试论数学理解的两种类型
——从R.斯根普的工作谈起
马复
(南京师范大学 教学与计算机科学学院，江苏 南京 210097 )
摘要：数学学习中，理解无疑是首要的。学生在学习数学知识的过程中通常有2种含义迥然不同的数学理解摸式： 工具性理解和关系性理解。我们在教学实践中常常关注的是工具性理解，但我们希望学生获得的却是关系性理解。这是为什么？有益于促进学生真正理解数学的教学可以是什么样的？
中图分类号：G420文献标识码：A文章编号：1004-9894 ( 2001 ) 03-0050-04
数学学习中，“理解”无疑是第一位的。而 “数学理解”已成为继“问题解决”之后当今世界数学教育界所关注的又一中心话题（PME News May 1997 edition, Mathematics Forum ). R. 斯根普（Richard R.Skemp ）是一位英国数学教育家，他有着独特的学术经历：数学学士一一中学数学教师——心理学碩士——教育学博士一一数学教育专家，这决定了其研究所表现出的非同寻常的视角，他的研究领域涵盖了数学学习心理的主要专题。本文将从他关于“数学理解”的独特研究谈起。“数学理解”所牵涉的意义和内涵极为宽广，本文所关注的主要有2个方面：从数学的角度去理解现实和对数学对象的理解。以下绝称为数学理解。
1976年，斯根普在与挪威的梅林一奥森(Stieg Mellin—Olsen)交流以后，明确提出了事物的理解有2种模式：工具性理解和关系性理解。而在此以前，人们对理解的讨论还停留在初级水平：个体是理解了一个对象，还是没有理解；是部分理解还是全部理解等等，却从来没有考虑到还有不同类型的理解。所谓工具性理解是指：一种语义性理解一一符号A所指代的事物是什么，或者一种程序性理解——一个规则R所指定的每一个步骤是什么，如何操作；关系性理解则还需加上对符号意义和替代物本身结构上的认识，获得符号指代物意义的途径，以及规则本身有效性的逻辑依据等等。
斯根普认为：学生在学习新的数学概念或数学公式时，由于对代表学习对象的符号形式不熟悉（尤其是由一些不常见的字母或复杂形态所表示的符号），往往把注意力集中于对符号本身含义的描述，而不是它的指代物的意义上，即所从事的是促进“工具性理解”形成的活动。
实际教学中这些活动的结果又往往被视为 “理解”的标志：一些学生在学长方形的面积公式A=L×B时，不理解公式的意义，教师便解释: “公式的意思是，要想得到一个长方形的面积， 只要把它的长度与宽度相乘就可以了 。比如说，如果一个长方形的长是5，宽是7，那么它的面积就是5×7=35。” “噢，我知道了。”学生便认为已经理解了这个面积公式的意义，而且他随后的工作就是去做一系列类似的练习题（问题的变化至多体现在复杂程度上）。当一个学生做练习都能获得正确答案时，就认为他已经完全掌握（理解）了这个公式；类似的情况在除法（被理解为“颠倒相乘”）和“移项改号”的学习活动中时常可见。换言之，对概念或法则的“理解"在这里被定位于“工具性理解”。
斯根普还进一步指出：学生若使用常规（自己熟悉）的思考方式或法则就能够解决所面临的问题，则他们通常不会去尝试理解超越这些规则的东西，尤其对那些认为"知识学习的目的就在于获得一种在类似情境中解决问题的技能”的学生来说，这种对理解的“定位”是非常强烈的。
显然，就对概念或法则的学习过程而言， “工具性理解”应当是其中一个重要的，甚至是不可缺少的环节。例如：个体在学习一个新的对象时，首先是把该对象与代表它的符号视为等同的，这就属于工具性理解的学习活动。而随后对符号本身的操作，包括对它的替代物——学习对象的识别，以及对符号本身的运算等基本上都没有超出工具性理解活动的范畴。传统的“定义（定理）—实例一练习一习题”的数学教学模式所表现出来的对于理解的定位就是“工具性理解”要想达到“关系性理解”显然还需要让学生从事其它类型的数学学习活动。
就数学知识的学习而言，斯根普明确指出：更多的理解应当定位于“关系性理解”，即最终我们应当让学生获得的是关系性理解。他给出了关系性理解的4个优势：
1.1 更有益于学习者解决新的问题
就数学学习而言，确实有一些公式或者法则适用于“一类”问题，例如小数（分数）乘法规则，二次方程求根公式，证明3点共线的技巧等等，但它们也只是分别适合于一类特定的问题，因此教育价值有限；而数学中更多的是带有普遍意义的“思想方法”，它们可以适用于不同的数学内容，甚至于可以在数学以外得到很好的应用。例如交集法——若一个元素a既属于集合D1，又属于集合D2, D3,…那么我们可以通过求解D1∩D2∩D3∩…去得到a。在解线性方程组时它表现为“带入消元法”，在解几何作图问题时它又表现为“交轨法”，而在解一些计数问题时它又表现为“交集法”，如此等等。更进一步，在数学以外的推理活动中它也有很明显的应用之处。当学生对知识的理解是关系性理解时，他们可以把在一种情境中获得的知识迁移到另一种全新情境的学习或问题解决活动中去，而不只是用在相似的情境之中。
