除法有分配律吗？

江阴市长寿实验小学 李丽

【问题凝视】

在六年级分数四则混合运算单元教学后，类似下面的错误出镜率极高。

学生认为除以一个数等于乘这个数的倒数，被除数6与括号里两个分数的分子3是倍数关系，使用“除法分配率”可以使计算简便。在小学数学教材中，运算律包括加法的交换律和结合律，乘法的交换律和结合律，乘法对加法和减法的分配律，到底有没有“除法分配律”？如果没有“除法分配律”，学生为什么还会一而再，再而三地反复错用呢？根源在哪里？

【成因透视】

（一）乘法分配律的“负”迁移

在学习过程中，前后知识之间有时会产生不良的干扰，学生面对两种看似相似实际却不相同的情境，容易产生认知混淆。上述错误现象明显是受乘法分配律的“负”迁移导致。学生将乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c，“迁移”到（a+b）÷c=a÷c+b÷c，等式依然成立。由于学生只是“知其然”，并未“知其所以然”，导致学生自觉地认为乘法分配律在除法中同样适用。因此由a×（b+c）=a×b+a×c的惯性思维，自然而然地认为把乘号改成除号等式依然成立。又因上述错题中括号里的分子3都能整除被除数6，也就更坚定了用“除法分配律”使计算简便的信心，最终出现了形如a÷（b+c）=a÷b+a÷c的错误现象。

（二）计算法则的“伪”理解

同样的错误在学习了运算律后并不少见。这与教师重算法轻算理有关。有部分老师在教学中采取辨别记忆法：假如出现（a+b）÷c就可以用除法分配律a÷c+b÷c，假如出现c÷（a+b）就不可以用除法分配律c÷a+c÷b。甚至总结出了方法：除数是同一个数，可以用除法分配律；被除数是同一个数，不能用除法分配律。根据算式的不同特征选择解法的策略不是不能用，但没有让学生实现算理的理解，无法消除负迁移的影响。“甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数”，为什么要用甲数乘乙数的倒数？学生对这里的“乙数”代表的是一个整体，除以乙数，等于乘乙数这个整体的倒数的理解是模糊的，正因为如此，造成了这类错误算法的一再蔓延。

【出路审视】

（一）紧扣意义找区别

除法可以分为等分除和包含除两类。（a+b）÷c，可以理解为把被除数平均分成c份，或是求被除数里面有多少个c，只不过这里的被除数是两个数a和b的和，与a÷c+b÷c的意义相同。而c÷（a+b）与c÷a+c÷b则完全不同，前者是c里面有多少个a与b的和，后者是先分别求出c里面有多少个a、c里面有多少个b，再把两者相加。如果都是正数，前者的结果明显小于后者。

（二）寻找联系辨本质

学生的负迁移来自乘法分配律，认为（a+b）÷c或c÷（a+b）类似于“除法分配律”。在学习了分数除法以后，我们会知道，除以一个非0数，就等于乘这个数的倒数。所以（a+b）÷c可以转化为（a+b）×，等于a×+b×，也就是a÷c+b÷c。可以发现，其实除法分配律是个伪命题，其实质就是乘法分配律。而c÷（a+b）要改写为乘法的话是c×，无法进一步利用乘法分配律计算。

如果我们再深入思考，c÷（a+b）真的不能利用成乘法分配律的形式来解决吗？或者说c÷（a+b）能否转化成（a+b）÷c的形式？答案是可以的。因为这两个算式的结果就是互为倒数的关系，所以解决c÷（a+b）时，可以先转化为（a+b）÷c，即（a+b）×，再利用乘法分配律。例如有一道思考题：

计算：÷（2020+）

我们可以先计算 （2020+）÷

=（2020+）×

=2020×＋×

=2021＋1

=2022

再写出结果的倒数，就得出原题的结果是。

（三）联系生活来检验

数学来源于生活，也必须扎根于生活，并且应用于生活。为什么在四则混合运算中先乘除后加减呢？就是因为符合生活实际。因此，我们可以把（a+b）÷c或a÷（b+c）转化成数学实际问题，在解决生活实际问题中找出合理的方法。

【片段重构】

师：对于这位同学的这种算法，你们怎么看？如果按照四则混合运算的顺序计算的话应该是多少？

学生完成后将两种算法对比呈现。

师：除了通过计算法则证明这样做是不可行的，我们能不能试着从生活中找一找合理的方法。请把算式改编为一道实际问题。

生1：AB两城相距6km，甲乙两人同时从两地相向而行。甲的速度为km/h，乙的速度为km/h，多少小时后两人相遇？

生2：工地上有一堆黄沙共6吨，甲工程队每天用吨，乙工程队每天用吨，两队共用，几天全部用完？

师：这两道题可以列出怎样的算式？

生：都可以列式为。

师：可以列成吗？

生1：不行。因为相遇问题用总路程除以速度和，如果用总路程除以一个人的速度，算出的是他行完全程的时间，而不是相遇的时间。

生2：第2小题，也不能用，因为只有1个6吨，而不是两个6吨。

师：根据生活实际，我们很容易发现这样的题目不可以拆开来除。我们同样很容易就能从类似算式结果的大小中发现问题。你能很快看出6÷（2+3）与6÷2＋6÷3的大小吗？

生：第一个算式得数小，第二个算式得数大。

师：是啊，被除数除以两个数的和所得的商，一定小于这个数分别除以一个数，再把两个商相加的和。运用在分数除法里也是一样的。刚才小王说他用的是除法分配律，你们觉得正确吗？那有没有除法分配律呢？

生：我觉得例如（1.25+7.5）÷0.25这样的题目可以用1.25÷0.25+7.5÷0.25来计算，而且我算过了，得数都是一样的，这才是除法分配律。

师：有些时候这类题这样做的确可以使计算简便。但这是除法分配律吗？想一想，我们学过什么分配律？这道题和乘法分配律有没有联系呢？

生：我发现了，除以一个数就是乘这个数的倒数，所以这道算式中，除以0.25其实就是乘4。所以还是运用的乘法分配律。

师：除法就是乘法的逆运算，刚才的例子虽然可以把被除数拆开来分别除以除数，其实运用的还是乘法分配律的方法，并不存在真正的除法分配律。同学们在计算时要注意合理使用合适的方法。

美国教育家杜威指出：“真正思考的人从自己的错误中吸取知识比从自己的成就中吸取知识更多，错误与探索相联姻，相交合，才能孕育出真理。”^[]因此，我们教师要变“错”为“宝”，抓住时机让学生对错题进行更深层次的探究，从而加深对知识本质的理解，让错误变成宝贵的教学资源，真正做到教师为理解而教，学生为理解而学。