问题导学 提升能力

——以“相似三角形的性质复习”为例

江苏省江阴市夏港中学 成囡

 摘要：初三数学一轮复习旨通过知识的回顾与梳理帮助学生将零碎的、分散的知识通过合理的归类、整理、加工，使其变得系统化、全面化，在夯实基础的同时，提高学生应用能力。在初三一轮复习教学中，教师应打破传统的以师为主的复习模式，结合教学实际创设问题，让学生在问题解决中完成知识的梳理，模型的建构，切实提高教学品质和教学效率，落实数学素养。

关键词：一轮复习；夯实基础；应用能力

在初三一轮复习教学中，在全面复习基础知识的基础上，应重视学生应用能力的提升^[1]。笔者在教学“相似三角形的性质”时，采用问题导学的方式，让学生在问题的解决中逐步完成知识的梳理、能力的提升和素养的落实。现将教学设计分享给同行，若有不足，请指正。

一、内容分析

相似三角形的性质隶属于三角形全等及相似的内容，它是中考的重要考点。从课标和历届考题来看，相似三角形的性质及其相似的性质在线段比例和面积上的应用是中考考察的重点。在一轮复习教学中，教师应以基础知识的回顾为主要目标，通过适度的练习引导学生将相似或相关的内容串联起来，形成较为完善的认知网络，为二轮复习的综合应用打下坚实的基础。

值得注意的是，一轮复习教学中，要尽量避免教师单一讲授，应重视体现学生的主体性，让每个学生都能参与其中，通过独立思考、合作交流等活动建构个体完善的认知结构，提高学生的知识理解水平及数学素养。

二、教学目标

（1）借助适量的练习理解并掌握相似三角形的性质，形成较为完善的知识体系；

（2）通过构造相似三角形，解决求线段的比例问题；

（3）借助变式训练，提高学生逻辑推理和直观想象等素养，提高学生学习能力；

（4）经历问题的解决过程，体验数学活动的探究性和创造性，激发学生数学学习兴趣，培养学生良好的学习习惯和解题素养。

三、活动设计

1、以题理知，点燃课堂

在传统一轮复习课堂上，教师习惯直接给出知识框架图，让学生按照框架图回顾、梳理，建构知识体系。这样在教师的带领下虽然可以快速地完成知识点的梳理，不过学生的思路被教师牵着走，不利于学生主体性的激发，影响课堂教学复习效果。那么在复习教学中，如何能让学生主动回忆旧知，完成知识点的梳理呢？笔者认为，在实际教学中，教师可以精心挑选一些典型性的题目，让学生在问题的解决中提炼知识与方法，完成知识点的梳理和认知结构的建构，以此提高学生学习的主动性、积极性，点燃课堂^[2]。

课前，教师设计了如下导学问题让学生独立完成，然后课堂上提供机会让学生交流讨论，并让学生给出解答过程。问题如下：

例1 如图1，已知∽，且，，则     ；

例2 如图2，在中，，，，，则     ；

例3 如图3，中，、分别是边、的中点，，以下结论正确的是        （只填写序号）。

①；②∽；③；④。

例4 如图4，中，，高。正方形的一条边在直线上，另外两个顶点、分别在边和上，则正方形的边长为          。

设计说明：以上图形是学生上节课重点研究的相似的基本图形，这样与上节课的旧知遥相呼应，有利于提高学生参与课堂探究活动的积极性，有利于提升课堂复习效益。以上题目主要涉及如下知识点：①相似三角形的对应角相等；②对应边及对应线段成比例；③对应面积比等于相似比的平方；④对应周长比等比相似比。这样通过问题的解决不仅可以达到知识梳理的效果，而且可以让学生在问题的解决过程中发现自身的不足，以便采用适合的方式进行查缺补漏，以此提高学习品质，提升教学效益。

2、例题精析，突破难点

通过经历独立思考、合作探究、交流展示等过程，已经达到了“以题理知”的目的。接下来为了进一步凸显一轮复习的基础性，在旧知回顾的基础上，教师继续引入一些典型性练习，以此凸显重点，突破难点，让学生通过问题的解决进一步巩固基础知识、强化基本技能，提高学生的数学应用能力。

例5 如图5，在中，已知，和交于点，过作，交延长线于点，。

（1）     ；

（2）若，则     ，     。

设计说明：例5的难度不大，旨通过简单的练习进一步巩固刚刚复习的知识点，以此达到夯实基础的目的。在该环节，教师可以先让学生独立求解，然后进行例题精讲，充分发挥教师示范者和组织者的作用，通过“讲”、“练”、“思”等活动帮助学生梳理所学知识，形成较为完善的知识网络，为接下来的能力提升做铺垫。