1.2 更容易记忆
就整个数学公式体系而言，如果按照工具性理解的学习方式，学生们需要记忆“许多”单个的公式，这给记忆带来很大负担。而关系性理解则使得学生通过对于不同公式之间本质性关系的理解，去获得对于公式的整体把握。这样的学习更有利于长时记忆。
1.3 本身就是一个数学学习的目的
这是一个实验性结论。对数学知识的关系性理解的获得，本身就能够成为学生从事数学学习的一个重要目的，不需要再赋予其它的外部奖励作为引发学生数学学习的动机因素。事实上，关系性理解的学习本身就是一种激发学生认知内驱力的学习形式。
1.4 有助于形成高质量的知识结构
就知识的组织形式而言，数学知识的关系图式是一种最佳的数学知识组织形式。一旦学生获得了有效的关系图式，则他不但可以对所面临的数学素材采取关系性理解的学习方式，而且还会主动地去探索那些未知新领域中的数学关系。
2 教学现状反思
但为什么实际教学过程中，工具性理解的教学活动反而占据绝对主流呢？斯根普对此做了具体的分析。他认为：服务于工具性理解的教学模式具有3个明显的教学优势：
(1) 对若干数学技能的学习而言，这种教学模式给学生提供了“易懂，易模仿，易记忆，并可以很快得到标准性问题的答案的捷径” 。
(2) 工具性理解的教学过程所包含的知识较少，学生更容易迅速获得这类问题的正确答案。
(3) 这样的教学可以使学生更快地得到学习上的回报，有利于引发其进一步的学习动机。
工具性理解的教学模式所具有的上述“优势”，加上评价的因素（传统的评价所关注的正是学习者解答标准性问题的准确率和速度）。使得众多的教学活动一直沿用着这种教学模式，因而也就将“工具性理解”作为了数学理解的最终标志。
反过来，客观上知识的关系性理解必须经过长期的学习活动才可能为学生所获得，而学生往往在获得这种理解之前就必须在考试中应用它们；加上传统的数学教学氛围大都有利于工具性理解的教学模式（包括对学生数学学习的评价，对教师数学教学的评价，和教材中数学知识的过分简洁化表达），以及教师本人在构建自我有效的认知图式方面的心理困难等等，如此众多的客观因素使得人们渐渐地远离数学知识的关系性理解的教学，而亲近工具性理解的教学。
但是，工具性理解的教学所带来的弊端是很明显的，斯根普举了这样的一个例子：一位实习教师在使用上述教法教授长方形面积公式以后，对学生是否真正理解面积和面积公式的意义有所怀疑，便提出了如下的问题：“一个长为15 码，宽为20厘米的长方形的面积是多少？ ”得到的回答是：“300平方厘米”，又问“为什么不是300平方码？”回答是：“因为我们都是用平方厘米表示面积”。
笔者也有类似的经历。一次在与一位乘法学得很好（考试成绩高）的二年级学生交谈时，笔者问她：如果一斤西瓜3角钱，6斤多少钱？（回答：1元8角）8斤呢？（回答：2元4角），上述过程进行的很快。而问到：10斤呢，则回答略有迟疑—3元（或许是没有乘法口诀表可用）。又问：12斤呢？学生长考，无法回答。经笔者再三启发后，答曰：4元。问及理由，得到的回答是一一我不会算3×12，但是我知道12÷3=4 (而对于原先使用乘法，现在改用除法，她则没有意识到）。
造成这祌现象的原因很多，但其中一个重要的原因就在于工具性理解的教学模式只关注学生能否依据固定的程序去获得答案，其它则很少关注。这使得学生通常更关心“怎么做”，而不大去思考“为什么”可以这样做，以及更进—步的“还可以怎么做”等等。
由上述分析可以发现，工具性理解的教学较容易在短期内，以及有限（特别是与最初的学习情境相似 )的活动范围内产生明显的效果。例如，学生能够很快模仿教师、课本或者套用公式去求解类似的习题（熟练的学生解题的速度甚至快于教师）；但不利于学生在全新的情境内去应用该知识（即迁移），不利于他们对自我整个生存环境的理解，也就不利于其长期的发展。对此，斯根普进一步指出：对特定的教师而言，究竟选择哪一种教学模式，不但取决于他对上述问题的思考，还与他对数学和数学教学的价值取向密切相关。因此，促进工具性理解教学模式向关系性理解教学模式的改进，本身是一个复杂而又艰难的工作，需要在教师的专业发展，对数学学习和数学教学的评价以及课程与教材等方面同时做出必要的改革。
在斯根普研究的基础之上，他的学生赫斯库维斯（N.Herscovics)，维纳（S.Vinner)等人对数学理解相继做了大量的研究工作，进一步提出了工具性，关系性，直觉性和形式性理解等理解模式，以及工具性理解与准工具性理解的差异等等；而斯根普本人也在1982年给出了工具性，关系性，逻辑性和符号性理解等不同理解模式，还提出了“直觉与分析”是2种获得理解的主要智力活动形式。限于本文篇幅所限，这里不再予以介绍。
