究竟“除以5”还是“除以4”？

江阴市璜塘实验小学 李荣

【问题凝视】

四年级数学某次检测中有这样一题：“小红买了一本童话书，每2页文字之间有3页插图。如果这本书的第一页是文字，那么第72页是文字还是插图？”教师在批改试卷时发现，全年级有近三分之二的学生是这样思考的（如右上图）。其实，这类错误在往届学生中也屡屡发生。为什么有这么多学生会出现上述错误呢？这种错误是否体现了学生对某些数学概念的心智模式的建构方面的缺漏？错误的产生是不是隐含着某些共性的原因呢？毋宁说，对其的分析并基于此而相应地给予某种教学上的支撑，将有效地促进学生获得对概念的更加充分的理解。

【成因透视】

教学实践告诉我们，学生产生错误的原因是多方面的，但往往是由于小学生在数学知识的表征、数学模式识别以及数学学习的自我监控等理解过程中主客观不一致，矛盾导致。就本题而言，产生错误的原因可能主要有以下几个方面：

1、概念的模糊

学生在解答本题时纷纷除以“5”，而正确的解答是除以“4”。产生错误的主要原因在于学生弄不清本题周期现象中的“组数”与周期“内部构造的序列”。回顾以往的教学，无论是旧版苏教版五年级上册《找规律》一课,还是2013版四年级上册《简单的周期》一课，教材均采用了主题图、直观演示的方式呈现。虽2013版教材相较老版有所改进，但仍逃脱不了由于周期规律内部构造实在过于简单，学生轻而易举就得到了结果，注意心向根本不会聚焦到周期规律的“组”与“序”这两个关键要素上来。虽然接下来教材由易到难，拓展到研究四个一组的周期现象，但是学生对概念本质的感悟体验始终浮于表面，不够深刻。由于问题表征受个体数学知识背景的影响比较大，因此，一遇到稍有变化的问题，学生自然招架不住了。

2、定势的影响

学生在以往的学习经历中得出的经验，解题就是根据题目中已有的数字进行加减乘除。本单元教材中所涉及到的练习题，也是波澜不惊，对于参与计算的被除数和除数，要么以直观图直接呈现，要么在文字信息中直接告知。机械化的单一训练封闭了学生思维的空间，“熟能生笨”。本题脱离了直观的素材图，在解答过程中，学生一看到“每2页文字之间有3页插图”这一信息，习惯性地把“2”和“3”相加作为周期数进行错误表征。

3、策略的忽视

数学问题解决的成功与否，与学生的解题策略有很大的关系。在平时教学中，重结果而不重过程，重结论而不重方法的现象依然存在。教师习惯于让学生追求“是什么的知识”，对于“为什么”和“怎么办”的知识比较忽略。在学生访谈中得知，许多学生一拿到题，完全没有考虑使用策略，或者采用了相对无效的策略，正是这样的漫不经心、不假思索导致了错误的发生。

【出路审视】

基于小学生在数学知识的表征、数学模式识别以及数学学习的自我监控等理解过程中的共性规律，应采取教学应对措施，帮助学生防错纠错，结合教学实践、调查、分析研究，提出如下建议。

1、概念教学凸显核心

教师要认真解读教材，新课教学要让学生经历概念发生发展的过程，对于学生中的典型错例，要建立错题档案，并结合教学进度进行前馈控制，让学生认识概念的不同特征和不同侧面，根据具体问题改变认识角度，突出本质和重点的学习。旧版的《找规律》这一单元的教学分两课时进行。第一课时主要根据余数对周期规律第几个做出判断；第二课时研究各类图形的总个数。2013版的《简单的周期》删除了第二课时的教学，只保留第一课时根据余数对周期规律第几个做出判断。两相比较，教学的核心没有改变：无论是第一课时还是第二课时，都是要研究周期现象中的规律，关键是要实现算法化，即把要研究的总个数、周期的“组数”、“内部构造序”这部分要素与除法算式中的被除数、除数、商和余数一一对应，建立意义上的实质性联系。

2、练习设计加强变式

思维定势的消极影响具有持久性，很难在新授后完全消除，要想真正克服其消极影响，需要持续的强刺激。教师可根据学生思维和认知发展的变化，即时地、有目的地、有重点地设置动态变化的外部情境，通过追溯概念的内在知识脉络的方法，让学生连贯性地反思自己理解上的特征与不足，不断推动理解向纵深发展。

3、思考问题注重序列

在主体面对问题时，一般总是通过观察弄清问题，抓住事物的特征进行广泛的联想，检索信息和回忆已储存的信息，即凭借已有的知识经验，做出直觉性的理解和判断，来选择总体思路或入手的方向。这时，解决问题的策略对信息的正确表征将起到十分重要的作用。

