数学实验，助力数学思维可视化 ——以“拼图·公式”为例
2024-09-17
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数学实验，助力数学思维可视化
——以“拼图·公式”为例
江阴市南闸实验学校
陆程
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摘要：数学实验注重学生动手操作和实践，能有效提升学生的创
新素养和实践能力，是助力数学思维可视化的重要载体.通过实验探
究，抽象思维具体化、思维认知结构化、问题认知多样化，促进学生
深度思维的发展.本文以“拼图·公式”为例，阐述如何通过实验教
学助力数学思维可视化.
关键词：数学实验 数学思维 可视化
初中数学实验是通过动手动脑做数学的一种学习活动，它强调从
做实验中学，力图通过做实验的主动探究过程，来培养学生的动手实
践能力，解决问题的能力和创新精神，积累基本的数学活动经验 [1].
初中实验课堂中的思维可视化是指在进行实验教学时，教师通过精心
设计，将抽象的数学知识通过具体的实验活动展现出来，在实验过程
中，思维过程、思想方法和实验成果都变得可感知、可观察、可操作、
可呈现.
本文以“拼图·公式”实验教学为例，将数学中的整式乘法及二
次三项式转化为长方形的面积，将抽象的数学公式可视化，通过数学
实验拼图展示数与形之间的紧密联系.
一、深入研究教材，把握学习起点
“拼图·公式”是苏科版七年级下册第九章“整式乘法与因式分
解”中的内容，从知识结构来看，学生已经能够进行整式的乘法运算，
能够用提公因式法和公式法进行因式分解，本节课的目标是将整式乘
法和因式分解这两种运算借助图形面积变得可视化，加深学生对所学
知识的理解.从活动经验迁移来看，学生已经形成了通过拼图探究新
知的经验，已经初步感悟了数形结合的思想；从能力素养来看，本节
课经历从具体问题抽象出数学问题—建立模型—综合运用已有知识
解决问题的过程，经历观察、比较、拼图、计算、推理交流等过程，
将研究过程可视化，进一步提升学生的深度学习能力.
二、精心设计实验，打造思维课堂
1.融数于形，抽象思维具体化
活动规则：如图 1，四人小组合作任意选取一定数量的卡片（每种卡
片至少用一次）尝试拼成一个新的长方形，并通过不同的方法计算其
面积.（图1）
思考：我们可以如何计算长方形的面积？
【师生活动预设】四人小组能通过卡片拼出多种长方体，并求得面积，
如拼成的长方形,如图 2：
（图 2）
师：你是如何求该图形的面积的？
生：该长方形的长为 (3a＋b),宽为(a＋b)，因此面积可表示为
(3a＋b)(a＋b).
生：它是由 3 个 A 型卡片，4 个 B 型卡片和 1 个 C 型卡片拼得的，
因此面积可表示为 3a 2＋4ab＋b 2.
师：这两个式子有怎样的大小关系？
生：这两个式子都表示该长方形的面积，因此它们相等，即
(3a＋b)(a＋b)＝3a 2＋4ab＋b 2.
师：非常好，现在请每个小组尝试用这两种方法求面积，将得到的等
式并写到黑板上.
生：（黑板写出等式）
师：现在同学们能通过这些等式说出每个小组所拼长方形的特征吗？
生：可以，等式的一边是多项式乘多项式，代表长方形的长和宽，另
一边是多项式，可以由多项式每一项的字母确定卡片的类型，由每一
项的系数确定相应卡片的数量.
【设计意图】由拼图到等式，让学生体会形与数之间的关系，可以由
形到数表示面积，也可以由数到形，找到长方形的长和宽，同时根据
多项式可以确定图形中卡片的类型和数量，赋予抽象的数学公式具体
的实际意义，让抽象思维具体化.
2.由数到形，思维认知结构化
环节一：四人小组合作，请用以下三种卡片拼出长为(3a＋2b),宽为
23
(2a＋b)的长方形，如图 3，限时 90 秒.
