如何正确比较周长？

江阴市长泾实验小学 张烨栋

《认识周长》是苏教版小学数学三年级上册的内容，是“图形与几何”领域的一项重要知识，是今后学习各种图形周长和面积的一个开始，因此，在这一节课中让学生掌握周长概念和培养空间观念就显得尤为重要。教材先让学生在给出的每张书签图中指一指一周边线并告知：书签一周边线的长就是它的周长；接着让学生通过测量计算三角形、四边形的周长；最后要求学生通过小组合作测量出一片树叶的周长。

一、问题凝视

《认识周长》这节课内容看似简单，学生容易理解，但对于课后练习中的以下几个练习题学生的错误率较高。

1.

2.下图中，甲的周长与乙的周长相比，（    ）

A.一样长 B.甲长 C.乙长 D.无法比较

3.把两个边长为1厘米的正方形拼成一个长方形，长方形周长是（    ）厘米。

二、成因透视

面对学生在作业中出现的错误，思考错误背后的根源。其实，一个错题背后体现的是一个知识体系的缺失，对错题深度分析原因，改进教学策略，以此来提升学生对周长的进一步理解十分必要。

（一）本质刻画不够深刻

比较周长长短时，学生往往容易受到面的干扰，即学生容易认为面越大，周长就越长。究其原因，是教学时对周长本质的刻画不够深刻。周长周长，“周”是前提，“长”是本质。学生在二年级时研究的是一维线段的长度，周长研究的是二维封闭图形边线的长度。虽然图形从一维拓展到了二维，但是研究的本质却没变，还是长度，是一种特殊的长度，是首尾相接的长度，是图形上的长度。

（二）概念外延不够丰富

概念的应用、外延不够丰富体现在新授时常就题论题，使得学生的思维停留在较浅的思维层次，空间想象能力得不到提升。本课学生认知的一大难点是拼组图形的周长，在解决这类题目时学生易受到“加减法意义”的负迁移。“拼成图形的周长是多少？”学生往往会用加法把拼前图形周长相加。包括学完长、正方形周长后，对于“在一个长15厘米，宽10厘米的长方形中剪下一个最大的正方形，剩下图形的周长是多少厘米？”此类题目，也有相当一部分的学生会直接用长方形周长减去正方形周长。究其原因，是在周长起始课上，缺少对拼组图形周长的思辨，即概念外延不够丰富。

三、出路审视

从教材角度分析，各版本教材如下：

人教版教材 北师大版教材               苏教版教材

比较各版本教材，都是从物体和图形两个层面来认识周长的，对概念的定义都立足于“一周”“长度”。略有不同的地方是苏教版提到了“边线”，人教版指出了“封闭图形”。从中不难发现，“边线”不是重点，重点在于“一周”、“长度”。

（一）聚焦本质，找准生长点

封闭图形一周边线的长就是它的周长。那对“周长”意义的理解是否只立足于“封闭图形的一周”就够了？答案显然是否定的，皮亚杰研究发现，儿童自发的几何发展顺序是：拓扑几何→投影几何→欧式几何，年龄很小的儿童就有拓扑学的直觉，他们已能够领会拓扑学上的关系：邻近、分离、包围、封闭等。7、8岁的儿童随着拓扑学上的直觉，开始出现了投射直觉和欧几里得几何学概念。“封闭图形”只是新名词，学生认知没有困难。学生对于“一周”也是有经验的，几乎所有的学生都会指出封闭图形的“一周边线”。基于以上学情，周长的教学应抓住其本质（长度），可以从上位概念到下位概念来展开教学。

（二）矛盾冲突，凸显着力点

平面图形的周长和面积紧密依存，但又是不同的两个概念。对三年级学生而言，其认知水平正处于具体运算阶段，思维发展以具体形象思维为主，抽象思维虽也在初步发展，但学生从平面图形的面上抽象剥离出周长还是比较困难的。教材把周长编排在三年级上册，面积编排在三年级下册，但学生对平面图形面积的感觉要比周长更为强烈。因此在周长的起始课上，进行面积和周长的思辨十分必要。当然不用刻意去认识面积，只需把学生对“面”的关注转移到“线”的关注。

