基于小组合作的章节复习课

       ——例谈“二元一次方程组”的章节设计及教学思考

【摘要】章节复习课作为一章内容的复习，实质是把已学过的知识进行整理归纳，将相对独立的知识点串成线，连成片，结成网.小组合作学习策略是培养和训练学生良好的合作意识和表达能力，在学生对已学知识有了一定程度上的掌握，将学生分成小组进行章节复习课的学习。如何做到章节复习课不浪费时间，学生反而积极主动地参与到课堂中来合作交流，最终使每个学生都能获得相应的发展.

【关键词】小组合作，章节复习，二元一次方程组

本文基于小组合作设计了一堂二元一次方程组的章节复习课，整堂课设计以“开放、合作、表达”的形式，给予学生充分的时间参与小组交流、合作探讨、互相启迪，汲取更多的想法，体验数学学习的乐趣.经历小组合作学习的章节复习课，学生对本章知识的研究路径有非常深入的了解，也对今后学习不等式以及一次函数等知识产生启发，提升类比能力，生成“推理能力、应用意识、创新能力”等数学核心素养.

一、教学设计

1．夯实基础，建构体系

课前布置学生完成基础练习，其中基础练习共有5题.课堂上学生以4人小组为单位，借助基础练习整理归纳本章的知识点，共同完成知识体系的建构，并由小组代表将组内的成果展现给全班同学看，由同学们投票最欣赏的成果，这里展示票数最多的成果.

设计意图  通过基础练习，让学生能够自我梳理出本章的一些知识点.通过4人小组的合作交流，既可以调动学生的积极性，将知识体系建构得更完整，又可以激发学生的求知热情，带动课堂的气氛.

2．课堂研讨、提炼思想

问题1  已知二元一次方程组6x+5y= 21.(5x+6y= 12，) 则11x＋11y＝            ，2022−x＋y＝            .

学生活动：独立思考并发言，比较直接法和整体法，阐述整体法的优越性.

问：= 21(y−3= 12，)的解是_________.

学生活动：有部分学生想法是直接去括号去求.要求学生小组讨论，通过交流发现形式看似和上面方程组相同，即未知数的系数相同，右边常数也相同.代表发言：将x＋2看成x，y−3看成y，进而求解.教师总结整体代换的方法更优越.

设计意图  学生经历独立思考和小组交流的过程，感知解决二元一次方程组问题常用的思想方法：整体思想，代换思想，可以进一步将复杂问题简单化.

变式1  已知关于x、y的方程组a2x+b2y= c2(a1x+b1y= c1，)的解是y= −3.(x= 6，)则方程组2a2x+3b2y= c2(2a1x+3b1y= c1，)的解是         .

学生活动：有部分学生想法是将解代入方程组，但是遇到了问题，出现很多未知数，不好直接求.教师提示学生观察方程组的特点，鼓励学生发挥小组的力量.代表发言：形式看似也相同，将要求的方程组进行变形，再整体代换，可以快速求解.

变式2  已知关于x、y的方程组6x+5y= k+2.(5x+6y= k，)且x＋y＝4，则k的值为          .

学生活动：学生观察到方程组的右边变成了字母参数，但多了一个未知数间的等量关系。代表1发言：将x＋y＝4看成整体，对方程组进行变形，建立k的等量关系进而求解k.教师点拨：这里将k也看成未知数，把x＋y＝4联立到方程组中去，其实就变成了三元一次方程组，通过消元法去解方程组.在教师的启发下，代表发言：先直接利用已知方程组进行消元，消去k，再与x＋y＝4联立二元一次方程组，解出x和y，回代到方程中，即可求得k.

设计意图  通过设计变式1和2，学生经历自主思考、小组交流探讨的过程，感知章节复习课重在学习方法，了解解二元一次方程组的代换思想及消元思想，理解化复杂问题为简单问题的化归思想，有利于培养学生的推理能力和创新意识.通过解题提炼出的一些数学思想方法为学生数学的学习积累了经验.

3．回归生活、解决问题

上周我校进行了篮球联赛，比赛规则规定：赢一场得2分，输一场得1分.其中星光篮球队赛了若干场，积20分.

问题2  （1）如何描述星光篮球队的输赢场数与积分之间的相等关系？

学生活动：学生能汲取到题中对应的文字语言，将它转化为符号语言，自主列出二元一次方程2x＋y＝20.代表发言：由于是两个未知量之间的一个等量关系，自然联系到二元一次方程.

（2）你能列出输赢场数的所有可能情况吗？

学生活动：学生独立思考后进行小组校对，检查结果是否有遗漏.教师追问：为何不是无数个了？学生畅所欲言，代表发言：有了实际问题的背景，对未知数的取值有了一定的限制，也就是说解要符合实际意义.

