为什么“锯木条问题”和“楼层问题”总出错？

【问题凝视】

1、一根木条锯成7段需要42秒，锯成14段需要（ 84 ）秒。

错误① 42÷7=6（秒） 6×14=84（秒）

错误② 14÷7=2       42×2=84（秒）

2、东东从一楼走到四楼一共用了120秒，照这样的速度，如果从一楼走到七楼，一共需要多少秒？

120÷4=30（秒） 30×7=210（秒）

答：一共需要210秒。

    在三年级上学期学习了《一一间隔》这一课后，发现学生在做上述的两类问题时错误率较高。他们认为“锯木条每一段都需要时间”，认为“有几楼就会有几层楼梯。”在小学数学教材中《一一间隔》这一课的知识点主要有三大类型的间隔排列：①首尾不同，两种物体数量相同。②首尾相同，两种物体数量不同且排在首尾的物体数量比另一种物体的数量多1。③封闭图形，两种物体数量相同。

    在学生理解并掌握了这三种类型的“间隔排列”的基础上，做题目应该是不存在什么问题的，那为什么学生还会在“锯木条”和“楼层问题”上屡次犯错呢？这两种题目到底是什么地方容易让学生混淆呢？

【成因透视】

（一）问题的错误归类

     上述两个问题实则是同一类的“间隔排列”：首尾相同，两种物体的数量不同且排在首尾的物体数量比另一种物体的数量多1。“锯木条”这一种类型的题目，木条和锯的次数形成一一间隔，一段木条之后就是锯一次，最后留在手里的木条实际上就是“尾”，首尾皆是“木条”，那么木条的段数就要比剪的次数多1。“楼层问题”，楼和楼之间是楼梯，楼层和楼梯形成了一一间隔，楼层之后是楼梯，一开始是楼层，最后也是楼层，那么首尾也都是楼层，所以楼层的数量要比楼梯的数量多1。

有很多学生在没有弄清楚题目类型的情况下就去解题，他们认为木条的段数和次数是相等的。认为有几层楼就有几段楼梯。所以他们在归类时就把此类型的题目归为“首尾不同，数量相同。”实际上，他们没有真正理解“锯木条”其实是和“锯的次数”有关，锯了几次决定了花了多长时间。“楼层问题”其实是和爬的楼梯的段数有关，爬了几段楼梯决定了花了多长时间。

（二）生活经验的缺失

“数学来源于生活。”丰富的生活经验也决定了对数学知识的理解基础。学生在解答这类题目时，如果有丰富的生活经验，他们就会知道原来“锯木条”的时候，锯的次数要比木条的段数少1，因为锯一次就会有两根木条了。他们也会联系生活实际想到生活中的建筑物，“一楼”在地面上，爬一段楼梯才会到“二楼”，那么也会知道楼层数要比楼梯的段数多1。

“生活经验”其实是来自于动手操作和实践。学生在学习数学知识时，往往处于“被动”地位，他们的知识来源一般是“听老师讲述”，动手操作的能力不够。“实践是检验真理的唯一标准”，教师在教学过程中往往容易忽视让学生自己“动手做”，但其实“动手实践”这样记忆才会深刻。

（三）思维定势的影响

“锯木条”这样的题出现了，往往也会带有一定的“陷阱”在里面，比如第1题，锯7根木条需要42秒，那锯14根呢？学生就会想，14根不就是7根的2倍吗？那所用的时间肯定就是42秒的2倍，所以直接42×2=84（秒），解释的好像也没有什么逻辑上的错误，但其实就是掉入了题目的“陷阱”。题目故意以“倍数”呈现，为的就是让你忽视该题的本质是“间隔排列问题”，而且花的时间是和“剪的次数”有关，并不是和“段数”有直接的关系。学生看到数据上的“关系”往往就会思维定势地忽略本质问题。

【出路审视】

（一）审清题意，把握问题本质

     做数学题时，审清题意是很重要的，也是做题的第一步，教师应该在平常的做题过程中培养学生良好的做题习惯，拿到题目第一步先审题。找到该题的本质是一类“间隔排列”的题目，那么就顺着思路走下去，到底是哪一种类型的呢？通过思考以及生活经验的结合搞清楚原来是“首尾相同，两种物体数量不同”这一类型。找到问题的本质才是第一步，还要学会辨析，把和问题最紧密相连的条件找到，“锯木条”中和时间最紧密相连的是锯木条的次数；“楼层问题”中和时间最紧密相连的就是爬了几段楼梯。抓住本质之后，对症下药。

