正比例和反比例（第一课时）

江阴市花园实验小学  钱丽

一、课题（学科和年级）

学科：苏教版小学数学六年级下册

课题：正比例的意义

二、教材分析：

本课内容是在学生认识了比例和比列的基本性质，掌握了常见数量关系的基础上，学习正比例的意义。教材通过呈现一辆汽车行驶的情境，用列表的形式给出时间和路程的数据，学生在观察、比较、计算和交流中发现这两种量之间的关系及变化规律，获得正比例的概念，同时进一步渗透“变与不变”的思想和函数思想，为第三学段系统学习函数奠定基础。

三、学情分析：

这部分内容对于六年级的学生来说，理解起来还是存在一定难度的。因为在本内容之前，学生已经积累了5年的常量学习经验，对于数量关系的理解主要停留在对具体问题的解决上，而“正比例意义”是学生系统探索函数关系的起始课，要从运动和变化的角度去观察、分析两种变量之间的关系及变化规律。如果只是静态呈现教材上关于“正比例意义”的那段描述性文字，那么学生只是机械识记、模仿而已，无法真正理解成正比例关系的两个变量的内在联系，学生的困惑主要聚焦在“什么是变量？”“两个相关联的量是怎么样一起变化的？”“什么是不变的？”，学生需要通过丰富的素材，多元的表征方式来构建正比例关系的模型，促进对正比例意义的理解。

四、目标预设：

1.学生在实际情境中初步体会数量之间相依互变的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，初步理解正比例的意义，构建正比例关系的模型。2.学生在经历从具体实例认识正比例关系的过程中，能正确判断两种相关联的量是不是成正比例，进一步提高观察能力和发现规律的能力。

3.学生在数学学习的过程中进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强从生活现象中探索数学知识和规律的意识。

五、重点、难点：

重点：认识成正比例的量的特点，加深对正比例关系的理解。

难点：能正确判断两种相关联的量是否成正比例。

六、设计思路与理念：

基于以上分析，笔者认为，“正比例的意义”是本单元的种子课，具有承上启下的作用，通过创设同学们征订《小数报》现实情境，引导学生初步感知相关联的两种量，接着呈现“比值不变”、“乘积不变”、“和不变”、“差不变”以及“无变化规律”的材料，引导学生在观察、比较、归纳中思辨，认识正比例关系，在素材的拓展应用中深化正比例的意义，也为反比例的学习作好铺垫。因此，设计了以下四个主环节：

1．在情境中感知“相关联”

2．在比较中构建模型

3．在练习中深化认识

4．在反思中拓展延伸

七、教学方法：

观察法、比较法、讨论法、演示法

八、教学过程

（一）在情境中感知“相关联”

1.谈话：同学们喜欢看《小学生数学报》吗？征订1份报纸要30元，征订2份呢？3份？4份？……同学们订份数越多，报纸的总价会怎么样？订份数越少呢？

得出：报纸的总价会随着订的份数的变化而变化。

2.提问：你能用手势表示出“订的份数”与“报纸的总价”之间的变化吗？

得出：订的份数

      报纸的总价

追问：在这里表示的两个箭头合理吗？（合理，向上的↗就表示变大的意思。）

3.引入：我们生活在一个变化的世界中，像上面这样相关联的量有很多，它们之间有怎样的变化规律呢？今天，我们就来研究和认识这些变化规律。

【设计意图：创设学生熟悉的购物情境，通过具体的数据变化唤醒学生对“订的份数”与“报纸总价”的已有经验，即“订的份数”的变化会引起“报纸总价”的变化，进而理解这两者量之间是相关联的，同时引发学生对已有数量关系认识的思考。】

（二）在比较中构建模型

1.在比较中辨析“变”与“不变”

（1）题组呈现：

①一辆汽车每小时行30千米，如果这辆汽车行的时间越久，行驶的路程会怎样变化？

②运一批300吨的物资，如果每天运的吨数增加，那么运的天数会怎样变？

③妈妈比儿子大25岁，如果儿子的年龄变大，那妈妈的年龄会怎样变？

④一本268页的故事书，如果看的页数越多，那么剩下的页数就会怎样变？

⑤正方形的边长与面积 如果边长变大，那么面积会怎样？

（2）追问：这两种量分别是怎样变化的？你是怎么看出来的？根据学生回答呈现：

以①为例：行驶的时间越久，行驶的路程就越长，路程在随着时间的变化而变化。

我们就可以说时间和路程是相关联的两个量。

（3）求同：这5组题中都有几个量？这几个量有什么相同的地方？

得出：都有3个量，其中一个量是不变的，其他两个量是相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化。

（4）分类：每题中相关联的两个量的变化相同吗？你能分一分吗？

得出：①③⑤是同向变化，②④是反向变化的。

【设计意图：学生在丰富的生活素材中，通过具体数量的变化进一步理解相关联，在比较中发现每一题中都有一个不变的量，而相关联的两个量都是“一个量变化，另一个量也随着变化”，在分类中明晰相关联的两个量的变化规律却是不同的，感悟“变”与“不变”。】