（3）星光篮球队赛了12场，共得20分.问：星光队赢了几场？输了几场？

学生活动：学生能汲取到输赢场数又有一个等量关系，这样两个未知量之间的两个等量关系，联立成了二元一次方程组.教师追问：刚才的11个解，哪一个也是x＋y＝12的解呢？学生很容易看出来.求解了方程组，从而解决了实际问题.

（4）你能给出这个二元一次方程组不同的实际意义吗？   

学生活动：鼓励学生发挥小组的聪明才智，小组代表展讲，比比哪个小组编的题最新颖.

设计意图  通过设计学生熟悉的情境，尽可能让每一个学生都能参与到教学活动中来，获得积极的情感体验，增强学习数学的自信心.学生能够进一步明确方程是刻画现实生活相等关系的有效模型，不论是上学期的一元一次方程还是本章新的模型二元一次方程及二元一次方程组，这些都是解决实际问题的模型.在问题2（1）—（4）的层层思考下，学生感知到二元一次方程及二元一次方程组的知识形成与应用过程.知其然更要知其所以然.学生在问题的推动下学会追本溯源，培养学生将数学知识应用于实际生活中，发展学生的应用意识和创新意识.

4．拓展延伸、层次升华

教师活动：通过前面的解方程组，同学们说二元一次方程组的解有几个？学生快速回答1个.教师继续追问：那是不是所以的二元一次方程组都只有1个解呢？会不会有其他解的情况呢？

问题3  拓展：探索下列二元一次方程组解的情况.

（1）2x+y= 20；(x+y= 12，)            （2）2x+2y= 24；(x+y= 12，)         （3）2x+2y= 20.(x+y= 12，)

学生活动：对于（1），学生很容易得出答案，有唯一解.鼓励学生尝试完成（2）和（3）后小组讨论.代表发言：对于（2），两个方程可以转化为同一个二元一次方程，则称这两个方程是等价的，所以二元一次方程组有无数个解；对于（3），这两个方程无公共解，称这两个方程是矛盾的，所以二元一次方程组无解.教师小结：二元一次方程组的解一般只有1个，可能还会有无数个解或无解的情况.接下来鼓励学生发挥小组的力量，讨论一般形式的二元一次方程组ax+b，y= c解的情况，请小组代表展讲，其他小组补充.

设计意图  通过设计拓展延伸环节，激发学生探索的热情，让学生学会数学地思考问题的思维方式.学生对二元一次方程组解的个数认知停留在1个上，在小组合作的探索中，学生能够了解到二元一次方程组还会出现无数个解和无解的情况.学生能够在教师的引导下，自主合作讨论出一般形式的二元一次方程组解的情况.由于从具体数据得出的结论不具有一般性，因此需要对它的一般形式进行讨论.教师应更多地创造机会让学生体会感知数学知识的“抽象”这一特征，有利于培养学生的抽象能力和推理能力.

5．课堂小结、提升素养

问题4  通过本节课的学习，请同学们先组内谈谈各自的收获和疑惑，再请小组代表交流发言.

设计意图  通过学生自主总结后小组补充，再听取其他代表发言，最后教师进行提升的过程，让学生明确不仅仅要学习知识，重在学习数学思想方法；回顾方程的研究路径：从实际问题建立等量关系，建立方程→概念→解→解法→从而解决实际问题；其实生活中还有很多的不等量关系，下面一章即将学习不等式，你觉得会学习不等式的哪些内容呢？通过教师的小结对学生学习不等式产生启发，提升学生的类比能力.以这样的形式课堂小结促使数学知识进一步系统化与完善化，同时实现不同个体的数学活动经验的拓展、传递与共享，让学生学的有趣、有收获.

二、教学反思

1．在复习中积累方法

数学知识固然重要，但解决数学问题重在数学思想方法.在解决二元一次方程组问题时，学生经历自主思考、小组合作探讨的过程，掌握解题的数学思想方法，如：整体思想，代换思想，消元思想等，理解化复杂问题为简单问题的化归思想.学生在学习和探索中感受和领会到的一些数学思想方法为学生数学的学习积累了经验.

2．在复习中获取经验

    成功的教学不仅教会学生知识，而且要教会学生学习.《义务教育数学课程标准》强调提高学生的主动创新能力.教师在教学过程中要以学生的发展为本，尽可能地创造机会让学生自主探索、合作交流.学生的学习只能通过自身的操作活动和主动参与，才有可能是有效的.学生学习数学只有通过自身的情感体验，才有可能是成功的.

3．在复习中提升素养

课堂小结环节通过学生自主总结后小组补充，再听取其他代表发言，最后教师进行提升的过程，可以使模糊的知识更加深刻，可以使肤浅的经验更加明晰，促使学生感受到自己是学习的主体，不仅要学习知识，还要学习研究的方法，逐步生成“推理能力、应用意识、创新能力”等数学核心素养.章建跃博士就曾指出，发展学生数学核心素养与思维的教学并没有本质差别.而要想提升学生的思维能力则需落实到具体的教学中去，让学生学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界.