概念透析精细化——以《一次函数》章节分析为例
周林雪 江苏省江阴初级中学
摘要：在教学一次函数这章内容时，我们教研组通过集体备课，上观摩课然后坐下来进行教学反思，归纳经验，通过这种学研的模式，对这章教学有了深刻的认识。对函数概念教学从横向、纵向进行了细化分析，加强函数思想方法的渗透与应用，收获颇多。
关键词：概念 函数 思想方法 分析
学生第一次认识函数是在《一次函数》中，本章节共5节内容，本文对本章节概念多角度、多层次抽丝剥茧，逐步深化，解决学生在学习过程中对知识产生的混淆和不理解，帮助学生正确掌握学习函数的方法．
一、章节概念的横向细化
第1节“函数”，函数是“数与代数”中的重要内容，广大学生在初学时会感觉到比较抽象，不理解．因为函数本就是一个抽象的数学概念，对于函数的概念的学习中，根据问题的形式，学生往往会只关注关系式、自变量或函数值的取值范围，而忽略了认识事物的变化过程．学生可以通过教科书中的实例：匀速行驶的火车、水库的水位变化、水滴激起的波纹等这些现象感受变量与变量之间的相互关系，并运用函数的三种表达方式（表格、图像和关系式）揭示实际事物变化的规律。
例如：在上述变化过程中，（1）不变的量有谁？（2）有几个变化的量，他们之间有什么关系？（3）当一个变量确定时，另一个变量能确定吗？用上面3个问题得出可以归纳得出函数的概念：在通常情况下，假若在一个变化过程中存在着两个变量x和y，变量x取每一个值，变量都有惟一的值与它对应，那么我们称y是x的函数．
对于函数的概念，学生切不可死记硬背，要多关注共性，每个变化的过程中，都有两个主要变量及这两个变量之间的相互依存、制约的辩证关系．
第2节：一次函数，通过两个实例给出一次函数的概念。如果两个变量x与y之间的函数关系，可以表示为 (为常数,且)的形式，那么称y是x的一次函数，特殊地，y是x的正比例函数．
该概念可分为三个层次理解，第一层次：上述一次函数的概念是一种描述性定义，所以要求学生们能够掌握是否会判断是一次函数还是正比例函数？并说明理由；第二层次：明确正比例函数是一次函数的特例，也就是一次函数包含了正比例函数，而不能理解为两个单独的概念；第三层次：该表达式揭示了变量与变量间的关系，可根据函数值，求与之对应的自变量的值，也可利用待定系数法求出一次函数的关系式．
第3节：在学习一次函数的图像时，学生从“列表、描点、连线” 三步画出一次函数的图像，到图像与坐标轴的两点交点、来画，都是感受图像是一条直线。在此基础，感受图像直线的上升和下降与公式中的k的关系，万万不可死背一次函数图像的性质，无论是画图像还是研究性质始终离不开数形结合的思想方法．
第4、5节：一次函数的应用，应用数学包括了两方面，第4节是一次函数在生活实际中的应用，第5节是一次函数的图像解二元一次方程组的近似解，这属于一次函数在数学内部的应用．
关于一次函数的应用，涉及应用其图像来解决问题，学生可以结合实际问题，从图像中发现变量之间存在着怎样的关系，从而写出一次函数关系式，也就是将实际问题化为数学问题，建立一次函数，从而解决实际问题；最后，用一次函数解决实际问题．下面以一道例题说明．
例1：王强一家周末上午9点自家中出发，驾驭小汽车到160千米以外的景点旅游，汽车离家的距离用s（千米）表示，行驶时间用t（时）表示，则它们之间的关系可以用图中的曲线来表示。按照图像表示的信息，回答：（1）王强一家在景点旅游了多少时间？（2）写出王强一家在回家途中，s（千米）与时间t（时）的函数关系是怎样的，他们什么时间到家？
解析：函数图像能直观而形象的反应出小明全家旅游的情况，看x轴，它是自变量t（小时）；看y轴，是离家的路程s（千米）；看图像，寻找s与t两个变量之间的变化关系、变化过程和变化趋势，此分段函数反映出王强全家到某景点从出发到游玩再到回家的情况．
（1）从图像上看，9点出发，11点到达，然后是一条平行于横轴的线段其长度是4，所以王强全家在景点游玩4小时．
（2）从图像上看，右边的斜线段是小明全家返程时的路线，显然，它是一次函数的图像（思考：为什么？）要求出关系式，就要在这条线段上找出两点来，这从图像上很容易找到．
二、章节概念的纵向深化
通过第1节的学习，学生明确了函数的概念，理解了自变量应该如何取值，了解了函数的图像及函数的性质，为第2、3节的学习打下了基础。学生懂得了一次函数只是函数这个集合中的一种，一次函数与函数的关系是特殊与一般的的关系。因此，引领学生学习时可以采取类比的方法，先学习一次函数的定义，再学习一次函数的图像和性质等，这样加强了前后知识的联系，完成了由旧知向新知的过渡（如下图）.这种学习方法，也为今后学习反比例函数、二次函数知识前后类比与对比做准备工作．
第5节的学习，是本章内容的难点，许多学生不理解方程和函数之间的对应关系，下面我们就从两个角度层层分析.