作为讨论的一个阶段性结束语，这里我们尝试着提出一个帮助学生获得关系性理解的教学案例。
首先需要说明，这里所说的“理解”某个数学对象，即对于该对象获得了关系性理解，包含有4个层面的意思：
(1)知道——知道该对象的定义，一些本质属性。若干典型实例以及与若干其它对象之间的差异；
(2)应用——能归纳、概括事物的特征与规律，可以在与最初接触该对象的相似情境中应用该对象的某些性质，通过模仿范例去解决一些问题，并且知道求解过程的合理性；
(3)联结——可以在该对象与自我认知结构中已有的相关数学概念之间构成本质上的联系，扩展知识网；
(4)问题解决——能够在全新的问题情境中，把所学的对象作为一种解决问题的手段，方法甚至思路，用于新问题的解决，并产生新的思想和观念。
而学生的有效理解过程则是一个智力认知过程——在各种数学活动过程中构建自己对于学习对象的理解。
对称是一个非常重要的数学观念，它不仅存在于几何内容的学习过程之中，还存在于代数，其它学科和学生的现实生活之中。进一步，它还可以被作为一种解决问题的手段、方法和策略。
第一步：感觉对称
问题一：能否画一条直线，把已知的正方形ABCD分成2个相同的部分？
问题二：还有其它直线满足“问题一”的要求吗？
第二步：获得对称概念（知道）
问题一：有2个全等的正方形ABCD和MNPQ，A在MNPQ的中心,直线AD和MN相
交于MN的14 处，问：2个正方形的重叠部分的面积是多少？
问题二：在求解问题一的过裎中有什么新的发现？
问题三：能否找到其它图形，使它与正方形具有相似的上述性质（第一步与第二步）？
对学生能否获得关系性理解来说，这是非常重要的一步。其中，问题一的求解过程与问题二的思考过程给学生提供了在不同的问题情境中抽象出“对称”的概念，并得到相关性质的机会；问題三则给他们提供了裣验自我猜测的机会。换言之，这是让学生经历一个对称概念的形成过程，从中构建自己对于“对称”的理解。
第三步：把对称作为一种思维方法（应用）
问题一：现有黑白2种颜色可以给已知圆上的任一点涂色。请你设计一种涂色方案，使得内接于该圆的任一直角三角形的3个顶点有不同的颜色。
问题二：若三角形ABC的周长为l。其面积最大值是多少？
对学生而言,这里的思考对象已经不是“对称 ”，而是各种冋题。而且他们的任务是发现存在于问题结构之中的“对称现象”，并且应用对称的有关性质去解决这些问题，对称不是被当作研究对象，而是思维的方法。
第四步：在新的情境中使用对称槪念（联结与问题解决）
问题一：求函数S=xy的最大值，x>0 ,y>0 ,x + y = 1 。
问题二：若a,b,c > 0且a+b+c= 1 ,试求 的最小值。
这一步把“对称”的概念由几何的范畴引向代数的范畴，由位置上的一种“平等”关系引申为性质上的一种"对等”关系，使学生对于它的认识产生一个质的飞跃，进而有助于形成一种直觉的思维方式——在条件中处于“对等”地位的元素，在结论中也必定处于“对等”的地位。如这里问题一中的x与y，问题二中的a，b与c，在条件中它们处于对等的地位一一可以互换。则结论中也应当处于对等的地位——分别为x = y时取最大值和a= b=c时取最小值，这无疑有助于学生在更深刻的层次上理解。
On Two Types Understanding in Mathematics
MA Fu
(College of Mathematics & Computer Science. Nanjing Normal University. Jiangsu Nanjing 210097, China)
Abstract: It was first for student to understand Mathematics in his learning Mathematics. Normally, students had two types understanding in their learning Mathematics: instrumental understanding & relational understanding. What we cared now in the teaching practices was instrumental understanding, but actually, what we hoped they got relational understanding. What could we do, when hoped to improve students' understanding in mathematics?
Key words: understanding in mathematics; instrumental understanding; relational understanding