数学理解的层次性及其教学意义
于新华 杨之
(1．江苏常州市武进区教育局教研室，江苏 常州 213159;2．天津市宝坻教研室，天津 301800)
摘要：数学理解有不同的程度、层次，这些层次包括：零层次、常识性层次、逻辑性层次、观念性层次和无尽的层次．数学理解层次的主要特点有不连续性、整体功能性、两种循环性和两种依赖性．在数学教与学中提高数学理解层次的途径有亲历知识的生长过程，参与数学研究，以及进行哲学思考．
关键词：数学理解；理解的层次；认知结构：数学教学
中图分类号：G40-0l
文献标识码：A
文章编号：1004-9894(2005)02-0023-03
数学理解(Mathematical understanding)问题，20世纪末以来，引起了我国数学教育界的关注．文[1-4]从不同角度对之进行了探讨.文[1]就R·斯根普的研究论述了“数学理解的两种类型“及拓展后的4种模式;文[2]则介绍了Pirie和Kieren的数学理解的“超回归”模型(Transcendent Recursive Model),它由逐渐扩充的8个阶段(水平)构成.文[3]讨论了“理解”、“确切理解”和“深刻理解”的主要标志(分别为“会用语言表达”、“能进行实际操作”和“具体运用"),探索了促进理解的主要途径.文[4]则讨论了将斯根普理解类型理论用于(小学)数学教师培训的里昂·乔克一个案例成功的原因(运用讨论式，强调深层理解，大量教学材料和强调情感教育).本文则从对中小学生的数学学习、一线教师的教学和我们自己数学研究实践的观察反思出发，探索数学理解的层次性，及其对数学教学的重要意义.
1 研究“理解”欲如何
1.1从“杯水桶水”说起
民间有一种说法:教给学生一杯水,自己就要有一桶水，这是用来点评和要求那些知识贫乏、“现趸现卖”的教师的一项起码的标准.与“熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟”，“读书破万卷，下笔如有神”等的治学经验是一致的，这里
的“桶”较之于“杯”,显然，不仅有量的差异，而且有质的不同，因为量积累到一定的“度”，就会发生质的变化，“知识”积累到一定的程度，就会变得深刻、有序、关联.但这不是无条件的.
数学需要理解.从教学实践和现代教育观念看，即使对于像历史、文学这样记忆多于理解的学科，仅凭“桶水”也是远远不够的，何况对重在思维、理解、顿悟的学科.学数学需要理解，教数学更要理解.乔治·波利亚对数学教师的第一条忠告就是“要懂得你所教的东西”.这个要求其实并不过分，也并非无的放失，像“0不能做除数”这件事，当学生时，老师告诉“是个规定”，东问西问,仍似没弄清;当老师初期，也告诉学生“是个规定，没有‘为什么’”，后来幸亏碰上“钻牛角尖”的学生，七追八问，无法回避，终于连同0!=1,a°=l(a≠0)等“规定”，一块找到了“为什么”，理解了.在数学教学中，“照本宣科”、“按规定办”的事屡见不鲜，这时，就怕追问:“为什么这样?”“从哪里来的?”然而，这种半生不熟的知识，用起来很容易出问题.有一次，观摩一位老数学教师的课，讲的是数轴，她反复强调:有理数可以和数轴上的点一一对应，引起议论却不自知错.又一次，观摩一位老师上“应用题”一课，一再强调要首先“理解题意”.怎样“理解”呢? 她手持课本，先大声读一句，再小声慢读这一句表示对大声读的解释.课下我们问老师何为“题意”时，回答竟然是“题目的含义”!这样的教学，结果令人担忧.
1.2 什么是“理解”
日常的“理解”: 我们通常学一个东西，说“懂了”、“明白了”即“理解”了，是什么意思?“词典”日:理解就是“懂”，而“懂”呢? 是知道，再查知道，则又是懂或理解.因此，终无结果.再请教心理学家，巴甫洛夫说：理解是通过旧联想形成新联想.格式塔派则认为：理解是顿悟，是头脑中知觉“完形”的出现.与我们日常学习中“数学理解”含义最切近的，是皮亚杰和格拉斯非尔德的建构主义(Constructiuism) 学说的解释.