四、教学重构

【教学片段一】

★ 活动一：认周长

1.理解一周

（1）测量

师：知道吗？张老师可是会变魔术的哦，我这儿有一根魔线，它有多长呢？谁愿意上来量一量？

生量

师：他量的特别仔细，把铁丝的前端对准了刻度0，从头量到——尾。大声告诉大家多长？（50厘米）

（2）感知：

师：现在开始变魔术了。我说魔线魔线，大家一起喊“变变变”！好吗？

师：魔线！魔线！

生（齐）：变！变！变！

师：魔线变？

生（齐）弯了。

师：再变！变！变！现在怎么啦？

生：头和尾连起来了！

师：换个词就是——首尾相接。

（3）定义：

师：这根魔线变成了一个首尾相接的图形，像这样的图形叫做封闭图形。（板书：封闭图形）

师：如果现在我们要测量这根魔线的长度，应该从哪量到哪呢？谁来指一指？

生指

师：他是这样指的，从这点开始，沿着边线指，又回到起点，刚好指了这个封闭图形的？

生（齐）： 一周。

（4）固化：

师：接着变，魔线！魔线！

生（齐）：变！变！变！（板贴正方形）

师：这个图形是封闭图形吗？谁来指一指它的一周边线。

生指

师：这位同学是从这个起点开始，这样指的，可以吗？那如果从这个起点开始呢，谁来指一指？

生指

师：这两种指法有什么不同？

小结：看来，指封闭图形的一周，指的起点可以不同，只要从（起点）出发，沿（边线）指，又回到（起点）指的都是这个图形的“一周边线”。

（5）辨析：

师：继续变，魔线魔线——变变变。（板贴不规则图形）这个图形是封闭图形吗？谁来指一指它的一周边线。

师：还要变，魔线魔线——变变变。（板贴角）这个图形有一周边线吗？为什么？

小结：对呀！它不能从一点出发回到起点，所以没有一周边线。像这样的图形叫不封闭图形。

2.理解周长

（1）定义：

师：只有封闭图形才有“一周”边线，我们把封闭图形一周边线的长，叫做它的周长。周长就是——！（学生齐读：封闭图形一周的长是它的周长。）

（2）回扣：

师：这个封闭图形的周长是多少？这个呢？（50厘米）

师：图形不同，为什么周长都是50厘米？

小结：说得真好！他们都是由这根魔线围成的，他们的周长就是这根魔线的长度。

（3）拓展：

师：刚才我们用魔线围出了一些封闭图形，其实在我们生活中很多物体上都有这样的封闭图形。拿出数学书，数学书的封面是什么形？请你指一指数学书封面的周长是哪到哪的长度。

生自由指

演示：哦，数学书封面的周长指的是这儿到这儿的长度。（课件展示）

师：下面，请同学们在教室里找一找、指一指，边指边说你找到的是哪个面的周长，是哪到哪的长度。

（4）梳理：

师：那这个魔盒上有周长吗？谁能找一个？

问：谁能找一个不同的？不同在哪儿？

小结：是的，这个纸盒有很多个面，每个面都有自己的周长，看来在说周长的时候要说清楚是哪个面的周长。

【教学片段二】

★ 活动三：玩周长

（一）闯关练习

1.第一关：拼一拼

师：老师这儿有一个正方形，周长是多少？（4厘米）再来一个，他的周长当然也是？（4厘米）

①猜测：

师：现在，把这两个正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长会是多少呢？

生1：8厘米

生2：6厘米。

②辩论：

师：一个4厘米，另一个也是4厘米，加起来明明是8厘米，怎么会是6厘米呢？

生：周长是一周边线的长，中间的不算，所以是6厘米。

小结：真会思考，看来两个图形拼成新图形，周长可不是简单相加就行，要看新图形一周边线的长度。

过渡：恭喜大家，第一关顺利通过！现在难度升级！进入第二关，比一比。现在正方形的个数变多了，有几个？张老师可是会变魔术的，变！

2.第二关：比一比

师：请你在学习单上算一算、比一比，谁的周长最短。

生算、比

师：你们选择的是？为什么？

生：B。因为A的周长是10厘米，B的周长是8厘米，C的周长是10厘米。

师：比较这些图形的周长，你发现了什么？把你的想法和同桌说说。

生：小正方形个数相同，都是4个，周长不一定相同。

小结：了不起的发现，虽然小正方形个数相同，但周长可能不同！

过渡：这么有难度的题目，你们都能毫不费事地解决，真是厉害！看来难不住你们，再多变一点小正方出来。

3.第三关：移一移

（1）移走1个

师：有几个？它们拼成了一个——大正方形。大正方形周长是多少？

生（齐）:12厘米！

师：继续变，正方形正方形——变变变！

师：现在周长怎么样了？

生1：变小了。

生2：没变！

追问：能说说你的理由吗。

生边演示边说：只要把这两条线段这样一移就能看出来了。

师：经过他这一移，发现周长真的——没变。厉害！没想到你们也会变魔术，把周长变回来了。

（2）移走两个

师：接下来伸出手，和老师一起来变魔术，正方形正方形——变变变。周长怎么样了？

生（齐）：没变！

师：你们怎么知道没变呀？

生（齐）：移。

师（课件演示）：是这个意思吗？厉害，又被你们变回来了。

（3）移走4个

师：还想变吗？正方形正方形——变变变！（出示移走4个）周长怎么样了？

生：没变！

师（课件演示）：真的——没变。

（4）归纳：

师：魔术过后要有思考，发现小正方形的个数在越变越少，但是周长——没变！

小结：看来比较图形的周长，不能光看图形的大小，还是要看图形一周边线的长度。

《认识周长》是几何教学的一个起点，是以后学习各类图形周长和面积的一个开始。因此，本节课如何让学生理解周长概念、提升空间观念显得尤为重要。因此，在周长概念教学时应准确揭示概念的本质内涵及外延，帮助学生逐步形成正确的数学概念，深入理解概念本质。