数学理解性学习

数学理解性学习，是指学生在理解基础上的数学学习，也即通过这样的学习，学生获得了对数学的理解。这个定义从目标与效果两个维度明确了数学理解性学习的基本要义：数学理解性学习以理解数学为目标指向，同时也将促进学生对数学的理解。由此可见，数学理解性学习并非是一种具体的学习方式，而是一种体现价值内涵的教学理念。

一、目标指向：理解数学的三个层次

理解数学是数学理解性学习的目标，这一目标有三个层次。第一层次，学习者理解数学的基本知识、基本方法、思想策略等。达到这一理解层级的学习者能够熟练、准确地解答各种数学问题，能够在各种活动和测试中展现其在知识层面上深刻的数学理解力。第二层次，学习者理解数学的思想方法。会解题、会计算、会证明，不是数学学习的全部。理解数学要求学习者在进行解题、计算、证明的同时，进一步反思和理解为什么要这样做，运用了怎样的思想方法。此外，还需把视野拓展到教科书之外，在更宽泛的知识领域里，尽可能感受、反思和体悟数学家在发现知识的过程中所经历的思想变化和对数学本质的论述，以及数学知识体系的脉络、结构及整体性发展。第三层次，形成良好的数学素养。理解数学要求学习者真正理解数学的精髓，融入数学的文化内涵，形成数学思维和数学意识，并通过数学学习理解生活、理解世界，最终形成使其终身受益的数学素养。良好的数学素养建立在“理解数学”的第一层次和第二层次的基础之上，成长于学习者对数学知识及理解的不断反思之中。

二、心理联结：构建丰富的心理联系

数学理解性学习的过程就是构建并发展学习者的数学知识结构的过程，这种具有发展性的结构体现了数学知识节点间的网络性联系。学生通过心智活动的积极参与，去联结新的知识信息，从而扩展和完善自身的理解。随着学习的不断深入，学生内部心理结构的联系也会逐步获得发展，这种发展表现为结构的丰富度不断提高，而这又反过来促进原有结构联系的强度加深以及结构本身的整合和进一步分化。恰如希伯特（Hiebert）教授与卡彭特（Carpenter）教授所说：“数学概念的理解，是指它成为了学习者内部心里网络的一部分——理解的程度是由结构内部联系的数目和强度来确定的——智力表征的网络是逐渐地从对现存的网络联上新的信息或在以前没有联系的信息之间建立起新的关系而建成的。随着网络的变大和组织得更完善，理解就增长了。”

三、有效迁移：数学理解性学习的核心要素

数学理解性学习的核心要素就是使学习者对已学知识产生有效迁移。学习者对知识的迁移表现为灵活地运用所学知识及技能解决新情境中的问题。要达成迁移的目标，首先，学习者要能够通过自身的概括与抽象活动达到对知识本质属性的理解；其次，学习者对知识的理解要尽可能反映知识应用的情境。这两个方面有着紧密的互动性关联。数学知识本质属性的得出源于对大量的情境化知识的深刻洞察，指向不同情境的知识，更易于在多变的情境中凸显其本质属性。另外，学习者基于变化情境的知识建构数学知识的本质内涵，可以促使学习者在新问题中更加灵活地应用已有的知识。

四、层级发展：数学理解性学习的EFSTC过程模型

数学理解性学习层级发展的EFSTC过程模型，是指学生在学习过程中会依次经历经验性理解（experiential understanding）、形式化理解（formal understanding）、结构化理解（structural understanding）、迁移性理解（transfer understanding）、文化性理解（cultural understanding）五个发展阶段，简称EFSTC过程模型（图1）。该过程模型体现了学生在学习数学的过程中理解水平的变化。过程模型的提出，是基于对学生理解发展的过程性、阶段性的必要性本质考虑。教师认为简单的知识，对学生而言不一定同样简单。另外，在理解的发展过程中存在着层级上的差异，但层级之间不存在明显的界限，区分理解层级，更深入地考查某个阶段的学生理解水平的发展变化，有利于教师更好地进行教学设计。

1.经验性理解

经验性理解是指学习者基于自身经验对学习对象的起始性理解。这里的“自身经验”主要是学习者对日常生活中的真实世界与客观对象的一种自然体悟和认识。对数学学习而言，经验性理解通常发生在学习的初始阶段，主要是调动学习者先前的经验，这些先前的经验极大地影响着他们对新学习内容以及解释方式的理解。

2.形式化理解

随着学习者对自身经验性知识中的各种刺激进行整理、组织、概括与重新表征，并使经验性知识逐步摆脱认识中的非本质属性，进而形成对知识通达深刻的本质化认识，学习者的理解就逐步进入了形式化理解的层级。对数学学习而言，随着大量经验性理解的不断累积以及充分地对自身经验进行有意识的反思和思维调控，学习者逐步接近对数学本质的深刻理解，在此基础上以数学的形式化语言将其精确地表达出来，此时，形式化理解就发生了。

3.结构化理解

结构化理解实质上是一种结构关联性理解，强调在一种知识的关系脉络中把握相关知识的内涵与本质。结构化理解是在形式化理解后，把一种知识和与其有着各种关联的其他知识进行比较、分类、分层，从而找出它们的异同点以及层次关系。对某一具体的数学知识而言，学习者所构建的关联越复杂、越精细，学习者对其本质的理解就越深刻、越完善。

4.迁移性理解

迁移性理解是指个体在结构化理解的基础上，能够灵活运用知识解决问题，能够将所学知识迁移到陌生情境中。迁移性理解需要个体对所学知识进行深刻理解，深刻理解的水平越高，迁移性理解就越容易达成。在我国中小学数学教学中，数学学习存在大量机械记忆与模仿训练现象，学生虽然投入了很多精力，但对知识的理解远没有达到深刻理解的水平，难以在陌生的问题情境中应用数学，学习容易出现后劲不足的情况。对此，教师在课堂教学中需要采取一定的措施促进学生由形式化理解发展到结构化理解，最终达到迁移性理解。

5.文化性理解

作为数学理解性学习的深层次指向，我们应更关注对数学的文化性理解。传统意义上，学生能达到结构化理解或迁移性理解的层级就被认为是达到了数学学习的基本要求。但是，数学作为一种文化，其内蕴的思想方法、对社会进步的重要推动作用等，这些更为深刻的内涵应是学生在实现前面各层级理解的基础上需要进一步达到的目标。

文化性理解是一种对数学综合的整体性的理解，是一种对数学高屋建瓴式的体察和认同，是一种深刻的数学观以及对数学意义的深层次认同。无论是学生还是教师，对数学文化的深层次理解，必然随着数学自身的改变而不断发展。基于数学文化性理解所具有的发展性与整体性特点，这种理解也就相应地具有层次上、完整性上的高低之分。文化性理解始终贯穿于经验性理解、形式化理解、结构化理解以及迁移性理解之中。每个层次上的理解都能相应地伴生出一定层次的文化性理解，与此同时，各种理解层级又为文化性理解提供了扎实的基础与丰厚的土壤，因此，某一理解层级上的缺失或不足也会导致相应的文化性理解的不完善、不全面、不深刻。