小数是特殊的分数吗？

江阴市璜土实验小学 黄晓旦

【问题凝视】

上学期听了一位青年教师执教五年级《小数的意义》一课，当课堂反馈时教师提问：“对于今天学习的内容还有什么疑问或补充？”这是班级里一位思维敏捷的小男孩站起来说：“老师，既然一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……，我觉得小数就是特殊的分数”

其他同学对于小男孩的总结觉得很有道理，教师对于学生能有这样的感悟也表示认可，班级里响起来热烈的掌声！

对于“小数就是特殊的分数”这样的描述有道理吗？

【成因透视】

苏教版小学数学教材在编排上极力凸显了分数与小数之间的联系，目的是减轻学生认知小数的思维负担，的确小数与分数之间存在的密切的联系。三年级上册和下册分别认识了分数，又借助长度单位认识十分之几可以写成一位小数，五年级上册教材仍然借助长度单位让学生认识两位小数表示百分之几、三位小数表示千分之几。下面是苏教版、人教版、北师大版教材对于小数意义的描述：

苏教版教材：分母是10、100、1000……的分数都可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……

人教版教材：分母是10、100、1000……的分数都可以用小数表示。小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001……

北师大版教材：把“1”平均分成1000份，其中的1份是（  ），也可以表示为（  ）；其中的59份是（  ），也可以表示为（   ）。

三个版本都没有明确的小数定义，苏教版和人教版给出了描述性的说明，北师大版连描述性的说明都没有，而是通过长度单位、人民币单位、重量单位、图形等大量现实情境沟通分母是10、100、1000……这类分数与小数的关系。这样的描述似乎都在表达：小数就是特殊（分母为10、100、100……）的分数，两者只是表现形式不同而已。

由此可见，学生对小数与分数的关系产生误解，认识不够全面，是很正常的想象。

【出路审视】

1. 对小数的知识的梳理

小数安装大小区分，整数部分是0的小数叫做“纯小数”，整数部分不是0的小数叫做“带小数”。按照小数部分的数位区分，小数可分为有限小数和无限小数，有限小数是指小数的小数部分数位是有限的，可以数完的，学生在生活中接触最多的是有限小数。而无限小数是指小数的小数部分数位是无限的，数不完的，教材中无限小数只在《小数除法》单元的《你知道吗》中有过介绍，并没有深入研究。下面用一张图展示一下小数的分类：

2.小数与分数的关系

①分数肯定可以化成小数，除得尽的可化成有限小数，除不尽的可化成无限循环小数。如

除得尽： =2÷5=0.4

除不尽： =5÷6=0.83        =3÷7=0.428571

因为用除法把分数转化成小数时，就相当于把分子除以分母，两个整数（都属于有理数） 相除得到的结果也是有理数，只是有些循环节数位多一些而已。

②小数不一定可转化为分数，小数包括有限小数和无限小数。有限小数肯定可以转化成分数；而无限小数又可分为无限循环小数和无限不循环小数，无限循环小数是有理数，可以转化为分数，无限不循环小数是无理数，不能转化为分数。如

有限小数：0.5=    =          0.09=        0.063=

无限循环小数： 因为0.3×9=0.3×（10-1）=3.3 – 0.3 =3

所以0.3×9=3

由此可得0.3=   =

无限不循环小数：常见的无限不循环小数有 、π等。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环，属于无理数，不能写作两整数之比，故不能转化成分数。

正常情况下，不会用图来表示小数与分数两者之间的关系，虽然小数比分数包含的范围广，但两者毕竟是数的分类中的不同类别，不会说成小数包含分数。

【片段重构】

问题驱动：今天我们研究两位小数，我们可以从哪些方面研究它？（读、写、大小、组成）请同学们举一个比较简单的两位小数在小组里自主研究。

展示研究成果：

1.用0.05元验证

观点①：0.05元就是5分  这在我们生活中就知道了。结论：0.05元=5分

观点②：0.05元就是把1元平均分成100份，每份是1分，表示其中的5份。

结论：元=5分

评价：观察两个算式得 0.05与 大小一样。

2．用0.58米验证

观点①：5分米8厘米或58厘米。结论：0.58米=58厘米

观点②：0.58米就是把1米平均分成100份，每份1厘米，表示其中的58份。

结论：米=58厘米

评价：观察两个算式得 0.58与 大小一样。

小结：通过刚才的举例验证，我们现在可以大胆得说两位小数就表示百分之几。

3．迁移：既然两位小数表示百分之几，那后面的三位小数呢？四位小数呢？

（板：三位小数表示千分之几 四位小数表示万分之几……）

4. 质疑：是不是所有的小数都可以写成分母是10、100、1000……的分数？

辩论：有限小数都可以。无限小数没办法转化。

教师介绍无限小数与分数的关系，鼓励学生撰写研究小论文。

综上所述，小数的本质是十进制数，是整数与分数之间的桥梁，不是分数的附属品。小数有些可以转化成分数，有些不可以转化成分数，由此可以得出：小数不是特殊的分数，所以“小数就是分母为10、100、1000……的分数”这样的说法显然是不严谨的。