神奇的蜂巢

学具：每人4个正方形、3个正五边形、3个正六边形，学习单

教具：三棱柱，四棱柱，六棱柱，50本数学本，4个正方形、3个正五边形、3个正六边形

老师这有一座动物造的房子，你知道是谁的房子？今天我们就来研究神奇的蜂巢。（板书：神奇的蜂巢）

请你仔细观察，说说蜂巢的特点？从数学的角度，你还发现了什么？（板书：观察发现）

每个蜂巢都是六边形。这个六边形的长度怎么样？每条边都相等的六边形叫正六边形。

那每条边都相等的三角形叫——那每条边都相等的四边形叫——那每条边都相等的五边形叫——

两个正六边形有几条共用边？三个正六边形有几条共用边？

你能提出什么数学问题？（板书：提出问题）

为什么蜂巢是正六边形的？（板书：作出猜想）

4世纪古希腊数学家佩波斯提出和我们同学差不多的“蜂窝猜想”。

有了想法，我们就要来验证。你觉得会是什么原因？（板书：验证猜想）

数学活动一：用数学的方法来探究。在学习单上先铺一铺，假设蜜蜂分别用正方形、正五边形、正六边形建蜂巢，结果会怎样？

学生在学习单上密铺正方形、正五边形和正六边形。（正方形4个，正五边形3个，正六边形3个）

学生黑板板贴：正方形能密铺吗？正五边形能密铺吗？正六边形能密铺吗？光操作不行，我们还得从数学的角度思考探究，能不能密铺跟什么有关系？

正方形的一个角是90°，它4个角都是90°，围起来就是360°，也就是一圈360度都铺满，所以正好密铺。（板书：90°×4=360°）

正五边形的一个内角是多少度？它的一个内角是108度，3个正五边形密铺围起来才324°，没有360°。（板书：108°×3=324°）

正六边形的每个角是多少度？120°。120°×3=360°，正好密铺。所以能不能密铺跟什么有关？（板书：120°×3=360°）

当正多边形一个内角的度数是360°的因数时，这个正多边形就能密铺。

这两个图形能密铺吗？为什么？正八边形能密铺吗？为什么？

尽管有的单种图形无法密铺，但是设计师在创造密铺图案时，会用两种或多种图形，解决单种图形无法密铺的问题，看，不仅解决了密铺问题，还更美观了。

小结：通过刚才的研究，我们发现正三角形、正方形和正六边形是可以一种图形密铺的，那为什么蜜蜂只选择正六边形呢？我们继续研究。

活动二：用数学的方法来探究

男生计算下面图形的周长和面积，你有什么发现？（单位：厘米）

女生计算：已知下面图形的面积都是9平方厘米，算一算它们的周长，你有什么发现？

小组说说你们的发现。哪个小组的同学一起来汇报。

先算周长，你有什么发现？它们的周长相等。

面积呢？你发现了什么？周长相等时，正六边形的面积最大。周长是蜂房的什么？面积呢？周长是蜂房所需要的材料。面积就是蜂房里面能存放的蜂蜜的多少。

结合刚才的过程想一想，如果你是蜜蜂，你会选择下面哪种图形密铺建蜂巢？为什么？那你们的意思是——用正六边形建蜂房，用料相等的情况下，所能存放的蜂蜜最多。

女生的来汇报：

已知下面图形的面积都是9平方厘米，算一算它们的周长，你有什么发现？

面积相等时，正六边形的周长最小。蜜蜂建同样大的空间的蜂巢，建成正六边形用的材料最少。

活动三：当两个正六边形连接在一起时共用几条蜂巢壁？三个呢？四个呢？如果要计算蜜蜂建蜂巢壁的长度。它包括里面共用的边吗？包括外面的边吗？

用刚才这3种面积相等的正多边形建蜂巢，算一算蜂巢壁的长度，你有什么发现？（小组交流）

板书：（3×4-3）×4.56=41.04

（4×4-4）×3=36

（6×4-5）×1.86=35.34

你是怎么算的？蜂巢壁的总长度与图形的个数有关系吗？与共用几条蜂巢壁有关系吗？

你有什么发现？蜂巢壁的总长度等于（图形的边数×个数-共用的蜂巢壁）×每条边的长度。

当用正六边形建蜂巢时，正六边形蜂巢的用料最少。为什么？它共用的蜂巢壁最多。现在你发现蜜蜂为什么密铺正六边形建蜂巢，而不是一横排建蜂巢吗？

因为密铺正六边形可以共用更多的蜂巢壁，使所用的材料更少，也就是用的蜂蜜更少。

活动四：

正三角形、正方形、正六边形建蜂巢，哪种更牢固？

老师用A4 纸折好了正三角形、正方形、正六边形，哪些同学上来试一试？把本子放到棱柱的上面，一本一本往上加。

试试谁最坚固？你有发现吗？谁最牢固？

刚才是操作的，你能从数学的角度说一说为什么正六边形的棱柱最牢固？

这些棱柱的底面图形什么是一样的？（周长一样）

周长一样的时候，什么面积最大？周长相等时，正六边形的面积大；高相等时，底面面积最大，这个图形越牢固。

想象一下，如果有很多这样的正六边形拼在一起呢？会怎么样？会更牢固。

通过刚才的探究，你知道蜜蜂为什么用正六边形建蜂巢了吗？

1. 能密铺2.能节约材料3.牢固

受到蜜蜂建蜂巢的启发，生活中，你还见过哪些物体有蜂巢的结构？想象这样的设计的好处是什么？

生活中这样模仿动物的习性来用于生活的情况有很多。例如，模仿鸟的翅膀的特点发明了飞机，模仿鱼泡泡的功能发明了潜水艇，模仿章鱼吸盘的功能发明了吸盘，这一门学科就叫仿生学。

达芬奇有一句话说：数学是一切自然学科的基础。

接下来我们看一下“蜂窝猜想”的视频。

板书：神奇的蜂巢

观察发现    能否围成   正多边形每个角的度数  几个角  度数和

提出问题     正方形4个   √             90°×4     =360°

作出猜想     正五边形3个  ×           108°×3     =324°

验证猜想     正六边形3个   √          120°×3     =360°

得出结论

生活应用（ 每种图形边数×个数-共用边数 ）×边长= 蜂巢壁总长度

             （ 4×3               -3）×4.56    =41.04

（4×4               -4）×3      =36

（6×4               -5）×1.86   =35.34