是两种相关联的量，面积随着边长的变化而变化，但是面积和边长的比的比值是变化的，不一定的。
2、揭示正比例意义
（1）指出：同学们 ，刚才的三张表中，变化方向都一致，但是对应的两个量的比值有的一定，有的不一定，当比值一定时，我们就说这里两个相关联的量成正比例关系，这两个相关联的量是成正比例的量。
表1，路程和时间是两种相关联的量，当路程和对应时间的比的比值总是一定，也就是速度一定时，我们就说路程和时间是成正比例关系，路程和时间是成正比例的量。板书数量关系
板书：路程和时间是成正比例关系
（2）追问：总价和数量成正比例关系吗？为什么总价和数量成正比例关系？
总价和数量是两种相关联的量，当总价和对应数量的比的比值总是一定，也就是单价一定时，所以总价和数量是成正比例的量。
这就是我们今天所要研究的正比例的意义 板书课题：正比例的意义
比较
成正比例关系的两种相关联的量有什么特点呢？板书：变化的量 不变的量
那正方形的边长和面积成正比例关系吗？为什么？
正方形的边长和面积的比值比一定，所以不成正比例关系。
看来，两个相关联的量，只有比值一定，这两个量才成正比例关系
3、同学们，你觉得怎样来判断它们是否成正比例关系呢？同桌互相说一说
小结：看一看两种量是不是相关联的量-----也就是“变”
算一算相对应的两种量的比值是否总是一定------也就是“不变”
4、抽象概括,建立模型
像这样比值一定的式子，写得完吗？如果用字母x和 y分别表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用怎样的式子来表示？
板书：
=k（一定）
三、从正比例意义到正比例图像
1、判断正方形边长和周长是否成正比例
正方形边长（cm） |
1 |
2 |
3 |
4 |
正方形周长（cm） |
4 |
8 |
12 |
16 |
判断，说理
2、读一本书，已读的页数和剩下的页数
已读页数 |
20 |
30 |
70 |
96 |
未读页数 |
96 |
86 |
46 |
20 |
不成正比例，已读页数和未读页数的比值不一定。
3、正方形纸的边长和纸张厚度
正方形边长 |
60 |
30 |
20 |
15 |
纸张厚度 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
4、倒水实验：往同一个圆柱形杯子中倒水，水的体积和高度成正比例吗？为什么？
小结：我们发现，当水的体积和高度成正比例关系时，我们把体积和高度的交叉点连起来正好是一条直线。
评析：
1、比较对照，变中知不变，感悟正比例函数意义
判断两个变量是否成正比例，首先要看这两个量是否相关联量，这是成正比例的基本条件，而判断的核心是看这两个变量在变化过程中，是否存在一个定量，而这里的定量什么呢？就是两个变量比值一定，这是成正比例的核心要素。所以让学生明确研究的方向是两个变量的比值，这才是关键。课开始，我采用学生喜欢的“石头剪刀布”的游戏，数学书本数的关联信息，为“两种相关联的量”进行思维预热。接着选择了6个对比性学习素材，让学生判断每个材料中的两种量是否相关联，学生在比较、反思中逐步发现，相关联的概念还是比较宽泛的，无论是变化方向相同还是变化方向相反，只要是一个量变化，另一个量也随着变化，这样的两种量就是相关联的量。在研究变化规律中发现，有的是比值一定，有的乘积一定，有的是和一定，有的差一定，让学生在对比中主动确定研究的方向，总结出成正比例的两个量在变化过程的定量应该是比值一定。
2、多元表征，变中思不变，建构正比例函数模型。
函数有三种数学表示方法：表格、解析式和图像。本课的教学从表格和列式切入，对数量关系进行抽象的梳理，从中认识常量和变量的主要特征，并概括出变量关系的共同特征。在两个现实情境的正比例关系的学习之后，引领学生回顾、反思这两种数量关系中的正比例关系，设计富有启发性的问题，引导学生比较、提取其中共同的本质：都有两种相关联的量，对应数量相除后比值不变，都成正比例关系。在此基础上，引导学生学习用解析式符号表征正比例关系，从而在抽象层面认识正比例关系的本质。练习中又联系生活，再次进行情境表征，借助结合相似图形，孕伏呈现函数图像。多元表征，让概念更加饱满丰盈。
3、操作体验，变中知不变感受正比例图像之美
正比例函数的图像，是经过坐标原点(0，0)和定点(1，k)两点的一条直线，当k大于0 ，图像在第一、三象限，k小于0，图像在第二、四象限。因为小学阶段还没有学习负数的计算，所以，所有研究的正比例函数都只是在第一象限。
“正比例的图像”主要是例2的教学内容，练习最后放入了圆柱的体积和高，让学生把相对应的点连起来，初步感知呈一条直线。引入图像，在数形结合中 更能让学生体验变与不变的函数思想，一一对应的思想，极限思想等。在学生认识各点的含义的基础上，引导学生自己连点成线，体验正比例图像的形成过程，让正比例关系的内涵 “看得见”。教学时可从“往大”和 “就小”两个方面去追问：比图中的时间更大的点还有吗？比图中路程更小的点呢？引导学生更好地感知符合不变规律的“每组数”的无限性，在图像中使正比例的内涵“看得清”。这样，学生初步认识到两个数量的正比例关系既可以通过具体的数据体现出来，也可以通过直观的图像表现出来。
从正比例图像再回头看正比例意义，图像出现，无疑更加深学生对正比例意义的理解，使学生从具体形象的静态认识，提高到在运动、变化中去概括和理解正比例意义。
江阴市新桥中心小学 陶芳