数学理解的含义.建构学说称:“我们通过自己的经验构造自己的理解……是我们自己的注意、选择与建构，为理解现实提供了构造.”这里的“经验”、“注意”就是我们已掌握的数学双基或三基(基础知识、基本技能和基本的数学思想方法)，“现实”就是要学习的新的数学对象，而选择、建构、构造，就是理解(的过程、举措、结果).在这里，“理解”既是联系未知与已知间的纽带或桥梁，又是这桥梁的建造过程(如图1所示).
C 桥梁，组带
新数学对象、 摄取加工 已有认知结构
内容（信息） （同化、顺应） (知、能，思想，观念)
图1 数学理解结构模型
由此可见，“理解”同现有认知结构有关，是它的一个功能,而理解的过程,就是建构过程，包括对信息摄取、加工和纳入(已有结构)，怎样加工呢?按皮亚杰(J.Piaget)发生认识论学说，就是主体通过图式(Scheme,格局，原认知结构)对外来信息进行同化、顺应及相互平衡，拿数学来说，就是将新的对象通过抽象、概括、符号化、对比，必要的推理等，化归到已知或已解问题网络.这个加工(即C)的过程，不仅需要B提供工具、方式、标准，而且还要有思想、观念(相当于构想或蓝图)的参与.
1.3 数学理解层次研究的意义
教师备课、做教学设计,必须深入钻研和理解教学内容，理解到什么程度(即哪一个层次)为宜?
在教材的编排上，往往有一定的循环,以适应不同学段、年龄段的学生，这就有一个在不同的教学阶段，要求学生达到不同理解层次的问题.比如，对“函数”这个概念，小学就开始渗透,初中给出初步概念,高中上升到较为严格的“集
合——映射”型概念，一直到微积分的学习中，才对函数有全面、深刻的理解.
一个人对数学概念、命题、法则、公式的理解，往往有一个逐渐深入和完善的过程，不可能一蹴而就.比如，学生对平行、垂直、角、距离(几何的“四大概念”) 的理解，从小学、初中、高中到大学，经历“直观几何”、“平面几何”“立体几何”到“解析几何”，再到“空间解析”、各种数学空间，要经过许多不同的理解程度、层次.
2 “理解”的层次
2.1 零层次
如果我们把数学教学中那种照本宣科式的教学(“备课”抄课本参考书，上课拿着教案或课本，念一句解释一句)，在数学学习中只会背诵定义定理、模仿做题，这种实际上的不理解，也叫做理解的一个层次的话,就只能叫做零层次.对惯用“像XXX这样的XXX,就叫做XXX”这种打比喻的方法（字典上常常如此)，阐述数学概念的教材，加上遵循“以本为本”的原则进行教学，那么学生只能达到零层次的理解；把“谈化形式，注重实质”不是作为策略(暂时举措、学习的台阶)，而是当成数学教学的目标，其结果是:学生理解达到零层次.
2.2 常识性层次
常识性层次也叫知识性层次，通常叫做初步理解.相应于传授性的教学和接受性的学习.特征是能重述定义、定理、公式、法则，知道概念的外延和对象的初步分类，能读懂公式的推导和定理的证明过程,解题时能模仿和套用例题的整
个解答过程及符号的使用.知识是零散的，有木无林，缺乏系统性.所学东西经不起追问，也提不出问题.问老师或同学的，只是题目，没有问题;对题目，或全会解，或全不会解(一点思路也没有)，没有“到某一步，做不下去”这种中间情况.有的背诵功夫极强，不少题目都可连同解答一块背出. “懂而不会”是这一层次理解的重要特征.
这样的理解,新旧知识往往联系松散,靠记忆纽带维系;按“大众数学”的要求，使用“打破体系，混合编排”教材教学，如不进行适当整合，最多能达到这一层次。
2.3 逻辑性层次
逻辑性层次也叫能力性层次，通常叫做深刻理解.相应于讲练结合式的教学和能动手做的学习.对知识能牢固记忆，对概念能分析其定义、内涵、外延;对定理能分析内容(题设、结论、条件等)、结构，能写出(表达)严格完整的证明，至少能深入地理解已有的证明.对知识，能按逻辑顺序，排成网络，有木有林.对推导、证明中的纰漏，往往能发现、指出(如推导方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的求根公式，由
(x+b2a)
往往指出:似乎用了一个错误公式a² =a(a≠0)）然后设法修补.能将知识用于解题，能较自觉地运用波利亚解题四步骤（弄清题意，报订方案，执行方案，回顾)中的前3个.如果说常识性层次关心的主要是知识的话，那么本层次关心的主要是解题(能力)，特征是既懂又会.
