商的变化规律为什么学生容易错？

【问题凝视】

在四年级上册教学内容中，商的变化规律这节课结束后，很多学生对其不明所以，遇到相应的题会混乱，例如：两数相除等于18，如果被除数扩大8倍，除数扩大4倍，那么商是（     ）。

像这种被除数和除数都发生变化的时候，学生很容易混乱，从而无处下手或者商变化完全弄反，感到迷茫。在小学数学的教学课程中，商的变化规律定义为除数不变，被除数扩大或缩小几倍，商也扩大或缩小相同的倍数；被除数不变，除数扩大或缩小几倍，商反而缩小或扩大相同的倍数。学生对于这两句话，首先了解的是商会扩大或缩小相同的倍数，但是对于商变大还是变小往往会搞反，那么，为什么学生会弄不清楚呢？

【成因透视】

（一）在不理解的基础上记忆

商的变化规律是经过学生在一系列的算式中提出猜想，再根据所得出的猜想去举例验证，最终发现规律的过程。很多学生轻视了发现规律的过程，在得出规律之后仅仅记忆规律，而不去深思规律产生的原因，这是机械记忆。或许可以依靠这个结论解决部分问题，但却不是长久之计。数学最终的本质是为了让学生理解数学知识，并能够将其转化成数学能力去解决实际生活中的问题。正因为如此，在看到上面的错题时，由于学生并没有深刻理解商的变化规律，学生容易根据之前的机械记忆，生搬硬套进原先的规律里。不可否认，有部分学生是可以根据规律得出正确的答案；但数学课程教育是一个面向全体学生的教育，数学教学活动要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法^[1]，而不是根据记忆中的规律去解决问题。

（二）思考问题缺乏条理

一部分学生在遇到商变化规律这方面问题的时候，如果题目中只有一个变量，如被除数扩大8倍，除数不变或者被除数不变，除数扩大四倍，商如何变化时，学生可以根据原有的知识经验及对商变化规律的掌握去解决问题。但一旦被除数和除数这两个变量都在一起变化时，学生就会出现各种各样的问题：（1）将被除数和除数两个变量都放在一起考虑，不能正确地得出商的变化规律；（2）误认为被除数和除数两个变量对于商的作用效果一样，从而导致学生思考错误。对于这两类问题的出现，归根结底还是学生对于问题的思考条理不够清晰，不能够根据具体问题具体分析，缺乏解题的方法。

【出路审视】

（一）赋予除法实际意义，理解规律

在小学阶段，计算是数学学习的基础，很多学生对计算方法了如指掌，但是很多时候题目中出现的算式在学生眼里仅仅是一道算式，他们缺乏对算式赋予实际意义的能力。比如上面的错题：两数相除等于18，在看到这句话，很多学生只会看到表面，认为一个除法算式的结果等于18，这是对的，但是除了这一点，我们还可以赋予它一定的意义，比如可以想成若干个桃平均分给几只猴子，那么每只猴子可以分到18个桃。那现在被除数扩大了8倍，也就是说桃子的总数变多了，那么每只猴子分到的桃就变多了，也扩大为原来的8倍，即规律中除数不变，被除数和商的变化相同。同样，除数扩大4倍，也就是说猴子的只数变多了，桃子还是原来的数量，那么对应的每只猴分到的就会减少，也就是被除数相同，除数和商的变化相反。如果说把这个规律想成猴子分桃的情境，在理解的基础上再去记忆，效果会好很多。正如夸美纽斯的一句话：“学生首先应当学会理解事物，然后再去记忆他们”。

（二）方法最优化，理清思路

商的变化规律题型虽然不多，但是里面涉及到被除数、除数和商这三部分的变化，所以在解题的时候，可以把题目转换成A÷B=C的形式，然后再这个算式上操作，比如，两数相除，如果被除数扩大8倍，除数缩小2倍，商将（    ）。这道题我们就可以这样来分析，先把A÷B=C这个算式写好，被除数扩大8倍，即A×8，这个时候先不看除数的变化，先把商的变化写好，应该对应的也×8，同理，然后再去考虑除数与商的变化，这个时候商上面变了两次，即×8×2，也就是最终结果。最后的过程应该如下：

A  ÷  B  =   C

   ×8    ÷2   ×8×2

整个过程是把这道题分成被除数与商、除数与商两部分去思考，如果被除数、除数和商放在一起思考则增加了难度。那么这样来看，上面的错题也可写成A÷B=18这样的算式，然后根据条件在算式上分析，得出商的变化。

【片段重构】

师：刚才我们通过举例验证得到了商变化的规律，那么你们知道商为什么这么变吗？先来说说被除数与商的变化。

生：我们可以把除法算式想成平均分给3个人桃，桃的总数越多，那么每个人分到的就越多。

师：嗯，非常好的方法，刚才啊我们说在除数不变的情况下，被除数跟商的变化相同，被除数扩大商就扩大，被除数缩小商就缩小，如果我们把这条规律放在刚刚那位同学说的情境里，似乎更好理解了。谁来具体说一说呢，你是怎么理解的？

生：总数÷人数=平均每个人分到的个数，这个数量关系就是一个除法过程，对应被除数÷除数=商，那么桃越多，每个人分到的就多，就是被除数越大，商就会越大。

师：说的非常好，听懂了吗？那为什么除数跟商的变化又该怎么理解呢？

生：同样我们也可以分桃子，想成只有100个桃子平均分，如果人数越来越多，那么每个分到的就会越来越少。这里的人数就相当于除数，也就是除数跟商的变化是相反的。

师：嗯！说的很到位，有的时候我们可以把一个算式带入到我们自己创设的熟悉的情境中去理解，现在让我们在理解的基础上，把商变化的规律一起读一遍。（学生读）

基本练习

（1）两数相除，商是100，如果除数扩大5倍，被除数不变，商是（    ）。

（2）两数相除，商是100，如果被除数缩小5倍，除数不变，商是（    ）。

师：在刚才理解的基础上看看这两道题结果是多少？指名学生回答，师点评。

出示：两数相除，如果被除数缩小6倍，除数扩大2倍，商将（    ）。

师：同学们，这道题跟刚才有什么不一样？

生：这里面被除数和除数都在变。

师：是的，那应该怎么考虑呢？

生：被除数和除数分开看商的变化。

师：不错，说的真好！我们可以在A÷B=C这个算式上写每一部分的变化，先看被除数，缩小6倍，那么商就（学生答，除以6），再看除数，扩大2倍，那么商就（除以2），合起来就是怎么变的呢？（除以6除以2）边板书边讲解。

师：同学们学会了吗？老师这里还有一些题目想来考考大家，拿出自备本，用刚才老师教的方法在本子上写好过程。

出示：

（1）A÷B=25，B缩小2倍，要使商扩大6倍，A应该（           ）。

（2）A÷B=12，A除以4，要使商扩大2倍，B应该（            ）。

（3）两数相除，商是16，如果被除数缩小8倍，除数也缩小8倍，商是（         ）。

师校对过程答案。

师:商变化的规律看似简单的两句话，真正想要记住却不是那么容易的，通过刚才的学习，同学们要学会在理解的基础上学会记忆，用合适的方法解决问题。

    数学的学习是一个需要理解的过程，在这个过程中，学生难免会出现许多错误，而我们教师不仅要能发现学生的问题，还要去分析他们为什么出错，从而对症下药，及时改进教学方法，让学生更好的理解性学习，把握更深层次的知识，拓展学生的思维。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准【M】北京：北京师范大学出版社，2011.

 （江阴市城中实验小学  薛云潇）