小数除法中的余数到底是多少

江阴市实验小学 张斌

【问题凝视】

五年级小数除法教学后，经常会考察这样的问题：

3.72÷1.5当商2.4时，余数是（  ）。

四个选项：A、12    B、1.2   C、0.12   D、120

从学生选项来看错误百出：选A的认为列竖式计算看余数就是12；选B的认为列竖式计算看，是当成37.2÷15计算余数应该是小数且小数点对齐商的小数点，余数是1.2；选D的认为除到商是2.4余下来12要添0继续除，所以要看成120。从以上错误来看，学生对小数除法计算还停留在对整数除法迁移模仿阶段，对小数除法的算理还不甚理解，对余数是多少的判断方法比较混乱。

【成因透视】

1.重法轻理

苏教版小学数学教材安排来看，小数除法是继整数除法后教学的，计算基础是整数除法方法。教学小数除法时，虽然也引导学生多方探究，既可以借助元角分单位来解释算法合理性，也可以利用小数自身计数单位来解释列竖式算理。但这样的过程只是用来说明小数除法计算方法是可以借鉴整数除法计算方法，从高位除起，除到哪一位商就写在哪一位上面，主要区别的是商的小数点要与被除数小数点对齐。侧重的是算法，算理只是解释算法合理性时一带而过。到教学小数除以小数时，利用商不变规律，将除数是小数除法转化成除数是整数的除法，接下来的竖式计算直接迁移之前的计算方法，对余数的处理更多的是合上后一位看作更小的计数单位来除，并没有深究余数的实值到底是多少，导致了学生计算时，重算法轻算理。只注重商的对位和最后商是多少，不关注余数是多少。

2.思维定势

在整数除法中余数问题相对简单，竖式中余数直接呈现。到了小数除以整数时，竖式中的余数要结合被除数相对应的数位来判断。小数除以小数，是根据商不变的规律，转化成除数是整数的除法，此时竖式中的余数已经发生了变化。但学生思维定势误认为与小数除以整数时余数问题相同。忽略了商有不变的规律，但是余数要发生变化。

3.缺少审视

无论是整数除法还是小数除法其实列竖式的算理一脉相承，就是从高位除起，除到哪一位商就写在哪一位上面，如有余数就将被除数后面一位落下来合起来看成更小的计数单位继续除。列竖式对每一步骤余数的审视也很重要，比如余数要比除数小，不可能出现余数比除数大的情况。还有商乘除数再加余数等于被除数，这些都可以来检验判断余数是否正确。学生在作答余数问题时，往往缺少这些审视过程，直接根据竖式观察导致错误。

【出路审视】

1.法理并举，有理有据

小数除以小数是转化为除数是整数的除法进行计算，这个过程余数发生变化了，所以学生要从竖式中直接观察余数是多少？难度很大。不妨从两点入手，首先弄清楚转化成的小数除以整数计算余数是多少，只要对齐被除数小数点看转化后被除数与余数相应数位来判断。其次再考虑转化后被除数和除数都是同时扩大了多少倍？余数也被扩大了相应倍数，要得到原来的余数，只要将余数再缩小相应的倍数即可。如果从竖式来观察，只要找到原来被除数的小数点依次看相对与原来被除数，即可知道余数值是多少。

2.前后沟联，形成体系

虽说除法中余数可能会因为小数整数的转化发生变化，但实际上将此类问题放在一起沟通对比既能够找到共同方法。整数除法竖式中余数是多少就是多少，小数除以整数余数需要对齐被除数小数点来观察实际值是多少，小数除以小数余数需要看原来被除数的小数点对齐数位后来进行判断实值是多少？如此想来：不管是何种除法余数问题不就是只要找到原被除数的小数点对齐余数来判断余数值是多少吗？看似不同问题，甚至有些还比较复杂变化了，但是对比沟通之后，将方法一以贯之，找到共同点问题就变得简单多了。

3.多方验证，完善思维

培养学生缜密思维可以提升学生思维品质，尤其是对容易混淆，方法还不确定的问题，更需要多重角度思考，寻求知识佐证。余数要比除数小可以初步剔除错误答案，列竖式根据原被除数小数点对齐余数相应数位来判断余数是多少是一种方法，利用被除数减去除数与商的乘积也可以来判断余数是多少。多重方法不同角度互相验证，既是对该问题思考的完善，也是逐步培养学生良好思维品质，提高正确率的保证。

【片段重构】

(一)分歧引入

抛出问题

出示：3.72÷1.5当商2.4时，余数是（  ）。

A、12    B、1.2   C、0.12   D、120

师：你的答案是哪个呢？先思考一下。

举手统计一下，看来分歧还是很大的。今天我们就来研究小数除法中余数到底是多少？

（二）回忆旧知

师：要来研究小数除法中余数问题，整数除法中余数知识你都知道吗？一起来回忆一下有哪些？

生1：余数要比除数小

生2：商乘除数再加余数等于被除数

生3：被除数和除数同时乘或除以同一个数商不变，但是余数会随之变化。

师：很好，同学对余数知识掌握得很扎实。

（三）沟通联结

师：这些余数知识在小数除法中是否适用呢？请大家举些例子来说明。

生：我举列76÷30=2^......16 , 7.6÷3=2^......1.6 可以看出余数都是比除数小的，而且商乘除数再加余数都是等于被除数的，而且两个算式前后对比看被除数和除数同时除以10，商不变余数也除以了10。

师：大家举了很多不同的例子，发现这些余数知识在小数除法中也是同样适用的。既然如此我们重新来审视起初3.72÷1.5当商2.4时，余数是（  ）。A、12    B、1.2   C、0.12   D、120，先说肯定不对的答案是那个?为什么？

生：A和D肯定不对，因为余数要比除数小。

师：大家同意吗？

生：（齐点头）同意

师：剩下B和C，请各自说说选择的依据是什么？

生1：我选B，因为3.72÷1.5是转化成37.2÷15来计算的，商2.4余数就是1.2。

生2：我选C，因为3.72÷1.5是转化成37.2÷15来计算的，商有不变规律是2.4，但余数是1.2被扩大了10倍，原来的余数应该是0.12。

师：你们同意谁的观点？

生：同意选C，被除数和除数同时扩大10倍来计算，商不变余数也扩大了10倍，要得到原来的余数要把1.2除以10等于0.12。

师：是的，利用商不变规律时，要注意余数时要发生变化的。还有什么方法可以知道余数是0.12？

生1：从竖式中看，商2.4时余数要对齐原来被除数的小数点，这样看余数就是0.12。

生2：还可以用被除数减去商乘除数求余数，3.72－1.5×2.4=0.12。

师：说得真好！同学们看啊，知识之间是相通的，如果要确定余数是多少？既可以通过列竖式对齐原被除数的小数点来看余数，又可以用被除数减去商乘除数的方法来求。我们可以多种方法互相验证。

小数除法中余数问题并没有专门安排教学课时，学生错误频出才引起我们重视，学生利用已有认知直接迁移运用，只是一知半解，并不能正真认识到背后的原理。引导学生将整数除法、小数除法中余数问题对比沟通，并且变化多种角度思考余数问题，让学生找到方法之间的理论支撑，能更有效地理解知识、掌握方法。

参考文献：

［1］王永春.小学数学思想方法解读及教学案例.华东师大.2019.12

［2］胡坦.这才是好读的数学史.北京时代华文书局.2019.6