商有七十二变吗？

江阴市长山中心小学 何海华

【问题凝视】

苏教版小学数学四年级上学期学习了商不变的性质后，练习册有这样的一道习题：

根据5400÷18=300，直接写出下面各题的答案。

540÷18=（   ）     5400÷36=（   ）

270÷18=（   ）     5400÷72=（   ）

笔者本学期开学初进行了调查测试：3分钟内，四年级2个班83人中，正确人数26人，占比31.3%，错误47人，占比56.6%，未完成10人，占比12%。这样一道填空题，正确率才三成，甚至还包括直接竖式计算的，错误答案则五花八门。有的学生是根本没想到用商的变化规律来思考，有的学生是知道运用规律来填空，但由于对规律的理解不够透彻，因此找不准其中的规律。虽教师反复讲评，效果仍旧不佳。

【成因透视】

1. 内容编排的问题

本道题涉及到的知识点是商的变化规律。在苏教版教材，只安排了商不变的性质，没有编排商的变化规律的例题，但在学生的练习作业中无法回避。人教版教材中有编排，是把商不变的性质和变化的规律安排在一课时中学习。商的变化规律是在学生思维从静止走向运动，从运算走向关系的重要转折。它与后续学习的常见数量关系、分子分母的变化，比的前项后项变化、正反比例意义，乃至中学的正反比例函数都有着千丝万缕的联系。

2.规律理解表面化

小学四年级的学生思维特点，还处于具体形象思维到抽象逻辑思维的过渡阶段。学生要通过一大堆静态的数学算式来学习动态的变化规律，对于静态思维的小学生来说，存在一定困难。所以学生对商的变化规律的认识往往只停留在表面。没有对规律进行深入的探索与思考，不与学生的生活经验对接，要在变与不变中真正理解商变化规律的本质，学习很难未真正发生。

3.教学处理简单化

在以往的教学中，学生往往在教师的引导下，通过观察一大堆的算式，比较归纳得出三个规律。而且通常只重视第一个规律商不变的性质的教学，而对于商的变化规律，书上没有，即使补充教学，往往也是一带而过，觉得只要熟背三条规律就好。这种重结果轻过程的教学方式也直接导致了学生对变与不变规律的一知半解。还有个别老师认为这仅仅是一道习题而已，实在不会就让学生列竖式计算，只要算对就好。这是纯粹的应试教育。本课的教学目标有探索发现规律、渗透函数思想、培养抽象概括能力等等，如果采用简单的灌输式教学，这些目标又如何实现，学生的数学思维核心素养的培养都是空话。

【出路审视】

1. 整合内容，分散难点

不安排商的变化规律的教学，显然不合适。一节课同时研究把被除数、除数的变化引起商的变化的三个规律合并在一课时中教学，内容过多来不及，学习有一定难度。因此建议重新整合安排，第一课时学习商不变的性质，第二课时学习商的变化规律。这样的整合安排可以适当分散学习难点，丰富了学习内容，也可以让学习更加深入。

2.猜想验证，合作探索

猜想是培养学生创新意识和促进深度思考的有效手段。数学课堂中，教师要营造猜想的氛围，点燃学生思维的火花，引发学生的猜想激情。如果仅仅呈现一组算式，通过观察比较来学习商的变化规律，学生只能被教师牵着鼻子走，学习是被动的。因此，上课开始就可以放手让学生去猜想。昨天我们学习商不变的性质，知道了在被除数和除数同时乘或除以同一个数（零除外），商不变。那么除法中的变与不变还有什么规律。如果除数不变，被除数和商有怎样变化的规律？如果被除数不变，除数和商有怎样变化的规律呢？你们的这些猜想是否都正确，怎么办呢？请你想办法来证明，组织小组合作学习，探索验证方法，看看那组的方法多。通过有目的的引导学生猜想，可以激发学生思维，提高学生的探究热情。

3.多元表征，促进理解

中年级学生的抽象思维能力还处于初始发展阶段，被动引导学生进行抽象推理，理解存在困难，效果不佳。教学中只有充分发挥学生的主观能动性，调动学生已有知识与生活经验，将新知与之对应。对规律的抽象推理，理解掌握才会水到渠成。因此，教学中放手让学生去讨论探索验证方法。引导学生通过融入事例、图形表征、计算举例等多元化的方式去验证自己的猜想。这样教学有利于学生借助已有经验同化新知，促进对规律的理解。

4. 对比沟通，联结成网

三条规律格式是差不多的，学生比较容易混淆，只有把散状的三条规律串联起来，把知识点的内在联系找出来，学生的知识才能形成结网。课的结尾部分，出示三条规律，引导学生比一比，找一找今天学的商变化规律与商不变的性质的之间的联系，通过比较沟通。学生发现把这二条连起来就是商不变的规律。这样的教学使学生不仅关注规律，而且理清了三条规律背后的联系，从而使商不变的规律理解的更深入，掌握的更牢固。