这样的理解，新旧知识关联较为密切，靠逻辑纽带形成结构，按“传统教学”(东亚数学教育)的要求进行教学，或对“打破体系，混合编排”的教材，进行必要的整合，可以达到这个层次.
2.4 观念性层次
观念性层次也叫思想性层次，通常叫做透彻理解，相应于反璞归真的数学教学，不教不学现成的数学，讲究知识的重构(再发现、再发明)，亲历知识(可能)的生长过程，了解概念定义构想和定理公式发现发明的大致过程，以及相关数学思想方法的脉络；对知识是结构性记忆，有运用合情推理的体验和演绎推理的基本功，不仅见木见林，而且对数学有整体的认识，对数学的精神、数学美、数学的价值、数学的文化教育功能，有切身感受.能自觉地运用波利亚的“解题表”，特别是其回顾反思环节，能自觉地运用.因此，在认知结构中，有大量融会贯通的解题思维模块[5]，成套的技能技巧，像闪闪明星，处于激活备用状态.
这样的理解，新旧知融会贯通，靠思想观念纽带，形成有机的、多功能网络.按“MM教育方式” [6]、TEC教学方式[7]等进行教学，就可达到这一层次.
2.5 无尽的层次
中国知名数学教育家博种孙，在《高中平面几何》序中说:“几何之务，不在知其然，而在知其所以然；不在知其所以然，而在何由以知其所以然.”这句话，提出了几何教学力争达到较高理解层次的要求.不知其然者，全无理解，自然是零层次；“知其然”即结果、结论（定义、命题条件和结论)，相当于第一层次理解；而“知其所以然”即结论之因(概念为何这样定义，结论的证明)，即上升到理解第二层次(逻辑性理解):可在傅先生看来，这还是远远不够的，还要弄明白“何由以知其所以然”，即怎样想到这样定义、这个解法或证明的.这就涉及到思想方法，离不开研究的经历和观念的指导，从而达到了理解的第三个层次，即观念性层次.
然而，“观念性层次”就是理解的最高境界吗?非也，山外有山，学无此境，“理解”也没有最高层次.拿几何中“全等”(合同)概念来说，开始是直观认识；能完全重合的两个平面图形，就是全等，全等形对应部分也全等(相等)，这就是性质.进而，研究全等三角形，知道SAS、ASA、SSS这3个判定公理，会用来解题，就达到了“常识性理解”层次；进而知道，3条判定法并非公理，可以通过运动(平移、旋转、翻折)、重合等基本概念，简单地加以证明，是定理，将它们互相联系、灵活运用；通过剖析符号“≌”知道全等与“相似”、(面积、周长、对应高等)相等的关系，就达到了理解的“逻辑性层饮”；通过进一步钻研、思考、参阅相关书刊，知“全等”乃是运动下的不变性，“相似”是“相似变换”下的不变性，领悟到几何研究的正是某种几何变换下的不变性，从而达到了中学数学理解的“观念性层次” .进而，如学一点“群论”、“拓扑学”等，理解会达到更高的层次，可以认为，理解的层次，有无限多.
3 提高理解层次的途径
3.1数学理解层次的特点
人的认识、学习，是复杂适应系统的一种行为[8]，数学学习、理解，则是人的数学认知结构(图1中的B)的一个重要功能.B也是复杂适应系统，作为它的功能C在运行、变化中呈现的层次性，也显示出自己的特点.
(1)不连续性.随着数学学习的进展，对数学知识的理解，也是不断深入，呈现出一定的层次性.虽然，理解总是由较低层次上升到较高层次，即高层次“包含着”低层次，但是，人们理解由低层次到高层次，决不是连续的、量变的结果，而是一种跃迁、一种质变.不同层次的理解有着不同的品质.比如，各层次理解中都有“记忆”，在常识性层次是靠背诵记忆，在逻辑性层次是关联(推导)记忆，在观念性层次是结构性记忆，效果是大不一样的.
(2)整体功能.理解虽然常常用来处理个别的数学对象，但它属于数学认知结构的整体功能.因而，对个别对象理解的层次性，不仅与该对象的特征、繁难程度有关，而且反映出认知结构的整体性能.
（3)两种循环.复杂适应系统有一条规律，就是“拥有者获得”，这说明通过较高层次的理解吸纳的知识方法品位高、性能好，更有利于丰高、完善认知结构，于是它更能高层次地理解知识，形成良性循环，规律的反面作用是造成恶
性循环.