思考：还可以如何计算面积？得到怎样的等式？
【师生活动预设】黑板上一组同学挑战失败.
师：这位同学，你解决问题过程中遇到了什么困难？
生：我已知长方形的长和宽，但是不知道卡片的类型和数量，也不知
道这些卡片该如何摆放.
师：很好，这位同学思考的很全面，有同学能帮助她解决困难呢？
生：可以先用整式乘法将整式乘法展开，得到多项式后，然后再根据
多项式确定卡片类型和数量.
生：我们可以先尝试摆出长为(3a＋2b)，即用 3 个 A 型卡片和 2 个 B
型卡片拼出长，再用 2 张 A 型卡片和 1 张 B 型卡片拼出宽(2a＋b)，
最后用卡片将剩下部分填充，如图 4.
师：可以得到怎样的等式呢？
生：根据两种计算面积的方法得到等式：
(3a＋2b)(2a＋b)＝6a 2＋7ab＋2b 2.
环节二：任意写出一个形如(
a＋
b)(
a＋
b)的式子，（
为
正整数），能否用卡片拼成一个长方形,并借助拼图得到整式乘法的
结果？
思考：以上活动说明了什么？
【师生活动预设】大部分小组能展示出拼图及等式.
师：同学们，根据以上的活动，你有什么收获呢？
（图 4）
（图 3）4
（图 7）
（图 6）
（图 5）
生：我们可以通过拼图得到等式，计算多项式乘多项式.
师：如果没有卡片拼图，你能想到其他办法吗？
生：可以画图.
师：非常棒，我们可以通过拼图或画图计算整式的乘法，这里我们由
数到形再到数，体现了我们初中阶段非常重要的数学思想：数形结合.
整式的乘法：
数
形
数
环节三：选取适当卡片，如图 5，拼成一个面积为 a 2＋3ab＋2b 2 的
长方形.
思考：1.我们还可以如何计算面积？可以得到怎样的等式？
2.以上活动说明了什么？
【师生活动预设】学生能黑板上展示完成拼图并写出等式：
a 2＋3ab＋2b 2 ＝(a＋b)(a＋2b).
师：你是如何完成拼图的？
生，根据条件我们可以知道 A 型卡片 1 张，B 型卡片 3 张，C 型卡片
2 张，可以先挑出卡片再拼图.
师：非常好，我发现大家的拼图方式有好多种，我们一起来欣赏以下
两种，如图 6、图 7，你们觉得哪种拼图方法更好？
生：第一个更好，因为第一个图形摆放更有序.
师：结合黑板上展示的拼图（图 2、图 4、图 6），思考 A、C 两种正
方形卡片摆放的位置有什么特点？
生：位于对角线的位置.
整式乘积
多项式
拼图、画图5
师：知道为什么要这样摆放吗？
生：因为两个正方形的边长不一样，摆放在一起会增加后面拼图的难
度，直接摆放在对角线的位置，剩下的位置只需要用 B 型卡片填充
即可.
师：说的太好了，同学们根据我们所得的等式，又能得到什么结论呢？
生：根据拼图我们可以将二次三项式进行因式分解.
因式分解：
数
形
数
环节四：如果任意写一个关于 a、b 的二次三项式，形如：
a 2＋
ab＋
b 2 ,（
为正整数），能否用准备好的卡片拼成
一个长方形,使这个长方形的面积可以用这个式子表示？
思考：任意一个关于 a、b 的二次三项式，都能用拼长方形的方法将
这个二次三项式进行因式分解吗？
【师生活动预设】学生分组合作，发现不是所有的二次三项式都能通
过拼图进行因式分解.
【设计意图】根据拼图，让学生初步认知通过拼图可以进行整式乘法
计算，也能够解决简单的二次三项式的因式分解；学生自由填空，将
问题研究引向深入，由特殊到一般，让学生产生思维认知结构，感受
利用拼图进行整式乘法的一般性及利用拼图进行二次三项式因式分
解的局限性.