3、变式训练，提升能力

变式训练是检测学生知识掌握情况，提升学生学习能力的重要途径。教学中，教师应从基础出发，结合教学实际设计一些变式问题，让学生在变化的题目中理解数学问题的本质，提高学生举一反三的能力^[3]。

在本课教学中，教师通过变式训练旨让学生在遇到相似相关的问题时，能够利用合适的方法构造相似图形，从而灵活应用相似的性质解决问题。同时，在此过程中，要重视强调知识间的内在联系，如引导学生利用方程、函数等思想方法解决相关问题，以此培养思维的灵活性，提高学生解题能力。对应线段比例问题及三角形面积问题是本课教学的重难点，为了帮助学生突破重难点，积累丰富的活动经验，教师以这两个问题为出发点，设计了如下变式问题：

变式1：将图5中的绕点旋转，使得与的交点恰为的中点，如图6。交于点，且，试求的值。

变式1是一道对应线段成比例的问题，学生通过思考、交流顺利解题后，教师鼓励学生进行总结归纳，提炼方法。在此基础上，教师继续给出对应练习进一步巩固强化。

对应练习：在中，是的角平分线，已知，试求的值。

设计说明：为了解决变式1，解题时需要构造相似三角形，如过点、点、点作平行线，形成字型或字型等基本图形，然后根据相似三角形的性质解决对应边成比例的问题。对应的练习与变式1的解题思路相同，也是通过多种方法来构造相似三角形，然后根据相似三角形的性质及方程思想方法来解决问题。

变式2：如图8，在中，，点是边上的任意一点（异于点、），，交于点，这的面积为，的面积为.

（1）设，，求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；

（2）探索与的大小关系；

（3）如图9，在四边形中，，，，点是边上的任意一点（异于点、），，交于点，连接。设，四边形的面积是，的面积为，，求与的函数表达式。

同样，在完成变式2的探究后，教师又给出了对应练习：

如图10，已知二次函数恰好过的三个顶点，，。

（1）求二次函数解析式；

（2）点是边上的一个动点，过点作，交于点，连结，求当的面积最大时，点的坐标。

设计说明：变式2是例5中问题（2）的变形，不过原题是研究两个相似三角形的面积问题，而变式题中的没有两个相似三角形，不过在研究两个三角形高与底、底与高之间的关系时需要利用相似三角形对应边或对应边上的高成比例的性质。另外，变式2综合性较强，融入了函数、转化等重要思想方法，有利于提高学生综合应用能力。

四、教学思考

1、立足基础，逐层突破

夯实基础是初三一轮复习的重要目标，因此教师在教学内容的选择和教学活动的设置中应从基础知识入手，让学生通过经历化繁为简的转化，体会基础知识的重要性，以此促进教学目标的达成。例如，本课教学中，教师从学生已有知识和已有经验出发，让学生通过简单问题的解决完成知识的梳理，提炼出相似三角形的字型或字型两个基本图形，接下来在变式训练中引导学生将难题细化为熟悉的、易于解决的基础题，以此提高学生解题信心和解题效率。

2、问题导学，提高效率

问题是诱发学生思考，激发学生探究欲的重要途径。本课教学中，教师根据教学实际精心创设问题情境，让学生在问题的引领下完成知识的梳理、模型的建构，让学生的学习能力和思维能力在生生和师生的合作中得到了显著的提升。同时，以问题为主线，让学生在问题的解决中学会思考、学会倾听、学会表达，有效地提高了学习品质和学习效率，促进了学生数学核心素养的落实。另外，教学中教师坚持以生为中心，提供机会让学生独立思考、合作交流、总结概括，充分发挥了学生的主体价值，促进了减负增效教学目标的达成。

总之，在初三一轮复习教学中，教师切勿大包大揽，应贯彻“问题为主线，以学生为主体，以知识为核心”的教学模式，在夯实基础的同时，培养学生的数学能力，提高数学素养。

参考文献：

[1] 褚阳.初中数学中考复习课教学有效提升策略探究[J].世纪之星,2022(3):118-120.

[2] 乔旭薇.浅析初中数学教学中学生自主性的培养[J].学周刊,2018(16):92-93.

[3] 康太平.数学核心素养理念下初中数学教学的反思与探索[J].数学学习与研究,2021(18):100-101.