江西师范大学主管

江西师范大学数学与统计学院主办

档数学研究

中国知网万方数据库维普资讯网博看网等全文收录

023

中 学 数 学 研 究

ZHONGXUE      SHUXUE       YANJⅡU

2023年第11期

(月刊)总第450期

2023年11月15日出版

目

★教学纵横

1 大概念视角下数学习题教学的实践及反思

●莫焕群唐风琴

3 立足学生本位发展学科素养

——对一道圆锥曲线题的探究及教学思考

● 余 树 宝 袁 悦

6 问题驱动类比迁移生长思维

——以“一次函数与二元一次方程”为例      ●王永锋

8 例探初中生符号意识形成路径      ● 刘 静 钟 珍 玖

11 问题驱动精彩生成

—一堂高三数学复习课的观察思考         ●刘国剑

13 优化解题反思提升核心素养

录

32 对一道课本习题的探究及推广    ● 管 良 梁  李 敏

34 对一道高考题的分析与拓展               ●洪秀成

36 三角形中线上点的性质及其空间推广       ●刘立伟

37 一道椭圆模拟题的解法与结论推广         ●湛怀玉

40 椭圆内接三角形的几个斜率定值          ●胡芳举

41 一道模考题的解法探究与推广     ● 盖传敏姜建元

42 一道圆锥曲线质检题的探究              ●谢卿孝

★解题方法与解题技巧

44 高等数学观点下寻根探源必要性的入手“点”●李加军

48 对数平均不等式在高考中的应用           ●李嘉铃

51 例析函数思想在比较大小问题中的切入角度

——以“解三角形问题”为例      ●郭海萍林新建

★教例探微

15  为什么我连“解三角形”都不会?             ●徐伟东 18“四析”一道极值点偏移问题      ● 何 灯 田 芳 松

20  由一道高考题的解法引发的思考   ●徐梅香翟洪亮

22 多视角剖析一道离心率质检题            ●张桂腾

25 曲线系方程在求解圆锥曲线定值定点问题中的妙用

● 汪 文 徐 章 韬

27 一道测试题的求解、溯源与拓展             ●张志刚

★专题研究

31 一个加强欧拉不等式的几何意义及应用

● 戴程嘉刘金强李春霞

——兼谈解题思维的再创造                ●樊陈卫

53 例谈构造函数求解导数问题              ●谭光友

55 例谈三角最值问题                     ● 蒋伟

58 例析利用基底法解立体几何问题          ● 刘 海

59 椭圆曲线中斜率之积为定值的解法探究     ● 张 侣 ★竞赛之窗

62 仰观试题之高端，俯察教材之基础

——从2022年高中数学联赛A 卷一试第2题谈起

● 潘 申 润 陈 清 华 周 晓 婷 林 风

64 一道2022年江西预赛试题的多解探究与变式

● 成 敏 徐 凤 旺 尹 正 波

设计意图：瑞士教育家裴斯泰洛奇说：“教学的 主要任务不是积累知识，而是发展思维。”本环节 中，问题(1)通过观察操作，类比抽象，总结归纳出 用图像法解二元一次方程组需“变函数——画图像

[Ij少     -                             -小中学数

学教学参考(中旬),2022(9):2-5.

[2]卜以楼.生长数学：数学教学的理性回归一第七期《中国 数学教育》名师讲堂“生长数学”主题网络研讨记[J].    中  国数学教育(初中版),2017(9):2-8.

K       策 下 k 管 下         6 * x 第 下 策 ¥ f F 策 第 6 第 第 家 x e ¥ ¥ ¥ × F e f 空 策

例探初中生符号意识形成路径

江 苏 省 江 阴 市 第 一 初 级 中 学 ( 2 1 4 4 3 2 ) 刘 静 钟 珍 玖

七年级是从小学的算术思维向用字母表示数 形成代数思维的启蒙期，八年级则是学生符号意识 形成的关键期.从学生认知能力来看，八年级学生 抽象能力迅速发展，已经基本能够借助符号进行形 式化演绎推理；从学习内容来看，轴对称图形(线 段、角、等腰三角形)和中心对称图形(平行四边形、 菱形、矩形、正方形)是初中阶段运用符号进行逻辑  推理核心内容，也是符号意识形成的最佳素材；一 次函数和反比例函数的学习丰富了符号语言的种 类，用函数图像来表达函数是符号意识形成新的突

破口.在八年级的教学中有目的、有意识的加强学 生的符号意识，让学生主动理解与运用符号，从而 提高数学表达的能和习惯，落实学生的核心素养.

