正比例的意义
江阴市新桥中心小学 陶芳
教学目标：
1.学生经历从具体实例中认识成正比例的量的过程,初步理解正比例的意义,学会根据正比例的意义判断两种相关联的量是不是成正比例，进一步培养学生的观察、分析、判断、综合等能力。
2.学生经历正比例意义的建构过程,通过观察、比较、分析、归纳等数学活动,发现成正比例的量的变化规律及特征,抽象概括出正比例的意义。
3. 学生在主动参与数学活动的过程中,进一步体会数学与日常生活的密切联系,增强从生活现象中探索数学知识和规律的意识,同时渗透初步的函数思想。
教学重点：
理解正比例的意义,能正确判断两个量是否成正比例。
教学难点：
引导学生通过观察、思考,发现成正比例的量的变化规律,从而概括出正比例关系的意义。
一．观察：理解生活中相关联的现象
1.游戏：
和好朋友一起玩石头剪刀布的游戏，比比谁赢的次数多，时间为20秒。开始。如果赢一次得5分，在刚才的比赛中你赢了几次，得了几分呢？
为什么他们得的分数不一样啊？（因为他们赢的次数不同）看来，得分的多少和获胜的次数是有联系的。获胜的次数多所以得分也多，获胜的次数少那相对应的得分也会少。得分是随着获胜次数的变化而变化的，像这样，像这样“一种量变化,另一种量也随着变化”,我们就称它们为 “两种相关联的量”(板书)
二、探索：感知正比例的意义
1.举例说明、找找辨辨
师：生活中相关联的量很多,老师也收集了几组量,请大家认真研究,看看每张表中两种量是否相关联?
表1，一辆汽车在公路上匀速行驶，行驶时间和路程如下表：
时间 /时 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
… |
路程/千米 |
80 |
160 |
240 |
320 |
400 |
… |
表格中有哪两种量？行驶的时间和路程是相关联的量吗？为什么？
汽车行驶的时间多，行驶的路程也多，行驶的时间和路程同时增加；
路程行的少，行驶的时间也少，时间和路程同时减少。
行驶的时间和路程的变化是（一致的）
时间随着路程的变化而变化，时间和路程是两种相关联的量。
表2，购买一种铅笔的数量和总价如下表：
数量/枝 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
… |
总价/元 |
0.4 |
0.8 |
1.2 |
1.6 |
2 |
… |
变化方向一致，数量和总价是两种相关联的量
表3，读一本书，已读的页数和剩下的页数如下表：
已读页数/页 |
20 |
35 |
50 |
60 |
90 |
… |
剩下页数/页 |
80 |
65 |
50 |
40 |
10 |
… |
变化方向不一致，已读页数和剩下页数是两种相关联的量。
表4，用同样多的钱购买笔记本的单价和数量如下表：
单价/元 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
… |
数量/本 |
60 |
30 |
20 |
15 |
12 |
… |
单价和数量变化方向不一致，单价和数量是两种相关联的量
表5，正方体棱长和体积变化情况如下表：
边长 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
… |
面积 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
… |
变化方向一致，边长和面积是两种相关联的量
表6，小明的年龄和身高变化如下表：
年龄/岁 |
2 |
8 |
20 |
25 |
30 |
… |
身高/厘米 |
85 |
125 |
176 |
176 |
176 |
… |
小明的年龄和身高不是相关联的两种量，因为年龄变化，身高不一定发生变化。
引导：刚刚同学们研究发现这五张表中都有两种相关联的量，一种量随着两一种量的变化而变化，有的变化方向一致，有的变化方向不一致，你能给它们分分类吗？为什么这么分呢？
表1、表2和表5分一类，它们变化方向是一致的
3和4它们的变化方向不一致。
今天这节课我们主要来研究变化方向一致的量。
2、独立探究
仔细观察这三张表，它们的变化方向都一致，那这两种相关联的量有没有什么变化规律呢？如果有规律，又是按什么规律变化的呢？一起看表1：
件出示表1，一辆汽车在公路上行驶，行驶时间和路程如下表：
时间 /时 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
… |
路程/千米 |
80 |
160 |
240 |
320 |
400 |
… |
