两边完全一样是轴对称图形？

江阴市云亭实验小学 唐澜

“轴对称图形”是图形与几何的重要基础内容，为学生发展抽象概括能力、直观感知能力、空间观念奠基。本节课的目标是学生能够认识轴对称图形的基本特征；并根据特征辨别轴对称图形与制作轴对称图形。教材首先出示生活中轴对称的物体让学生观察并寻找规律，通过画一画折一折的活动逐渐明确对折后能完全重合的图形是轴对称图形；然后学生在制作轴对称图形中进一步掌握轴对称的特点。

一、问题凝视

“轴对称”一课的要求浅显，学生容易理解，然而在实际练习当中，学生容易在以下题目中出现错误。

在课后练习与复习阶段，即便已经进行了反复的强调和练习，学生依然会出现“两边完全一样是轴对称图形”的错误认识。学生在看到图形两边出现完全一样的图案时，会不由自主地首先将其默认为是轴对称图形。例如在第一题当中选择第3、4个图案为轴对称图形，将第二题的④号图形选为轴对称图形，并且在多次强调和演示后，依然认为平行四边形是轴对称图形的错误情况。

二、成因透视

收集学生的错题，思考学生在每一个错题背后反映出的思维漏洞，寻找学生没有掌握的正确知识点，并根据学生出现的错误，针对性地改变教学策略，以此来纠正“两边完全一样是轴对称图形”的错误认识是十分必要的。

（一）本质概念刻画模糊

苏教版教材中，对轴对称图形进行了明确的概念界定即“对折后能完全重合的图形是轴对称图形。”，教师往往让学生观察多个图形后，直接揭示该定义，学生通过机械的记忆定义就结束教学。然而，看似简单的定义，反复斟酌会发现其中意味无穷，更是包含了数学语言的严谨与精确。其中“对折”是验证轴对称图形的方法，“完全重合”则是验证的标准。学生在日常生活中有对折的相关经验，但是“完全重合”则是一个新生成的概念，什么是“完全重合”，能用“一模一样”代换吗？只说“重合”或者“重叠”可以吗？这些如果不能帮助学生明确界定与分辨，那么学生对于轴对称图形的知识就是建构在沙滩上的海市蜃楼，虚无而模糊落不到实处。数学从来就是用数学的眼光来看问题，用数学的语言来解释问题，最后用数学的方法来解决问题，学生对于轴对称图形概念的模糊会致使学生无法用数学的语言和方法解决轴对称图形相关的问题。

（二）缺乏深层剖析

轴对称图形一课在平移与旋转一课后面，轴对称图形强调的是图形内部的特征，而后者则是关注了图形运动中的变与不变。学生在学习过平移和旋转后，会形成一个机械反应寻找一模一样的图形，这种反应迁移到轴对称图形后就变成“两边完全一样的图形是轴对称图形”的错误认识。同时又因为学生空间观念和三维立体思维的薄弱，没有办法想象图形对折后的情况，学生只能模糊的得到“两边完全一样是轴对称图形”的模糊概念，而通过定义“对折后能完全重合的图形是轴对称图形”来验证某一图形是否是轴对称图形所需要花费的时间过长，为了减少时间消耗和脑力消耗更倾向于选择能够一眼看出的简便方法即“两边完全一样是轴对称图形”这个错误的验证方法。另外，因为轴对称图形也确实具有两边完全一样的特点，学生自然而然就认为该特点能够证明某一图形是轴对称图形。但实际上，并不是所有两边完全一样的图形就是轴对称图形，学生如果不能分辨出这两者之间的区别，就会走入误区，无法正确判断出轴对称图形。

三、出路审视

以下是各版教材对于轴对称图形一课的教学安排：

人教版（二上） 苏教版（三上）      北师大版（三下）

各版教材都强调了以学生为主体，先通过实际操作与观察得出轴对称图形的概念，值得注意的是，人教版与北师大版教材在什么是轴对称图形这个一定义上是模糊带过的，更多的是关注于轴对称的寻找和确定，而这恰恰也容易让学生产生“两边完全一样是轴对称图形”的错误观点。

（一）实践操作，理解核心概念

数学语言讲究严谨与精确，在轴对称的概念界定过程中，任何文字的偏差都会导致学生出现理解性的错误。轴对称的知识在二年级数学教学中是有简单涉及的，学生对于“对称”也已经有了模糊的概念，学生正处在具体运算阶段，对于抽象的概念已经有一定的理解和自我思考能力，然而还需要具体事物的支持。在此基础上，要让知识进行螺旋上升，将模糊的“对称”概念精确到轴对称图形的定义。这时，学生如果能够自主的观察和实践操作，通过动手折叠和实际制作轴对称图形的方法，经过讨论获得轴对称图形得定义。学上的学习从来都不是一蹴而就的，需要反复的咀嚼，才能理解最后的核心概念。

（二）设置反例，比较夯实理解

在学生步入误区时，合理的设置反例进行比较，能够帮助学生更好的理解轴对称图形的定义。在教学过程中将平行四边形等图形插入教学中，在学生根据“两边完全一样是轴对称图形”的错误定义自然而然的会认为平行四边形等中心对称图形是轴对称图形，此时再让学生通过反复折叠比较发现这类图形虽然两边是完全一样的但是在对折后却发现这些图形并不能完全重合，进而意识到两边完全一样的图形并不一定是轴对称图形。能够验证轴对称图形的方法只有“对折后能完全重合”这一定义。