一 、在几何教学中运用符号推理，强化符号的 思维功能，渗透符号意识

几何演绎推理遵循着《几何原本》的公理化思  想，由已知的公理和定义，用逻辑推理的方法推导 出其它数学定理和命题.教材的编写也遵循同样的 思想，研究几何图形的性质都是把定义作为基本事 实，然后用逻辑推理的方法得出图形的性质及判定

·本文系江苏省“十三五”规划课题《初中数学概念教学中培养学生数学抽象能力的实践研究》(D/2020/02/285)     的阶段

研究成果.

方法.几何定义、公理、定理的表达和几何推理的过  程都需要较强的符号意识支撑，数学的形式化、结  构化、操作化都离不开数学符号的表达1].罗素认 为：数学就是符号加逻辑.几何图形之间的关系包  括数量关系和位置关系，应培养学生用符号刻画这 些关系的意识，符号意识的发展有利于学生理解符 号的使用和进行数学思考，强化符号意识的同时， 获得知识，发展学生的逻辑推理能力.

案 例 1 苏科版教材八年级上册“2.4线段、角

的抽对称性”.

如图1,若△ABC 的角平分 线AD、BE 相交于点P. 求证：点 P 在 ∠C 的平分线上

证明：过P 作PM⊥CB,PN I   CA,PF⊥AB,垂足分别为M、

N、F. ∵EB 平分∠CBA,PM1

CB,PF     1     AB, ∴PM     =PF.

∵AD 平分∠BAC,PN⊥CA,PF⊥AB,∴PF=PN.

∴PM =PN,PMíCB,PN⊥CA,∴点P在∠C的 平分线上

从教学实践来看，八年级学生对于这些图形位 置关系的问题非常陌生，不容易入手，从直观上来 说点在直线上很好理解，但是用符号语言如何表 达?其中又蕴含着怎样的图形特征?对这些问题的 追问可以帮助学生找到问题的解决方法，强化用符 号推理的功能，深刻理解符号表达的思维价值。

教学策略：八年级是学生逻辑思维能力发展的 关键学段，而符号语言是思维的载体和抓手，符号 语言的灵活运用能促进思维能力发展，同时也帮助 学生形成符号意识.在结构化的几何教学中，渗透 符号意识的策略：①引导学生用符号语言表达图形 的性质(结构)和图形之间的关系，从大概念的视角 审视符号语言的作用，即几何符号语言表达的是结 构和关系；②符号语言中蕴含着基本图形语言，是 进行逻辑推理的工具和抓手，实际上就体现了符号 语言的可操作性，从本质上和代数推理和变形原理 是一致的，强调步步有据，这样的教学就体现了符 号语言的作用，让学生从更高的视角理解几何推理 的本质，实现知识在不同情境下的正向迁移。

二、在函数教学中用符号描述变化，强化符号 的表达功能，促进符号意识形成

七年级的符号意识形成表现为用字母表示数， 完成了从算术思维到代数思维的跨越，并且把符号  作为对象参与运算，实现了符号的可操作性.在实  际问题中引入符号(未知数)刻画现实世界中的等  量关系和不等关系，初步体会了代数思维的特

点[1.八年级数学中很重要的内容就是一次函数与 反比例函数，函数模型简明扼要的把复杂的现实情 境中的一类两个变量的关系概括的清清楚楚，利用 函数的图像、表格及表达式等符号语言表达函数关 系三类符号语言的相互转化，促进学生符号意识的 形成与深化理解，发展学生的抽象能力和建模能 力[2],函数内容的结构化教学方法如下所示.

1.用符号表示函数关系，描述和解释现实世界

从具体情境中抽象出两个变量之间的关系与 规律，是列函数表达式的基础.而函数表达式同样 深刻揭示了一类问题中的共性和普遍性，学生运用 表达式或图像或表格解决问题则提升了学生对于 符号的理解，进一步发展学生的数学抽象能力和数 学建模能力.

案例2 苏科版八年级上册“6.2一次函数”.  问题1 给汽车加油的加油枪流量为25L/min.

如果加油前油箱里没有油，那么在加油过程中，用 y(L)  表示油箱中的油量，x(min)  表示加油时间.

(1)y 是 x  的函数吗?如果是，请写出函数表 达式；

变 式1  油的加油枪流量为40L/min.如果加油 前油箱里没有油，那么在加油过程中，用y(L)   表示 油箱中的油量，x(min)  表示加油时间，y与x 之间有 怎样的函数表达式?

(2)如果加油前油箱里有6L油，y与x 之间有怎 样的函数表达式?

变式2  如果加油前油箱里有5L油，y 与x 之间 有怎样的函数表达式?加油前油箱里有8L油呢?

(3)如果加油后油箱里有油40L,每行驶100km 耗油10L,写出行驶过程中油箱内剩余油量Q(L)  与 行驶路程s(km) 的函数表达式；

问题2    这些函数表达式有什么共同特点?