【片段重构】

为此，教学时要凸显知识本质、知识间的联系构建知识，要注重变式，学生思维的发展和学习方法的优化。

【教学一】摈弃无关因素，直击知识本质

通过主题图，让学生认识周期现象后，为缩小情境与本质之间的缝隙，新授探微环节，不妨直接从几何图形入手。

师：同学们，这里有几个周期现象，你能通过计算来说明第*个图形是什么图形？最后一个图形是什么图形？（选择具有代表性的三个一组的周期现象入手，让这类现象的材料并联呈现，充分感知、体验同与不同。）

……

师：所求的个数不同，为什么都除以3？

师：总个数相同，除数也相同，为什么最后一个图形却不同？

……

让学生在现象与算法间来回穿梭，凝练概括出周期现象的核心要素“组”与“序”。在此基础上类比迁移到研究其他周期现象。探究规律时，围绕“第几组的第几个”这一问题，引导学生精确定位，深入体会，并实践验证，把逻辑推理与直观印证紧密结合，培养学生思维的严密性。

【教学二】加强变式对比，加深知识理解

教学中，一方面为了促进学生的学习兴趣，另一方面为了有效加强变式练习，特意设计打祖玛游戏珠子的环节。

师：孩子们，接下来我们一起玩一个小游戏，游戏名字叫“祖玛游戏珠”。

第一层次，珠子以2颗红珠3颗绿珠的顺序为周期呈现，第25颗是什么颜色的珠子？

第二层次，打掉开头的2颗红珠后，剩下的珠子以3颗绿珠2颗红珠的顺序为周期呈现，第25颗是什么颜色的珠子？

第三层次，打出了一颗绿珠，卡在两颗红珠中间。此时可以根据不同的观察角度寻找到不同的周期现象。

虽然游戏分三个层次展开，但是在每一个层次上研究都提出同一个问题：“第25颗是什么颜色的珠子？” 学生在变与不变中，深刻理解到周期规律不仅和每组的个数有关，而且和内部构造的序有关。

第三层次的问题，更是让学生的解答具有了开放性：

①25—6=19(颗) 19÷5=3(组)……4（颗)；

②25—5=20(颗)，20÷5=4(组)；

③25—1=24(颗)，24÷5=4(组)……4(组)

条条大路通罗马，构造不同的周期，得出结论一致。

教学实践表明，对那些容易受定势干扰的题目进行多角度的变式组合，并将其中定势源题目组合在一起，指导学生有针对性的练习，就能够实现既促进正向迁移，开阔解题思路，防止思维呆板，又排除负向干扰的目的。

【教学三】注重方法教学，提升解题能力

在周期规律的教学中，要凸现找规律教学中“找”这一策略，即要让“找规律”方法的思考程序的步骤在学生头脑中成格式化：

师：孩子们，通过这节课的学习，对于解决周期规律的问题，我们的基本步骤有哪些？

师：首先，我们有什么办法能清晰的理解题目给我们的条件吗？

生：我们可以画出来！

师：“一画”，画的方式很多，可以是图形表达，也可以用文字表达的方式把题意画出来。如上题可以这样表达“文图图图文图图图文……”

师：画完以后，怎样才能清晰的显示问题中的周期规律？

生：可以再圈一圈！

师：“二圈”，如，“文图图图文图图图文……”，通过圈，让内在规律显露。

师：孩子们，当我们准确的理解了题意，并寻找到了其蕴含的规律后，还需要怎样做？

生：用除法计算。

生：有些规律复杂的还要减法、除法的配合运用。

师：“三算”，根据上面对周期规律的理解，只需通过计算，便能确定它是第几组第几个，最后确认问题的答案。

上述“一画、二圈、三算”思考程序，变隐性为显性，十分有利于消除学生“根据题目中的数字进行加减乘除”的思维定势的消极影响，减少出错率，同时还可以弥补学习中的知识漏洞，培养学生耐心、严谨、求实的好习惯。经常进行这样程序性知识的培养训练，学生能够形成有效的智慧技能，进入自主学习的状态，能独立按照一定的程序，有效地进行学习和解决问题。叶澜主持的新基础教育实验研究非常注重让学生形成学习活动程序，尤其是课堂学习活动程序。学生一旦掌握了课堂学习活动的程序，便能主动地投入课堂学习活动之中，教和学的融合很大程度上在这一过程中得以实现。

总之，教师对学生的错误要体现出更为积极的态度，要把学生的错误看作是其数学成长历程中的一个阶段，帮助学生析错、纠错、防错。这就要求我们教师在教学中应直面学生已有经验，创设动态任务情境，加强知识间的分析比较，培养学生反思习惯，在把学生真正视为学习者的前提下，精致课堂教学，促进学生发展。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准(2011年版) ［S］．北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]包静娟．这么多学生做错，还能怪学生吗？［J］.教学月刊（小学版）数学, 2014,(12)