四、教学重构

（一）图片导入，感知“对称”

师：在学习今天的新内容之前，我们先来玩一个猜一猜的小游戏。老师出示一个图形的一部分，同学们来猜一猜它的完整图形是什么模样的。

师：这是生活中的什么东西？（出示奖杯的一部分）

生1：奖杯。

师：猜的真准确，它的左边和右边有什么关系呢？

生1：左边和右边一模一样。

师：对，它的左边和右边是对称的。

师：接下来难度提升，你能猜出这是什么吗？（出示战斗机飞翼的一部分）

生2：是战斗机。

师：它的下半部分和上半部分有什么特点呢？

生2：上半部分和下半部分是对称的。

师：观察的真仔细，请看这一个，它又是什么？（出示蝴蝶翅膀的一部分）

生3：蝴蝶，他左边的翅膀和右边的翅膀一模一样。

师：嗯，同学们，这是我们刚刚猜的生活中常见的物体，请同学们观察后说一说这些物体都有什么相同的地方。（出示三个物体的半边图案）

生4：他们都有一样的地方，它们都是对称的。

师：如果我将他们的半边遮住，你们能想象出它们的另外半边吗？

生5：能，因为它们左边和右边都是一模一样的。

师：现在。老师将这个奖杯在中间画一条线，然后将这个奖杯沿着这条线对折，你又能发现什么？（出示奖杯折叠的动画）

生6：奖杯的左边和右边在对折后重合了。

师：对，奖杯在对折后能够完全重合。在数学上，我们将这些物体或者图形对折后能完全重合的图形叫做轴对称图形，我们今天就是来研究轴对称图形的。（板书：物体或图形对折后能完全重合的是轴对称图形。课题：认识轴对称图形）

（二）反复实践感知“完全重合”

师：我们刚刚辨别了许多生活中的轴对称图形，那么在我们学习过的基础图形中，有轴对称图形吗？（出示正方形）正方形是轴对称图形吗？请同学们拿出准备好的正方形纸片折一折，看一看正方形是不是轴对称图形。

生1：我是将这个正方形竖着对折的，对折后发现正方形能够完全重合，所以正方形是轴对称图形。

师：说的真好，不仅说出了自己的折叠方法也说出了结果，那么同学们有其他的折法吗？

生2：我是将这个正方形横着对折的，对折后发现正方形也能够完全重合，所以正方形是轴对称图形。

……

师：刚刚这4位同学为我们展示了他们不同的对折方法，都证明了正方形是轴对称图形，无论正方形有几种方法证明它是轴对称图形，都需要在折叠后确认它是否——

齐声：是否完全重合。

师：既然正方形是轴对称图形，他的好搭档长方形是轴对称图形吗？请同学们也用准备好的长方形纸片来证明一下他是不是轴对称图形。

生1：将这个长方形横着或者竖着对折，发现能够完全重合，所以长方形是轴对称图形。

师：总的来说，我们要证明长方形是否是轴对称图形，就要证明长方形在折叠后要——

生2：折叠后要能够完全重合。

师：那么圆形是不是轴对称图形呢？拿出圆形纸片，再折一折看看能不能证明圆形是轴对称图形。

学生自主探究，投影分享。

师：最后，我们发现圆形有几种方法证明是轴对称图形？

齐声：无数种。

师：在这无数种折叠方法中，我们可以发现，只要折叠后能完全重合，它就是轴对称图形。

（三）反例对比，夯实“完全重合”

师：刚刚的折叠中，为什么长方形只能竖着或者横着折？

生1：斜着对折，它不能完全重合。

师：你说的对，但是，同学们看，明明竖着折和横着折的折痕两边都是完全一样的小长方形，这个时候却能证明长方形是轴对称图形，结果，斜着折折痕两边也都是完全一样的三角形，却不能证明长方形是轴对称图形？

生2：因为它虽然折痕两边是完全一样，但是它在这样折叠后不能完全重合，所这样的折叠方法不能证明长方形是轴对称图形。

师：所以，我们要看一个图形是否是轴对称图形，一定要看它对折后——

齐声：能完全重合。

师：最后，平行四边形是不是轴对称图形？

生1：是，（上台投影演示，边对边对折，发现不能完全重合）好像不是。

生2：应该这么折（换另一条边对折，还是不能完全重合）不对，平行四边形不是轴对称图形。

生3：要这样对折（角对角对折最后承认不是轴对称图形）

师：我们试了这么多种对折方式，虽然这些折法折痕两边完全一样，但是它在对折后不能完全重合，所以——

齐声：平行四边形不是轴对称图形。

师：所以，要证明一个图形是否是轴对称，不能看这个图形两边是否完全一样，而应该看——

齐声：折叠后是否能够完全重合。

“轴对称”是图形变化的基础，也是之后中心对称学习的基础。因此，本节课如何让学生理解轴对称、明确证明轴对称的唯一方法是十分重要的。因此，在轴对称教学时应准确揭示概念的本质内涵及外延，帮助学生逐步形成正确的数学概念，深入理解概念本质。