归纳：一般地，如果两个变量x 与y 之间的函数 关系，可以表示为y=kx+b(k 、b    为常数，且k≠0)

的形式.那么称y 是x 的一次函数(linear  function).   特别地，当b=0  时 ，y 叫 做x 的正比例函数.所以正 比例函数是特殊的一次函数.

这是八年级上册一次函数概念教学的片段，问 题的设置蕴含了丰富的符号意识，用变量表达现实 世界的变化，即两个变量之间的关系，这是学生要 经历的第一次抽象的过程，而概括这些函数表达式 的共同特点是让学生再次经历用符号来表示一次 函数模型，是学生在概念形成前的第二次抽象.这 些问题及其变式就是运用符号来培养抽象能力和

建模能力的生活具象，是教学中不可或缺的重要 环节.

2.用多种语言表征函数，促进符号表达的深刻 理解

引导学生用多种语言表示函数：一种是数学内 部与外部之间的转化，即自然语言和函数的符号语 言的转化，第二种是数学内部间的互相转化，即函 数的不同表达方式之间的相互转化，从而提高学生 的符号意识，发展学生的多元表征意识.

案例3 苏科版八年级上册“6.3一次函数的图 像”.

观察如图2的图片，并将你获得的信息填入 下表：

  卷

10

图 2

设燃烧过程中香的长度为y, 燃烧时间为x, 你 能写出y 与x 之间的函数表达式吗?

以x 轴表示香的燃烧时间，y轴表示香的长度， 建立平面直角坐标系，画出它的图像.

很多一线教师在进行这节课的教学中常忽视 此情境.实际上此现实情境能帮助学生深入理解自 然语言所蕴含的香的长度随着燃烧时间的变化而 变化的含义，用不同的方式记录香的长度：表格、表 达式、函数图像，让学生体会到不同的符号语言的 内在一致性，同时，让学生感受到符号语言比自然 图片语言更具有一般性与概括性，更能表述函数的 本质属性.

教学策略：函数是表达现实世界规律和数量关 系的又一重要模型，函数教学是符号意识形成的又 一重要契机，在函数教学中促进符号意识形成有如 下策略：①强化函数三种表示方法(函数表达式、图 表法、图像法)的教学，同时揭示不同符号表达函数 在本质上的一致性；②从三种符号表示方式的差异 性上，理解每种表达方式的优缺点，特别是要强化 函数图像的教学，实践证明学生在处理函数图像有 关问题还不能灵活和创造性应用.

三、在问题解决教学中引入符号，强化符号的 操作功能，深化符号意识

符号语言不仅仅是数学交流和表达的工具，更

是一种思维和操作的方式，也是发现问题和解决问 题的工具，是代数思维的基础.能够使用符号进行 运算推理，实现问题解决，是提升符号意识的一种 可视化表现.

案例4  甲、乙两运动员在长为100m 的直道 AB(A,B 为直道两端点)上进行匀速往返跑训练，两 人同时从A 点起跑，到达B 点后，立即转身跑向 A  点，到达A 点后，又立即转身跑向B 点…若甲跑步的 速度为5m/s, 乙跑步的速度为4m/s, 则起跑后100s 内，两人相遇的次数为(   ).

A.5            B.4        C.3        D.2

方法1:分别计算每次相遇的时间(略).

方法2:设两人相遇的次数为x,  依 题 意 得

为整数，∴x=4.

三种解法是三种 不同符号语言的表达， 方法1是算术方法，方

法2是构造方程模型，方法3用函数图像来表示运 动过程，直观性强，问题解决有创新意识，是符号意  识灵活运用的具体体现.这个问题还可以作变式， 变化为甲乙两人分别从A、B两地同时起跑，这样第 一次相遇路程和为100m, 问题会变得更加复杂，用 图像法来解决问题更具有优势。

教学策略：问题解决是数学学习的重要环节， 教学中要善于运用问题解决深化符号意识的形成.  在问题解决中深化符号意识形成策略：①设置典型 问题深化符号意识.八年级学生已经具备较强的逻  辑推理能力，教学中可以设计有一定思维含量的综 合性问题，在问题解决中强化学生引入符号表达现 实问题或数学问题的意识，引入参量解决问题是高 中阶段学习必需的技能，是符号意识形成的重要标  志；②优化符号的表达方式，深化符号意识.数学表 达不仅是解决问题的方式，更是认识问题的途径， 同一个问题用不同的表达方式，在最优化的符号表  达中形成符号解决问题的深刻理解；③运用符号语 言使问题解决程序化和操作化，深化符号意识.要  引导学生看透形式符号背后的代数结构或者图形  结构，把解决问题的过程内化为“对象”,能对“对  象”进行操作，提高解决问题的创新意识和创新  能力.