三角形的内角和

江阴市澄江中心小学   张娜

一、        情境导入

   有两个小朋友在钉子板上围三角形。女孩说：“我围的这个三角形有一个直角。”男孩不甘示弱：“哼！我能围有两个直角的三角形。”

 生1：三角形的3个角一共是180度，不可能有两个直角。

 生2：三角形一共有3个角，如果有两个直角，那第三个角就没有度数了。

二、        研究三角形内角和

1、理解内角和。

刚才大家说三角形的三个角一共180度。(板书: 180度)

（1）内角

    三角形的三个角在哪里？指一指。

    这三个角都在三角形的里面，也叫三角形的内角。

（2）内角和

     这三个内角一共的度数，就是三角形的内角和。

2、            提出猜想。  

三角形的内角和是不是180度呢？（是的）

数学可是一门科学，不是我们认为是它就是的。在我们还没有研究之前，只能说是一个猜想。（板书：猜想）需要进一步验证。板书：验证

今天，我们就来验证三角形的内角和是不是180度。

3、操作验证。

说说看，你有什么办法证明？（ 用量角器量）还有吗？（三角板上） 我们先来看三角板。

（1）三角板上的三角形。

计算三角板的度数：90°+30+60=180

                  90+45+45=180

小结：你觉得就根据这两个三角板上的三角形的内角和是180度，就能肯定“所有三角形的内角和是180度了吗？”为什么？（还有其他的三角形）表扬：你很有数学家的潜质！

师：三角板上的三角形是一种特殊的三角形，它不能代表全部。板书：特殊

我们还要考虑一般的三角形。                              板书：一般

 

（2）一般三角形。

（方法一：量）

①比如这三个三角形，出示一般三角形：

 它们的内角和是不是180度？你有办法知道吗？（可以先用量角器量一量，再相加。）

②学生操作。（巡视发现不同答案，体现误差）提醒学生实事求是，量到几度就是几度，不能任意改变测量结果。

③反馈：（每个三角形的三个内角度数及内角和）

  同样的三角形，内角和怎么会不一样？（测量误差）三角形的内角和虽然都接近180度，但还不能肯定地说就是180度。

看来，测量并不是一种最好的方法。我们还可以怎么验证呢？

多让学生说说。（为下面的峰回路转做伏笔）

方法二：拼

①师：我们不妨换个角度反过来思考，假定三角形的内角和就是180度，那么这三个内角拼在一起应该是一个什么角？——平角。为什么是平角？（平角180度）那我们该怎样拼呢？

②试着拼一拼。（师巡视，指导拼法，把拼成功的学生上台做演示准备）

③反馈：

怎么拼的？生演示。尺子检验。

撕：先把每个角撕下来拼在一起，诶，巧了！正好是一个平角，所以是180度。

这种方法可以哦，比起测量的方法高级好多！

折：先把每个角折在一起，就能拼成一个平角。指名演示。

有没有拼成平角？

表扬：厉害了，我们的***！

师演示，说明可以先把三个内角拼在一起，然后压平。

这么高级的拼法，你想学吗？让我们赶紧也来试一试

  ④求同呼应：刚才我们想到了这两种拼法，无论是撕还是折，都是将三角形的内角拼成了一个------平角，这就说明我们一开始的假设三角形的内角和就是180度是有道理的。

（4）任意三角形。

①证明了这几个一般三角形的内角和是180度，能说三角形的内角就一定是180度了吗？（还不行，任意选一个）

表扬：更严谨了！你们真是越来越像数学家了！

提议：课前让大家任意地画了一个三角形，请你用喜欢的拼法验证三角形的内角和。

 ②学生操作

③反馈。你画的三角形的内角和是180度吗？是的举手？

 5、得出结论

 全班45个同学准备了不同的三角形，都证明了三角形的内角和是180度，还需要再继续验证吗？（不需要了。）

现在，小数学家们，我们可以肯定地说：三角形的内角和是180度。（擦去﹖）

  6、回顾小结：

这节课我们学习了什么？你有哪些收获？

（1、猜想需要证明。2、证明方法从特殊-----一般。3、换个角度思考。）

三、数学史介绍

导入：其实，数学家们也想了很多的方法对三角形的内角和进行了验证。你想知道吗？

泰勒斯是古希腊哲学家。有一次，他家装修房子，他从市场上买来了边长相等的三角形地砖。猜猜看他是验证的？课件：逐个拼（等待激发学生思维）

六块边长相等的三角形地砖刚好铺满一周。）

说明什么？（六个角相加恰好等于360°），课件：360度。

其中三个角相加恰好等于180°。课件：180度。

因此，边长相等的三角形的三个内角之和等于180°。

对于一般的边长不相等的三角形是不是也能这样拼呢？（课件：180度。）

泰勒斯通过拼图发现了同样的结果——无论三角形的边长是否相等，三个内角的和都是180°。

师：原来我们和泰勒斯一样都用了拼的方法，不同就在于泰勒斯用了6个三角形拼，而我们只用了一个。我们比他更厉害哦！

法国著名数学家帕斯卡又是怎么证明的呢？

出示长方形，想到什么？          课件：长方形

把长方形分成两个一样的直角三角形。每个直角三角形的内角和是180度。

任意一个直角三角形都可以看做是长方形剪开的，所以任意直角三角形的内角和一定是180度。

    那么没有直角的三角形呢？（分成两个直角三角形）课件

两个直角三角形的和180°＋180°＝360°，怎么会是180度？（其中有两个直角不是原来三角形的内角，所以360 ° －90 ° －90 ° ＝180 ° 。）这才是这个三角形的内角和。还有这种三角形也能这样证明吗？（能）

任何一个三角形都可以分为两个直角三角形，用这种方法都可以证明它们的内角和是180度。

验证三角形内角和是180度的方法还有很多，有兴趣的同学还可以自己收集资料研究。

四、        练习运用

1、            回到情境。所以一开始的男生可能成功围出有两个直角的三角形吗？为什么？

2、            算出每个三角形中未知角的度数。（书81页第10题）

（直角三角形的一个角只要用90度来减去另一个角。）

为什么不用180度来减？这里的“90度”是指什么？（另外两个角的和）

3、一块三角尺的内角和是180度。用两块完全一样的三角尺拼成一个三角形，拼成的三角形内角和是多少度？（180度）

不对呀，两个三角形拼起来应该是两个180度吧，是360度呀？（拼在一起的两个角已经不是三角形的内角了。）

（只要是三角形，不论大小，内角和都是180度。）

五、        拓展

   一个三角形，剪掉一个角，变成几边形？四边形的内角和是多少度呢？

一个四边形，剪掉一个角，变成几边形？五边形的内角和是多少度呢？

 

板书：                三角形的内角和

     猜想                  180° ﹖              

                                                        

                      特殊

验证                      量                                

                      一般     撕                         

  折

     结论        三角形内角和是180度