（二）以生为本，倡导动手实践

     这一方面要从两个维度去解决：首先，教师方面。教师的教学应该以学生为主体，教师是课堂的引导者，主动引导学生去动手实践，培养动手实践的能力和习惯。遇到“锯木条”这一类型的题目，可以动手操作去求知，当然在合理有限的条件内，教师可以引导学生用纸条代替木条，用撕纸条去代替锯木条，这样一来，学生亲身经历过程，就会发现，这题目其实是一类“一一间隔”题型，而且段数和次数之间的关系也能通过动手操作得知。加深学生对知识点的印象，为以后的解题做了一个良好和坚实的基础。

其次，学生方面。学生在做数学题时往往要结合生活实际去解决。数学题来源于生活，拥有丰富的生活经验对解题有很大的帮助。所以这就要求学生要具备一双善于观察的眼睛。勤观察，多思考。善于提出问题并尝试解决问题，解决不了的问题可以通过各种途径帮助解决。比如在这两道题中，都是生活中常见的一些事物，如果善于观察，不难发现楼层和楼梯之间的关系，木条的段数和次数之间的关系。当然这一方面也是需要教师去积极引导和培养的。

（三）深入教材，善于挖掘资源

不难发现，这两道题目在教材上是没有出现的，教材上的题表达很直观，给图的或者描述的很详细。而这两道题在题目的表述上很灵活，不死板。这其实也是在提醒我们老师要深入教材，挖掘出教材中含有的知识点加以整合。源于生活，教师也需要一双善于发现的眼睛，找到与生活紧密相连的问题，加以整合，变成数学题目。培养教师本身命题的能力。

【片段重构】

一根木条锯成7段需要42秒，锯成14段需要（  ）秒。

① 42÷7=6（秒） 6×14=84（秒）

② 14÷7=2       42×2=84（秒）

师：对于这道题，有两位同学是这样解答的，同学们看看，你们觉得这样做对吗？你是怎么想的？

生1：我认为第一种是错的，锯7段需要锯6次，应该用42÷6=7（秒），7秒才应该是锯一次需要的时间。

师：这位同学抓住了本道题的关键之处，锯木条所花的时间应该和锯的次数有关，而不是段数，所以做法①显然是错误的。

生2：我认为第二种方法没有错误，7段需要42秒,14段就是42秒的两倍呀。

生3：我认为第二种方法是错误的，7段是42秒，是锯了6次，14段就需要13次，13次不是6次的两倍，所以时间上不能乘2。

师：你们觉得刚刚那两位同学谁说的有道理呢？

师：看来大家都认为第②种做法也是错误的，原因还是一样的，锯的时间是和锯的次数有关而不是段数，我们不能通过段数的多少去求出需要多少时间，而应该找到相应的锯的次数。

生：那为什么锯的次数要比锯的段数少1呢？

师：这个问题问的好，怎么证明呢？这就需要我们动手去操作啦！那我们现在身边没有木条也没有工具，你有没有什么好的办法能够帮大家解决这个问题呢？

生：可以用纸条代替木条！我们可以撕纸条来看看，要撕7段纸条到底需要撕几次呢？

师：真不错！这位同学能够利用我们手头拥有的资源帮助大家解决这个问题，掌声送给他！那接下来就请同学们拿出一张不用的纸条，四人一小组撕一撕，看看要让一根纸条撕成7段，到底需要撕几次呢？

（小组汇报）

师：是呀，我们通过动手实践发现原来把一张纸条撕成7段需要撕6次，因为在撕第1次的时候，这根纸条就已经变成了2段。所以我们也通过实践得到了锯木条的次数和段数之间的关系是？

生：木条的段数要比锯木条的次数多1。

师：现在你会解决刚刚老师带来的问题了吗？

生：7-1=6（次）42÷6=7（秒）14-1=13（次）13×7=91（秒）

师：所以我们一起来总结一下，遇到锯木条这样的题目，我们要求锯多少段需要多长时间？首先第一步我们要找的是什么？

生：是锯一次需要的时间！

师：那锯的次数和段数有什么关系呢？

生：锯的次数要比段数少1。

师：接下来呢？

生：要求锯的次数，用锯一次需要的时间乘锯的次数就能得到锯多少段需要多长时间了。

师：对呀，所以我们要求锯木条需要多少时间是和谁有最密切的关系？

生：锯的次数！

实践是检验真理的唯一标准，数学来源于生活，所以数学并不是一门“灌输式”学科，它需要探索，发现和求真。培养学生动手实践的能力有利于学生对知识的理解，加深对知识的理解程度和印象。所以为了更好地教，我们应该学会适度“放手”，让孩子们在实践中获取知识，体验学习数学的快乐，获得成功的体验。

 （江阴市城中实验小学  薛春梅）