2019年中考网格作图题命题立意及解答策略

江阴市夏港实验学校  刘孝瑛

江阴市第一初级中学  钟珍玖

    网格作图题是近几年全国各地中考的常考题型，由于作图方法的灵活多样而受到命题者的青睐，理由如下：首先，网格都是由小正方形组成的，线段的平行和垂直关系比较多见，格点图中利用图形的全等和相似，以及特殊四边形的性质可以画平行线和垂线；其次，给定格点正方形的边长后，通过勾股定理或者相似三角形性质可以计算线段的长，进而利用数形结合构造图形解决问题；最后，格点图中还可以进行平移、旋转、轴对称等图形变换.笔者有幸参加了无锡市2019年中考数学命题工作，也命制了格点作图的有关试题，本文对2019年全国各地中考格点作图问题进行梳理，提炼其命题意图，并归纳格点作图问题的解题策略，以期与同行探讨.

    一、技能立意，计算作答

    在格点画图中，以画图技能立意的试题通常都比较基础，考查的知识点比较单一，以格点画图为主要考查目标.

    案例1：（2019·哈尔滨）图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．

（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角三角形ABC，点B在小正方形顶点上；

（2）在图2中画出以AC为腰的等腰三角形ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8．

分析：第（1）题，要“画出以AC为底边的等腰直角三角形ABC，点B在小正方形顶点上”，只需确定格点B的位置，从“形”的角度出发，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等”、“半圆（直径）所对的圆周角是直角”可知：点B既要在AC的垂直平分线上，也要在以AC为直径的圆上，也即是“AC的垂直平分线”和“以AC为直径的圆”的交点.从“数”的角度出发，先计算出AC=25，由勾股定理可以算出，以AC为底的等腰直角三角形的腰长AB=CB=10，从而可以确定点B的位置（如图3）.

第（2）题，“画出AC为腰的等腰三角形ACD”，既要考虑AC=AD的情况，又要考虑CA=CD的情况，再根据条件“△ACD的面积为8”确定点D的位置（如图4）.

    案例2：（2019•长春）图5、图6、图7均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图5、图6、图7中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．

（1）在图5中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．

（2）在图6中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．

（3）在图7中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG＝90°．

分析：第（1）题，已知AB=3，则要使△ABM面积为6，只要以AB为底，高为4即可，如图，M在直线a上任意一格点均可，如图8（答案不唯一）．

第（2）题，CD竖向距离为3，可看为以水平方向为底，竖直方向为高的三角形的一边，高为3，当底为4时，面积就为6，如图9（答案不唯一）.

第（3）题，以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，我们已知最规则的面积为9的四边形是边长为3的正方形，但EF不是网格上的边，我们可用割补法来得到我们想要的图形，如图10所示，S_△FGI=S_△FEJ，则S_{四边形EFGH}=S_{四边形JFIH}=9.

解题策略：在网格中作图，最基本、常规的问题就是利用正方形网格的边长为1，运用勾股定理计算格点线段的长度，或是利用网格线平行或垂直的基本特征画平行线和垂线.本类型常见的问题跟图形的周长、面积联系比较多，遇到这类问题的时候，要先算出周长、面积，然后利用割补、平移、旋转等手段来解决.

    二、思维立意，分析推理

    很多格点作图问题，考查的结果是画图，实际上是以格点为依托把考查逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力融合在一起.

    案例3：（2019·嘉兴）在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画

 （1）在图11中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．

（2）在图12中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．

分析：第（1）题是比较常规的问题，当考虑以BC为对角线构造平行四边形时，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，找到AB的平行线CM,AC的平行线BN,交点即为点D.或者根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，找到格点D， 同时满足BD=AC=13，CD=AB=5即可.（如图13，答案不唯一）

第（2）题，显然在AB上不能直接找到三等分点，我们可以另外找到一条三个单位长度的格点线段BD，点E、F为BD的三等分格点,根据“平行线分线段成比例”，只要过点E、F分别作出AD的平行线，就能把线段AB三等分了，根据网格图中画平行线的方法，找到格点G、H，连接GE、HF，就能把线段AB三等分了.在这里，我们也能认为是构造了“A”型相似三角形，利用“相似三角形对应边成比例”达到了三等分线段AB的目的.方法不唯一,也可以构造“X”型相似三角形等.

解题策略：网格背景下的作图题，由于网格自身的位置及数量的特殊性，能使图形的一般几何性质，得以特殊化，数量化．网格作图，给了学生多角度探究问题的方法. 构图时可以选用网格中的特殊格点，构造一些特殊四边形、三角形，借助图形的性质解决问题．

三、素养立意，创新思维

从近几年的命题趋势来看，很多地区的中考试题，在命制格点作图问题时，往往把考查学生的数学素养放在突出重要的位置，试题要求学生有较强的构图能力和创造思维能力.

案例4：（2019·武汉）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．

（1）如图15，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC．

（2）如图15，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC．

（3）如图16，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB．

分析：第（1）题，“过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC.”实际上是要构造一个平行四边形AFCD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边”，在BC上取格点F，满足CF=AD=1即可.

第（2）题，联想到“轴对称”一章中解决过的“桌球反弹”问题，找到点C关于AB的对称点H，根据“轴对称的性质”就能保证“无论点G位于AB的何处，始终满足∠BGH=∠BGC，当点D、G、H三点共线时，由“对顶角相等”得∠AGD=∠BGH ， 从而得∠AGD=∠BGC.

  第（3）题还是要通过构造平行四边形解决问题.找到格点R、S，满足DR∥CS∥AB，且DR=CS=AB=3，此时CD∥RS，RS与网格横线交于点M，满足EM∥AB，且EM＝AB=3.

解题策略：很多时候，网格只是赋予了题目一个载体，真正考查的还是学生的一种基本数学素养.像上题的解决过程，从知识层面上，主要考查了平行四边形的性质和判定、轴对称的性质、对顶角的性质等；从技能层面，主要考查了学生的作图能力等；从基本思想方法看，主要考查了数形结合思想、几何直观和空间观念、转化思想等．知识储备，方法的积累，思维的积淀，创新的意识是解决问题的关键.

网格作图题是灵活多变、丰富多彩的，数学中很多问题都能借助网格来呈现. 网格自身具有的几何特征和数量特征，为学生发现解决问题的路径提供了多角度探究的空间，不仅能提高学生的识图作图能力，还能多维度地培养学生分析推理能力、计算能力、几何直观能力、综合运用知识解决问题的能力等，具有较高的思维含量.但究其本源，还是在平时的教学中紧扣教材，立足基本知识，培养基本技能，渗透思想方法，才能以不变应万变.

此文发表于扬州大学《初中数学教与学》