(4)两种依赖性，复杂适应系统的变化一是对初始条件的敏感依赖性，二是对环境中多种因素的普遍依赖性.对于数学理解来说，由于“先入为主”这一条“可怕”的规律，理解的层次高低，往往敏感地依赖于新数学对象发出、被摄取的信息的品位，并普遍依赖于加工过程所在环境(人的头脑)中的多种因素，如观念、情感、非智力品质、数学学习共同体的合作等.
3.2 在数学教学中提高数学理解层次的途径
在人类认知的道路上，“理解”是个曲折反复、螺旋式上升的过程.其中，不仅有知识量的积累，而且有质的跃迁，“忽然想清楚了”、“明白了”等，都是理解层次提升的表现.在数学学习与教学中，“加深理解“方法很多，除了勤学善思之外，还有“动手做”、反思、应用提问题读书法(批判性地学习)、动笔做小结、整理知识、多与别人讨论交流、选择经典名著作为“据点书" (先集中“啃”一遍，作批语，尔后每过几年再重读一遍)等，都是珍贵的经验，作为教师提高自己和改革教学方法，还可提出如下3招.
(1)亲历知识的生长过程,按生物发生律，人类个体的认识过程，往往简洁地重复人类的认识过程.因此，数学学习的最佳途径是返璞归真:在学习者的头脑中，经历一个知识(可能的)发生、发展过程(数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解题思路的探索过程，方法与规律的概括过程等).然而，知识发生、发展的原始过程，早已消逝在茫茫的数学历史长河中了，怎样去经历、寻找?作为学生，就需要教师为之设计一个知识可能的生长过程，使学生经历这个过程，像历史在戏剧中的重演.
(2)参与数学研究.设计(可能的)知识生长过程，可以参照凝结在数学概念、公式、法则、定理、符号、原创数学文献和数学考古学(数学史、数学哲学、数学方法论等)中的原始过程，更有效的，是参与研究，通过做数学、发现发明数学，积累丰富的经历.虽然数学问题变化多端，千奇百怪，但总有共性，数学研究的经历、经验，具有一般性，日常解题和重大数学发明发现之间，并没有不可逾越的鸿沟(波利亚语).可见，研究的经历有助于数学教学的设计.
（3)进行哲学思考，这样说的理由有3条:①数学研究的对象——量本身，就是个哲学范畴，数学概念、方法大多作为矛盾对立面成对出现，如数与形，正与负，乘与除，常量与变量等，它们在一定条件下,可以统一、转化.②数学思想、方法都具有辩证的性质，如解题中的转化与化归方法，数形结合，等等.又如极限方法，本是处理无限过程的方法，但在其ε-δ、ε-N定义中，包含了合情、演绎、辩证3种推理和计算，不了解极限概念这种综合演算性质，没有辩证思维，是无法透彻理解的. ③数学理解的观念性层次，涉及到数学思想、数学观，这本身就是数学哲学问题.
事实上,对数学的不解和各层次的理解，都不是一个单纯的数学问题，而始终伴随着某种哲学认识，只不过在较低层次不显眼，人们没有察觉而已.到了较高层次，数学思想和数学方法(如抽象法、符号法、形式化、转化法等),都凸显出某种哲学的性质(如数学的自由性、简单性、美学标准等)，通过哲学思考加深数学理解，就是难以避免的了.
[参考文献]
【1】马复．试论数学理解的两种类型——从R·斯根普的工作谈起【J】．数学教育学报，200l，10(3)：50．
【2】李淑文，张同君．“超回归”数学理解模型及其启示【J】．数学教育学报，2002，11(1)：2l-23．
【3】陈琼，翁凯庆．试论数学学习中的理解学习【J】．数学教育学报，2003，12(1)：17．
【4】谭玉华．关于数学教师的数学理解——基于一个成功的师范生培训案例的探析【J】．数学教育学报，2004，13(1)：83—86．
【5】杨世明．原则与策略【M】．郑州：大象出版社，1999．
【6】杨世明，周春荔，徐沥泉，等．MM教育方式：理论与实践【M】．香港：香港新闻出版社，2002．
【7】吴勤文，杨世明．TEC教学概论【M】．乌鲁木齐：新疆人民卫生出版社，2004．
【8】米歇尔·沃尔德罗普．复杂——诞生于秩序与混沌边缘的科学【M】．陈玲译．北京：三联书店，1997．