集合的概念

一、认识集合

“集合”是高中阶段第一个数学概念。第一，集合是重要的数学知识，是后续学习的基础。比如，高中的函数中集合知识的应用很多：定义域、值域、单调区间以及不等式的解集；第二，集合是重要的数学语言，是后续学习的工具。数学是刻画自然规律的科学语言和有效工具，符号化、形式化是数学的显著特点。从某种意义上来说，学习数学就是学习一种有特定含义的形式化语言，以及用这种形式化语言去表述、解释、解决各种问题。

二、设计思路

基于“集合”这部分内容的理解，鉴于学生的思维特征和认知规律，以“问题解决教学”为途径，以“探究学习”为方式。课堂教学以题组为载体，学生在问题探究的过程中获得感知、产生新知、自然生长，教师不断地进行追问，发展和深化学生的思维。这种探究式学习方式突出了学生的主体地位，有利于学生的主动学习和深度学习，有利于学生思维的主动性和深刻性，有利于学生核心素养的发展。课堂通过题组，用“集合”的概念这根主线把独立的概念串成“概念组”：从“元素的属性”角度产生各种数集；从“元素个数的多少”出现有限集、无限集和空集；从“元素的呈现方式”生成列举法和描述法；从“不同集合间元素的关系”得到相等集合。这样一来“概念组”的教学就很简约了，教师只要通过设置问题就能让这些概念在学生问题解决得过程中自然生成。

三、教学过程

问题1 （1）请仿照下列叙述，向大家介绍一下自己。我家有爸爸、妈妈和我；我来自第二中学。

（2）让班级里的同学按性别站在一起分成两组，一组叫Ａ，一组叫Ｂ。问：你属于哪一组？

（3）让班级里毕业于相同初中学校的同学站在一起，分成不同组，编上编号。问：你属于哪一组？

（4）刚刚这些问题中的“家庭”、“学校”、“男生”、“女生”等概念有什么共同特征？

引导学生思考，让学生用自己的语言表述，在学生表述的基础上概括抽象生成“集合”的描述性概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元。

设计意图：通过这些问题让学生体验和感知，在学生的感知基础上抽象概括生成集合的概念。从生活中的例子出发，有利于学生的理解；通过分组实验活动，让学生参与并体验，同时寓教于乐。概念的得来要让学生参与，让学生有充分的体验和感悟。

问题2 指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

（1）我国的直辖市；

（2）单词“book”中的字母；

（3）高一的高个子同学；

（4）大于100的数。

通过这个问题加深对“集合”的理解，在此基础上给出集合的符号表示及元素与集合的关系。

设计意图：这是概念的运用，让学生在概念的运用中加深对概念的理解，同时这个问题起到承上启下的作用，作为下一个问题的载体，起到生成“元素与集合的关系、集合的表示方法”等新知的作用。

问题3 你会用符号来表示出问题2中相应的集合吗？

以此问题作为探究集合两种表示方法的载体。学生会比较方便地用列举的方法来解决（1）（2），老师在学生“列举”的基础上规范生成第一种表示方法：列举法。“列举法”解决不了（4）对应的集合，这就激活了学生的“认知冲突”，在这种情况下给出规范的表示，并生成一般的描述法｛x｜P（x）｝。再回头让学生写（1）（2）的描述法表示，在此基础上比较两种方法各自的优点。并对照（1）（2）（4）对应的集合给出“有限集、无限集、空集、相等集合”的概念及Venn图表示集合的方法。

设计意图：在认知冲突中激发学生的创造性思维，产生新知并加以巩固。探究的方式有利于学生对新知的理解，也有利于学生素养的发展。

问题4 你能再举几个集合的例子吗？

若学生没有举到学过的数集就追问：我们最早学数学就是从数开始的，你能不能举一些数组成的集合呢？在此基础上给出常见数集的符号表示。

设计意图：学生举例子是对概念的理解，同时通过这个问题产生“自然数集、整数集、有理数集、实数集”等概念及表示，把新知的生成纳入问题解决过程中，使得整个问题链环环相扣层层递进。

问题5 用恰当的方法表示下列集合：

（1）由小于20的既是奇数又是质数的数组成的集合；

（2）不等式3x-1＞5的解组成的集合；

（3）方程x2-x+1=0

（4）函数y=x2+2x-3图象上所有的点组成的集合。

让学生自主完成，然后进行展示，先自评再他评，最后教师点评并提炼两种表示方法。

设计意图：主要是对两种表示方法的理解，让学生掌握两种表示方式，在点评中加强理解，在教师提炼中升华。问题解决是一种探究的方法，既解决了问题又发展了学生的素养。

问题6 已知M＝｛2，a，b｝，N＝｛2a，2，b｝，且M= N，求a，b的值。

设计意图：学生自主思索，在独立思考的基础上相互交流，教师巡视观察，展示有代表性的解答（不完整的也可以），展示的时候让学生本人自己先讲思路的依据，然后其他同学点评和补充，需要的时候教师进行追问。解题后抽象概括出元素的“确定性、互异性、无序性”特征。

设计意图：隐性目的是提高分析问题解决问题的能力和分类讨论思想的感悟。本题的解题过程是学生探究的过程。

四、教学反思

亚里斯多德有句名言：“思维是从疑问和惊奇开始的，常有疑点，常有问题，才能常有思考，常有创新”。

通过问题链，教师舍得放手，把学习的时间、空间和主动权都交给学生，在预设与生成间自然回旋，引导启发学生展开想象的翅膀，自主探究，充分交流，倾听、吸纳、倾吐、争鸣表达出“我的思考”，习得新知。

设计数学活动，让学生在问题解决中学习，做中学，做中悟，体验、感悟知识的生成过程，学生的核心素养在数学活动中得到了真正的发展。