交流：路程和时间是两种相关联的量，路程随着时间的变化而变化，在变化的过程中有什么规律呢？路程和所对应的时间的比的比值都是80吗？我们一起来看：
160 |
2 |
80 |
1 |
=80 |
=80 |
320 |
4 |
240 |
3 |
…… |
=80 |
=80 |
还真的是这样，追问：这里的……是什么意思？这个比值80就是汽车的什么？（速度）我们可以用一个怎样的数量关系式来表示？
= 速度（一定） |
路程 |
时间 |
表2和表5中相关量的两个量又有怎样的变化规律呢？和你的同桌一起说一说，算一算，完成研究单。
交流：
总价 |
数量 |
=单价（一定） |
表5中正方形的边长和面积这两个相关联的量有怎样的变化规律呢？
交流：正方形的边长和面积是两种相关联的量，面积随着边长的变化而变化，但是面积和边长的比的比值是变化的，不一定的。
3、揭示正比例意义
（1）指出：同学们 ，刚才的三张表中，变化方向都一致，但是对应的两个量的比值有的一定，有的不一定，当比值一定时，我们就说这里两个相关联的量成正比例关系，这两个相关联的量是成正比例的量。
表1，路程和时间是两种相关联的量，当路程和对应时间的比的比值总是一定，也就是速度一定时，我们就说路程和时间是成正比例关系，路程和时间是成正比例的量。板书数量关系
板书：路程和时间是成正比例关系
（2）追问：总价和数量成正比例关系吗？为什么总价和数量成正比例关系？
= 单价（一定） |
总价 |
数量 |
这就是我们今天所要研究的正比例的意义 板书课题：正比例的意义
（3）比较
成正比例关系的两种相关联的量有什么特点呢？板书：变化的量 不变的量
（4）那正方形的边长和面积成正比例关系吗？为什么？
正方形的边长和面积的比值比一定，所以不成正比例关系。
看来，两个相关联的量，只有比值一定，这两个量才成正比例关系
4、同学们，你觉得怎样来判断它们是否成正比例关系呢？同桌互相说一说
小结：看一看两种量是不是相关联的量
算一算相对应的两种量的比值是否总是一定。
5、抽象概括,建立模型
像这样比值一定的式子，写得完吗？如果用字母x和 y分别表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用怎样的式子来表示？
y |
x |
=k（一定） |
三．判断应用：深化正比例的意义。
1、判断正方形边长和周长是否成正比例
正方形边长（cm） |
1 |
2 |
3 |
4 |
正方形周长（cm） |
4 |
8 |
12 |
16 |
判断，说理
2、读一本书，已读的页数和剩下的页数
已读页数 |
20 |
30 |
70 |
96 |
未读页数 |
96 |
86 |
46 |
20 |
不成正比例，已读页数和未读页数的比值不一定。
3、正方形纸的边长和纸张厚度
正方形边长 |
60 |
30 |
20 |
15 |
纸张厚度 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
3、倒水实验：往同一个圆柱形杯子中倒水，水的体积和高度成正比例吗？为什么？
体积 |
高度 |
=底面积（一定） |
小结：我们发现，当水的体积和高度成正比例关系时，我们把体积和高度的交叉点连起来正好是一条直线。
四．反思：建构正比例的意义
1. 今天的学习大家有哪些收获,你想说些什么呢?
2. 质疑。
3. 延伸：今天我们一起研究了正比例的意义，当相关联的两个量的比值一定时，这两个量就成正比例关系，既然有正比例那肯定还有反比例，怎样的两个量会成反比例呢？感兴趣的同学课后可以进一步研究。
五．板书设计
正比例的意义
两种相关联的量
|
|
变化的量 |
不变的量 |
路程和时间成正比例关系
y |
x |
=k（一定） |
正比例的意义
表2，购买一种铅笔的数量和总价变化情况如下表：
数量/支 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
… |
总价/元 |
0.4 |
0.8 |
1.2 |
1.6 |
2 |
… |
计算：
数量关系式：
表5：正方形边长和面积变化情况如下表：
边长/厘米 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
… |
面积/平方厘米 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
… |
计算：
数量关系式：
练习：
1、判断正方形边长和周长是否成正比例
正方形边长（cm） |
1 |
2 |
3 |
4 |
正方形周长（cm） |
4 |
8 |
12 |
16 |
附件：