通过移项的形式可以将一次函数转变成二元一次方程的形式，反之，二元一次方程也可以转换为一次函数的形式，并且可以发现一次函数图像上的点与二元一次方程的解是一一对应的关系，即一次函数图像上的任意一个点，都是二元一次方程的解。反过来，二元一次方程的解都在一次函数图像上。这样就实现了两个一次函数与二元一次方程组的形式的完美统一，这也是解二元一次方程组的新解法，也是数形结合在数学上的应用，体现了数学的“数形思想”和“转化思想”。.
三、章节概念中蕴含的思想方法
数学思想方法是数学知识的精髓，学生在数学学习中能够自觉利用数学方法来分析数学问题，就会取得更好的学习效果，在一次函数的学习中体现了上面提到的“特殊与一般”、“转化思想”、“数形结合”，还有“函数”、“方程”思想.
1．函数思想方法
函数是研究现实世界数量关系及变化规律的重要数学模型，体现了两个变量的对应关系，灵活地对函数加以运用，可以解决很多数学问题。
对上面例1再分析：这种类型的函数也叫做分段函数，它的特点是在自变量不同的范围内，函数的关系式不同，图像不一样，学习时要注意两个函数转折点的坐标，起到承上启下的作用。
2．数形结合思想方法
数形结合的思想是将数据与图形结合起来分析数学问题的方法，.在研究函数图像和性质、二元一次方程组的图像解法时都离不开数形结合．
例2：某公司要和汽车租赁公司签定租车合同，以每月用车路程x km计算，甲汽车租贷公司的租费是y1元，乙汽车租贷公司的租费是y2元，如果y1、y2与x之间的关系如图，那么（1）每月用车路程多少时，租用两家汽车租贷公司的车所需费用相同？（2）每月用车路程在什么范围内，租用甲汽车租贷公司的车所需费用较少？（3）如果每月用车的路程为2300km ，那么租用哪家的车所需费用较少？
解答这个题目的理论基础就是数形结合的思想，解决问题的首要任务就是利用待定系数法求出解析式，可以引领学生找到两个解析式组成的二元一次方程组的交点，这是解决问题的关键，在观察中学生要比较两个图像的高低，弄懂两个图像的交点所表示的含义及图像的上下位置所表示的意义。
四、教学建议
在一个章节学习后，希望学生有对下面的问题引起思考：一是要明确每个概念都是与其它知识相联系的，通过概念可以把所有的知识联系起来，将知识点连成线，将线形的知识结合成块，有利于知识的存储和提取．二是在学习或做题中利用数学方法来思考与分析，把握数学问题的本质．三是要让学生通过学习归纳所学知识，丰富数学活动体验。如：本章节一次函数的学习就可以为以后学习反比例、二次函数等知识打好基础，可以与其进行类比，加深学生的理解，对知识迁移，那就会感觉学习数学是一件轻松的事．
参考文献：
[1] 冯昌潮. 加强数学思想方法教学铸造高素质人才[J]. 科技资讯 2014年12期
[2] 陈育兰. 挖掘、渗透、运用、强化数学思想方法[J]. 课程教育研究 2014年20期