【片段重构】

一、设疑导入，猜想规律

师：我们已经知道了被除数和除数同时乘或除以同一个数（零除外），商不变。如果被除数和除数不同时扩大或缩小相同的倍数，商会发生怎样的变化呢？请你大胆猜一猜。

生1：除数不变，被除数乘几（除以几），商也乘几（除以几）。

生2：除数不变，被除数乘几（除以几），商除以几（乘几）。

生3：被除数不变，除数乘几（除以几），商也乘几（除以几）。

生4：被除数不变，除数乘几（除以几），商反而乘几（除以几）。

根据学生猜想整理如下情况：

序号	被除数	除数	商	备注
1	乘几（除以几）	不变	乘几（除以几）	零除外
2	乘几（除以几）	不变	除以几（乘几）
3	不变	乘几（除以几）	乘几（除以几）
4	不变	乘几（除以几）	除以几（乘几）

二、多元表征，理解规律

师：你们的这些猜想是否都成立？你有什么办法来证明？看看哪个小组办法多？

学生合作探究，教师巡视。

1.验证第一组猜想：除数不变，被除数和商的变化情况。

师：接下来我们下哪里研究除数不变的情况，哪个小组先来展示。

生1：我们举个购物的例子，一只水笔5元，我有10元，可以买2支10÷5=2；如果我带20元，可以买4支，20÷5=4。所以我们认为第一个“除数不变，被除数乘几（除以几），商就乘几（除以几）”的猜想是正确的。第二个不成立。

生2：

生3:我们组是画图来验证的，

8个正方形排成2行，每行是4个，8÷2=4；如行数不变还是2行，正方形多一点有16个，每行就是8个，16÷2=8。我们发现被除数与商的变化是一致的。

生4：……

师：像这样的例子可以有很多很多，那在除数不变的情况下，能举出被除数与商的变化不一致的例子吗？看来同学们的第一个猜想是成立的。板书齐读！

2.验证第二组猜想：被除数不变，除数和商的变化情况。

师：如果被除数不变，又是那个猜想成立呢？

生1：我们小组认为第四个是成立的。举个例子，24颗糖果如果平均分给2人，每人12颗；如果分给4人，每人6颗，如果分给8人，每人3颗。人数越多，每人分得就越少。

师：生活中这样的例子还有很多。

生2:我们组是通过列式计算来证明的。

36÷2=18

36÷4=9

36÷12=3

从第一个式子到第二个式子，除数2到4乘了2，商从18到9反而除以了2。

师：那第三个呢？

生2：从第二个式子是到第三个式子，被除数没变，除数乘3，商反而除以3。师：“反而”这个词用得好。这就表示当被除数不变，除数和商的变化正好相反的。

生3:我们组通过画图来证明第四个猜想成立，第三个不成立。

24÷2=12

24÷8=3

24÷4=6

长方形面积相当于被除数，如果长方形的面积24不变，长变小，宽就变大了。

师：看来运用我们学过的长方形的知识也能来证明这个规律。 猜想4也是成立的。

二、对比沟通，深化规律

同时出示三条规律：

序号	被除数	除数	商	备注
1	乘几（除以几）	乘几（除以几）	不变	零除外
2	乘几（除以几）	不变	乘几（除以几）
3	不变	乘几（除以几）	除以几（乘几）

师：同学们，仔细观察下，这三条规律之间有什么联系吗？同桌说一说。

生：我认为今天学的第二条第三条规律，合起来就是第一条商不变性质。

师：是吗？那谁能来具体说一说。

生1：根据今天的学习，如果被除数乘3，商也要乘3；而除数乘3的话，商要除以3，商先乘3再除以3正好保持不变。

生2：商先乘3再除以3就抵消了。

师：完全正确！商乘3除以3正好抵消，所以商不变。你们打算怎样记住这三条规律。

生：我们只有记住了第二、第三条，第一条自然就记住了。除数不变，被除数乘几商就乘几。被除数不变，除数乘几商反而除以几。当被除数和除数同时乘几时，商先乘几在除以几，那就肯定抵消掉，商不变。，

师:那我来考考大家，A÷B=12，如果甲除以6，乙乘2，商是多少？

生：被除数除以6商要除以6，除数乘2商反而除以2，所以12除以6再除以2商等于1。

师：同学们很厉害!看来只要掌握商的变化规律，不管题目如何变化，都能轻松应对，万变不离其中！

（江阴高新区长山中心小学 何海华）