一、数学运算能力
主要表现在基本运算技能、提炼合理算法、灵活运用算法、创新运算能力。
（一）基本运算技能
基本运算技能是运算能力的初级水平，主要是指正确地运用各种概念、公式、法则等进行运算的能力。
能力表现：
第一学段：
1.经历从日常生活中抽象出数的过程，理解万以内数的意义，初步认识分数和小数，理解常见的量。
2.在实际问题中能顺数、倒数、利用数字解决人物排列、物品摆放等规律问题。
3.使用图表或学具将四则运算模式化，并能运用四则运算的法则准确进行运
算。
4.会进行简单的混合运算，能进行简单的小数和分数的加减法的运算，提高两位数乘法和两三位数除以一位数的除法运算能力。
第二学段：
1. 体验从具体情境中抽象出数学的过程，认识万以上的数。
2. 理解分数、小数、百分数的意义，了解负数的意义。
3. 能进行较为复杂的四则混合运算，能解简单的方程，提高多位数乘以多位数、多位数除以多位数的运算能力。
4. 能列出综合算式并进行一步以上运算，并能通过运算解决实际问题。
（二）提炼合理算法
提炼合理运算方法主要指在理解运算意义和算理的基础上，能选择合理的运算方法，规划合理的运算途径的能力。
能力表现：
第一学段：
1. 体会四则运算的意义，通过各种模型理解运算的意义，如加法可以作为增加、合并、放入、继续往前数等模型，减法可以作为减少、还剩、比较、往回数或加法逆运算等模型，乘法可以作为相等的数的和、倍数等模型，除法可以作为平均分配、倍数、比率或乘法逆运算等模型，同时加减乘除之间又不是孤立的，不同的运算之间还有一定的联系，比如乘法与加法之间，除法与减法之间，乘法和除法之间，加法和减法之间。
2. 在适度训练、逐步熟悉的基础上，清楚的意识到实施运算的算理，不断总结经验和教训，提高运算的熟练程度，以求运算顺畅，减少计算失误。
3. 在理解算理的基础上能选择合理的算法进行简单的混合运算。
第二学段：
1.通过适当地多次反复训练，进一步体会四则运算的意义，深刻理解各种运算在具体问题中的作用。
2.能正确理解相关的概念、法则、公式和定理等数学知识，明确实施运算的依据，
保证运算的正确。
3.第二学段的学生正处于由具体运算过渡到形式运算的关键时期。因此，在第二学段，学生要充分的理解运算的算理的基础上，能根据题目的条件提炼合理的运算方法，规划正确的运算途径，提高运算能力。
（三）灵活运用算法
灵活运用算法主要指在熟悉掌握各种概念、公式、法规的前提下，能从多个角度综合分析解决问题的各种方法，善于根据计算目的灵活调整运算过程，选用运算方法合理、巧妙的进行运算。既能以一般方法、规则进行运算，也能用特殊技巧进行运算，还能用多种方法解同一个运算问题，从而培养最优化地解决问题、简化运算过程的能力。
能力表现：
第一学段：
1.能正确的运用各种概念、公式、法则进行计算，计算正确是这一学段的主旋律。
2.在正确理解概念、法则、公式和定理等数学基本知识的基础上，进行适当的训练，逐步熟悉，慢慢领会，熟能生巧，发展优化计算、灵活运用的能力。
第二学段：
1.探索并了解运算律（加法交换律和结合律、乘法交换律结合律和分配律）及减法的性质、除法的性质，能运用运算律和性质进行一些简便运算。理解等式的性质，能根据等式的性质解简单的方程。
2.能在常规方法解决问题的基础上，思考从不同角度解决问题的方法，发展一题多解的能力，培养发散思维；能在具体运算过程中体会加与减、乘与除的互逆关系，发展逆向思维能力。
3.能够在解题过程中适当运用数学思想，能从多个角度综合分析解决问题，从而培养简化运算的能力。
（四）创新运算能力
创新运算能力是指学生通过对问题条件的仔细观察进行合情推理、大胆猜想、估算、创造性的解决问题的能力。创造性运算的能力是对数学运算能力的重要补充，运算也是一种推理。
能力表现：
第一学段：
1.在生活情境中感受大数的意义，并能进行估计；能结合具体情境，选择适当的单位进行估算，体会估算在生活中的作用。
2.善于用独特的思考方式去探索、发现、概括运算方法和技巧。
第二学段：
1.理解估算的意义。能结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计；在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算。
2.善于运用独特的、新颖的方法进行运算，解法新颖，有独到之处。
二、推理能力
（一）通过观察分析进行猜想和验证的能力
猜想是对研究的对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的材料和知识做出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维方法。[3]猜想是一种合情推理，属于综合程度较高的带有一定直觉性的高级认识过程。
验证就是指对研究对象有一定了解，形成一定认识或提出某种假说，初步知道研究方法或策略，为证明或检验这种认识或假说是否正确而进行的某种探索性活动。数学猜想是在数学证明之前构想数学命题的思维过程。“数学事实首先是被猜想，然后是被证实”。
能力表现：
第一学段：
初步学会用数学的眼光观察日常生活中的简单的数学现象；
通过简单图形的剪拼感知图形与图形之间的联系，体会事物之间的联系，发现猜想的可能性；
能在教师的引导下提出简单的数学问题，初步建立猜想的意识；
会用正确的方法对数的运算的正确性进行验算，初步建立验证的意识。
第二学段：
通过观察、分析能进行简单的数学猜想，并初步了解一些猜想方法，如归纳猜想、类比猜想、审美猜想等；
通过概念的生成、公式的推导、问题的探究过程，初步了解并掌握一些常用的验证方法，如举例验证法、推导验证法、类比验证法、操作验证法、查阅资料验证法等。
（二）运用数学语言进行表达和交流的能力
新课程标准中指出：“数学是人们对客观世界定性把握与定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程”。这段话，我们可以把它理解为学习数学在很大程度上是学习和运用数学语言的过程。
数学语言是数学思维的载体，数学学习实质上是数学思维活动，交流是思维活动中重要的环节，实现有效交流的前提是学习和掌握数学语言。数学语言可分为抽象性数学语言和直观性数学语言，包括数学概念、术语、符号、式子、图形等。数学语言又可归结为文字语言、符号语言、图形语言三类。[4]
数学语言表达能力指学生能采用多种数学语言形式，把对数学对象的思考、解决问题的过程准确、流畅、有条理的表达出来，并用数学语言表达自己的数学思想和适当进行数学交流的能力。
第一学段：
能进行简单、独立的思考，能够判断并获得推理的基本体验，并运用简单的文字语言、符号语言和图形语言进行完整的表达。
第二学段：
能进行简单的数学语言之间的互译；
能进行有条理的思考和较为清晰的表达和规范的表达。
（三）在推理过程中进行自我反思和总结的能力
荷兰著名数学家和教育家费赖登塔尔教授指出“反思是数学思维活动的核心和动力，通过反思才能使现实世界数学化。”自我反思指的是学生思考自己的数学学习的经历，包括学习过程、学习方法、学习的结果、学习情感、学习的态度等的再思考，能够充分发挥自己的潜能，对自己的学习活动进行回顾、思考、总结、评价、调节，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。
第一学段：
通过对简单的数学问题进行观察、分析、猜想、验证等过程的总结反思，积累基本的活动经验，初步形成反思的意识。
第二学段：
能及时总结推理过程，反思推理方法，对遇到的问题追根溯源，尝试多角度分析问题，寻求解决问题的有效策略，体会解决问题方法的多样性。
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