2.在比较中构建模型

（1）设疑：这节课我们先来研究同向变化的情况，请同学们观察，这三组相关联的量在变化过程中是否有不同的特点呢？

（2）分别考察变化特点：

第1题：

①一辆汽车每小时行30千米

时间	1	2	3	4	5	……
路程	30	60	90	120	150	……

② 观察设疑：时间和路程在变化过程中有什么规律？

发现：30÷1=30，60÷2=30， 90÷3=30 ……

③ 归纳：这两种相关联的量在变化过程中，它们的什么保持不变？

（这两种相关联的量在变化过程中比值保持不变。）

④ 追因：这个比值怎么会不变的？是偶然？是巧合？还是有道理的？

得出：路程和时间的比值是30，也就是速度，在这道题目中，速度是每小时30千米是给我们的，是不变的，所以路程和时间的比值才会永远是30。

板书： =速度（一定）

第2题：

①妈妈比儿子大25岁

儿子	1	2	3	4	5	……
妈妈	30	60	90	120	150	……

 观察：这题中相关联的两个量在变化过程中什么保持不变？（年龄差保持不变）

②归因：为什么差保持不变？（因为妈妈总是比儿子大25岁，是不变的）

第3题：

①正方形的边长与面积

边长	1	2	3	4	5	……
面积	1	4	9	16	25	……

观察：这题中相关联的两个量在变化过程中什么保持不变？

（没有什么保持不变）

（3）比较：看来这三题中两种变量的变化方向虽然相同，但是它们的变化规律有还是有不同的，谁来说说它们变化有什么不同特点？

（第1题中，两种变量在变化过程中比值保持不变；第2题中，两种变量在变化过程中差保持不变；第3题中，两种变量在变化过程中没有什么保持不变。）

（4）揭示：像第1题中，时间和路程这两种变量在变化过程中比值不变（一定），那么这两种量就是成正比例的量。

（5）揭题：这就是我们今天要研究的正比例的意义。（板书：正比例的意义）

（6）追问：那第2题中相关联的两个量成正比例关系吗？为什么？

第3题呢？

【设计意图：本环节引导学生深入研究同向变化的3组题，通过数据比较，聚焦不变的量，发现第1题是比值不变，第2题是差不变，第3题中没有变化规律可循，有了这样的直观理解，学生对“正比例的意义”模型就了然于心了。】

（7）引导建模，深化理解

①提问：你能想办法用一个式子表示正比例关系吗？

②修正得出：如果用y、x表示两种变量， k表示不变的量，

正比例关系可以这样表示：

【设计意图：从具体实例逐步抽象到数学模型，这是数学学习的必经之路，因此，让学生在比较中抽象出正比例关系的字母表达式，是学生理解的外在表现，为初中阶段的函数学习埋下变量与常量的种子。】

（三）在练习中深化认识

1.变式，优化方法

出示一辆汽车行了3小时

（1）提问：在这个条件下，速度变化了，路程也要变化，那么速度和路程成什么比例呢？ 怎么看出来的？

①举例法判断

②质疑：不举例你能判断吗？（路程和速度的比值是时间，题中时间3小时是一定的，也就是路程和速度的比值是一定的，所以成正比例。

③优化 ：刚才我们判断这两种量比值一定，我们用了两种方法，一种是举例法，一种是根据数量关系来推测的方法，举例法固然好，但根据数量关系来推测的话，举例都不要举例了，好象更方便、更高级！对不对？

（2）提问：那下面你们会不会用根据数量关系来推测的方法了？

①订阅《小学生数学报》的份数和总的钱数。

②每小时织布米数一定，织布总米数和时间。

2.迁移，由具体到抽象

（1）提问：如果把上题中的“3小时”改成“8小时”，这两种量成什么比例？为什么？改成 “9小时”呢？改成“10小时”呢？

（2）小结：谁能用一句话来概括？

得出：只要时间一定，速度和路程就成正比例。

【设计意图：判断两个量是否成正比例关系是学习的难点，通过变式迁移的方式，为学生提供脚手架，帮助学生从多方位、多角度理解正比例关系，主动构建正比例关系的模型。】

（四）在反思中拓展延伸

1.全课梳理

（1）回顾这节课，你有那些收获？

（2）本节课我们从生活中发现了相关联的两个量，通过观察比较发现相关联的两个量之间的变化是有规律的，进而研究了成正比例关系的两种量的变化规律。

2.设疑引思

这节课，我们一起研究了同向变化的情况，那反向变化的情况又有哪些特点呢？你能向刚才一样去研究吗？

【设计意图：通过引导学生回顾本课的学习过程，进一步理解本课的知识，同时在梳理“正比例意义”这节种子课的学习历程中，促进学生主动迁移，为学习“反比例意义”提供方法。】

九、作业布置

刚才我们通过举例、数量关系来判断两个量是否成正比例关系，你还能用什么方式来表达成正比例关系的两个量的变化规律吗？请你试一试。

十、板书设计