3.以形解数，问题认知多样化
根据本节课的学习经验，你能计算(a＋b＋c) 2吗？
【师生活动预设】学生通过拼图发现没有办法拼出图形，发现卡片类
型不够，然后想到了画图的方法解决.
师：同学们解决问题的能力真的很棒，你们还能提出其他值得研究的
问题吗？
生：刚刚我们研究的都是二次方的问题，我们能否通过拼图计算三次
方的问题，如(a＋b) 3？
师：这是一个非常有价值的问题，同学们能解决吗？
生：刚才二次方的问题是看成正方形的面积，这个三次方的问题可以
看成是正方体的体积，可以通过搭积木的方式搭出一个棱长为(a＋b)
的正方体，然后将其中每一个小长方体的体积相加就能得到所求结
果.
【设计意图】根据之前的活动经验，设计问题串的形式，引导学生不
仅可以从数的角度看待问题，也可以从形的角度解决数的问题，既能
加深学生对本节课整式乘法与因式分解的认识，又让学生再次体会以
二次三项式
整式乘积
拼图形解数的直观与巧妙，让学生对代数问题的认知更加多样化.最后一
个三次方的问题也将本节课的学习推向高潮，促进学生深度思维可视
化.
三、深度反思过程，引领思维可视
思维可视化就是通过直观形象的手段，将抽象的不易直接发现的
思维展示在人们面前，就数学学科而言，可视化就是将那些隐藏的思
维过程通过可见的图示或实物等形式展现出来的过程 [2].
下面我们就从心理、智能和效能这三个维度来具体阐述如何让通
过数学实验助力思维可视化.
1.激趣
从心理维度上看，数学思维可视化需要教师在实验过程中设计各
种情境，将原本深奥的数学知识转化为可视化的实验操作，激发学生
学习动机.在直观形象的数学实验操作中，学生既可获得极为丰富的
情感体验，又能轻松习得知识.在“拼图与公式”这节课中，作者依
据学情设计了丰富的实验活动，由简单到复杂，由特殊到一般，让原
本枯燥的代数知识与形象的几何图形相关联，将抽象思维具体化，让
实验课堂充满活力.
2.促解
从智力维度来看，“趣”是一种外在的形式，而理解则是智力层
面的建构.数学实验中可视化的学习过程能加深学生对数学知识的理
解，通过由浅入深的实验探究促进思维认知结构化.本节课教师将实
验活动拼图与整式乘法及因式分解的知识有机结合，先由形到数，再
由数到形，既解决了数学知识，也让学生充分体会数形结合的重要思
想,促进知识的结构化生成.
3.致用
从效能维度来看，数学实验课可视化的实验成果还能提高学生的
知识迁移能力，将所学的知识与能力运用到新的数学情境之中，解决
新的问题，这是数学核心素养中关键能力的体现，也是数学学习的真
正目标 [3]。本节实验课中作者在最后将本节课数形结合表示面积应用
到新的情境中，这里体现了 3 次知识的迁移：（1）内容更复杂，从
两项到三项；（2）形式更多样，从拼图到画图；（3）研究更深入，
6从平面到立体.本节课中的所有代数问题都通过拼图转化为几何问题
解决，给了学生提供了新的思考路径，促进学生的思维认知多样化.
新课标要求，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜
测、计算、推理、验证的等活动过程.数学实验是思维外显的重要手
段，已经成为数学课堂教学不可或缺的环节.作为教师，我们应该深
入研究教材，结合学生学习经验，创设可视的数学实验教学场景，促
进学生在实验中创生知识、积累活动经验，使数学学习更加具体化、
结构化，多样化，提升学生深度思维能力.
参考文献：
[1]董林伟. “做数学”:中小学生适合教育的实践构建[J]. 教育研究与评
论，2021,(03):16-21.
[2]钱学翠. 数学思维可视化:促进深度学习真实发生[J]. 小学教学设计，
2021,(29):6-8
[3]高杰. 数学实验教学中思维可视化的探索与实践[J]. 教学与管理，
2022,(26):33-36.
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践研究（JY2021A03）的阶段性成果