《与函数相关的数列型不等式》

一、教材分析：数列和导数都是高中数学的重要内容，数列不等式的证明将这两块知识点交汇在一起，近年来一直是高考的热点。解答导数与数列综合问题时，要先运用导数证明一个函数不等式,然后通过数列知识与方法进行运算,最终使不等式得证。虽然解题思路是清楚的,但其中的函数不等式构造证明是非常有难度的,这也是求解此类问题的关键。

二、学情分析:学生对导数主干知识有了一定的认识,具备了导数的计算及其应用的一般能力,但对导数在数列型不等式证明中的工具性作用没有深入的研究。甚至大部分学生对数列型不等式问题比较陌生,遇到此类问题无从下手。

三、教学目标:

（1）利用导数证明数列型不等式，体会导数在解决函数及不等式中的工具性作用；培养学生分析问题、解决问题的能力以及对数学的抽象、逻辑推理能力；领会转化与化归、分类讨论、数形结合等思想。

四、思政目标：感受数学中不等与相等的辩证统一关系；树立竞争意识与合作精神，感受合作交流带来的成功感,树立自信心，激发提出问题和解决问题的勇气。

五、教学重难点:

重点:利用导数证明数列型不等式。.

难点:将利用导数证明数列型不等式问题模型化。

六、教学方法:

观察发现、启发引导、合作探究相结合的教学方法。启发引导学生积极思考并对学生的思维进行调控，帮助学生优化思维过程，在此基础上,提供给学生交流的机会，帮助学生对自己的思维进行组织和澄清，并能清楚地、准确地表达自己的数学思维。

七、教学手段:借助多媒体一体机展示专题，“geogebra”演示。

八、教学过程

（一）情境引入

引导语：函数和数列是高中数学的重要内容，本节课我们一起研究与函数结合的数列型不等式。首先我们先认识一个新的数列，以正整数的倒数构成的数列叫调和数列。历史上许多伟大的数学家对这个数列的和进行了研究，比如法国的奥雷姆、莱布尼茨、伯努利、欧拉，他们通过不同的方式发现当，调和数列的和趋向于。今天我们借助于信息技术对调和数列的前n项和进行研究。

教师：展示图象

学生：观察图象得到不等式

设计意图：通过调和数列的历史背景引入课题激发学生的学习兴趣，借助“geogebra”，让学生直观地、形象地、动态地感受不等的几何意义，学生基于信息技术自然、和谐、自由地进行合作探究。

（二）例题分析

例1：

设计意图：师生共同探究数型不等式的证明方法，将问题模型化，形成专题并结合导数方法证明不等式。

变式：.

设计意图：设计数列型不等式变式，培养学生分析问题、解决问题的能力，掌握利用导数证明数列不等式。

真题改编：已知函数．

（1）证明：当时,；

（2）设,证明：．

解析：(1)略

（2）即对任意的恒成立.

所以对任意的,有,

整理得,

故

,故不等式成立.

（三）课堂小结

（1）证明数列型不等式：

步骤1：求通项；

步骤2：证明,构造函数证明

步骤3：累加

（2）常用的背景不等式

设计意图：总结本节课的学习内容和思想方法，帮助学生巩固所学内容，提高解决问题的能力。

小结

为了更好地展示我校高三专题复习课，杨静老师在认真自备的基础上，听取组内老师的合理建议，前后试上了2个班，对教案反复修改。尽管公开课还存在一些遗憾，但已经有了很大的进步。备课组其他成员，也在反复的研讨和实践中，不断明确了高三复习课的特点和提高效率的策略，对未来的专题复习课有了更多的信心。