【内容摘要】数学的本体性知识既包括显性的可言传的数学知识也包括隐性的数学素养数学思想方法及能力是两者的统一。极限思想是高中数学和大学数学的联系纽带极限思想的学习和应用对于学生学习数学知识提高自身解决数学问题的能力促进自身数学素质的综合发展有着极其重要的作用事实上极限思想的出现在小学和初中阶段就已经设计和体现只是没有指出具体的概念和名称。即便在高中的数学课本上也并没有对极限的概念明确给出定义然而在教材的多处内容上却渗透和体现了极限思想如“区间的无穷远”“二分法求方程的近似解”“函数导数的概念”等。极限思想是“使数学真正成为科学使数学在应用方面和纯理论方面发展成为丰富而正确的科学进步成为深奥严格的科学的思想渗透于整个数学中并总是在活跃着的思想”。极限的思想是指用极限的概念分析和解决问题的思想是一种无限接近于精准答案的思想它可以帮助人们在有限中认识无限在近似中认识精确。在高中阶段对于极限思想的学习主要集中在解题中的运用。

极限思想在高中数学的内容中有很多的体现但是作为高中教材的隐形课程资源它不成体系还有待进一步的挖掘。因此教师在教学的过程中要树立课程意识把极限思想方法的教学融入备课环节以教材内容为载体依据学生的学情挖掘教材中能够渗透极限思想的因素。

极限思想对于学生来说是抽象和陌生的因此教师要认真研读教材精准定位极限思想的落脚点使学生对于极限思想的模糊印象变为清晰。高中阶段学习极限思维主要还是体现在解题的应用方面学生可以通过习题课和复习教学逐步提高利用极限思想分析和解决问题的能力让学生体验极限思想在解题上的简捷性和优越性感受极限思维在解题应用中的魅力所在加深理解和印象。

【关键词】数学本体极限思想极限思维教学与研究。

第一章研究问题

极限思想在数学中属于比较基本的概念用来描述变量在一定变化过程中的极端状态一种无限逼近某一状态的概念这种思想被广泛应用于数学的学习中是对数学知识的本质反应也是形象思维向抽象思维转化的一种纽带。相对来说比较抽象有时候又会觉得只可意会不可言传因此学生掌握起来比较困难。

1 极限思想在小学数学中的渗透

在现在的小学教材中有着许多知识点是与极限思想存在着密切的关系比如学习到的自然数、奇偶数、循环小数等这些数都无限的另外还有直线、射线、角的边平行线的长度也是一个无限延伸的概念。例如学生刚开始接触数学的时候会了解到循环这个概念比如 1 ÷ 3 它的得数是033333…… 是不断循环重复的一个循环小数随后我们就会提出 0999 是否等于 1? 学生认为 0999 不等于 1 极限思想有一个概念假设 x = 0999…… 10x= 9999…… 10xx = 9999…… 即 x = 9 所以 x = 1。但是它会趋近于 1 这种教学方法就融合了极限思想可以让学生在脑海中深刻的印象更加直观地了解到极限思想是什么。学数学作为小学生的启蒙学科正确教学方法的运用有利于学生在以后高等数学中顺利学习。这就要求教师在教学中融合极限思想使学生养成良好的思维惯式。^[1]

所以极限思想在小学数学教学中渗透的必要性是存在的不容置疑的但是在小学数学教学中的渗透极限思想的重要途径有哪些该如何更好地渗透极限思想从而激发学生整体的学习欲望

2初中数学也有极限思想

作为数学思想中非常重要的极限思想在初中数学教学中能否被渗透如果可以又该如何开展教学显然要回答这一系列问题并不轻松。一方面《全日制义务教育数学课程标准 2022 年》以下简称《课标》对初中阶段学生学习水平划分为四个层次即“了解认识”、“理解”、“掌握”和“灵活运用”。由于极限的思想方法只定位在“了解”的层面因此教学设计应以初中阶段学生认知心理和思维发展水平以及课堂教学的有效性为前提把握这个“度”不能随意加以拔高或加深。另一方面人教版、华东师大版和苏科版教材在九年级安排“圆周率——圆的周长与直径的比值”等内容时明确运用了极限的思想方法通过一节初中阶段学生计算圆周率的值的研究性学习展示课设计对如何渗透隐含的数学思想方法——极限思想进行过有益的探讨。事实上教学中在已知三角形两边长求周长的取值范围时就自觉或不自觉的渗透了极限思想的方法。^[2]
鉴于《课标》中对极限思想的教学要求停留在“了解”阶段因此教材虽有所涉及但还停留在作为阅读材料或研究性学习内容的层面上是否在常规教学中作必要安排还未“盖棺定论”多数教师在教学中对此重视不够或匆匆带过的情况。老师对学生不作要求或只是让学生自学了解对极限思想的作用认识不足。极限思想在现今的初中阶段教学中如何渗透?渗透极限思想的意义在哪里?这就是值得探讨和研究。

3极限思想在高中数学中的应用

高三教学过程中对含参的多变量函数的恒成立和存在性问题的解答时我们常采用两种方案方案一: 对参数进行分类讨论通过研究含参函数的单调性从而得出其最值再代入计算; 方案二: 先进行变量分离在对分离后的函数单调性研究得最值代入事实上我们发现无论在平时的作业还是在诊断性测试中如果学生用方案一则往往会讨论不全而用变量分离则会提高正确率和得分率学生也比较乐于采用方案二然而现实却很残酷有时候我们学生在使用变量分离方案处理恒成立或存在性问题中却会发现变量分离的果实就一步之遥却眼睁睁看着它凋零他们会对变量分离的方案产生疑问常来问: “老师为什么不行呢我哪错了?”事实上这时候要解决这个问题需要引入高等数学的一个重要法则——罗比达法则就涉及到极限的问题这是解题教学中经常碰到的疑惑和难题对于高中解题教学而言面临一次挑战

极限思想在中学函数中也有渗透如高一函数学习中应用极限思想解决定义域、值域方面同时在求解值域时经常会应用到基本不等式去解决函数其中也渗透了极限思想最基础的如函数定义域与值域的区间表示也是极限思想在函数中渗透的体现.其次在高一阶段第三章二分法求解零点问题时也可以应用函数中的极限思想去理解在选修课程中的导数学习中应用到的极限思想更多. 在高中几何知识中主要包含初等的解析几何和立体几何的学习在解析几何中主要把极限思想应用到渐近线证明与实际解题中特别是在解决圆锥曲线中渐近线的考题中.立体几何的学习中极限思想的应用主要在旋转体中球和圆锥的体积证明中.对于球的体积证明中将圆无限分割用熟悉的圆柱与圆锥面积公式去解决解决过程中应用到极限思想同理圆锥的体积也是一样应用极限思想去解决这些问题等等。解题教学中的困惑、教材内容的零零碎碎对于教师与学生而来如何有效渗透极限思想是亟待研究的问题。

4极限思想在高中其他学科的渗透

在高中物理教学过程中有关运动的描述以及匀变速直线运动的研究等问题很多方面都渗透了极限的思想那么在高中物理教学中如何更好地把数学的一些工具性思想引入高中物理教学当中去尤其是在高中物理教学中渗透一些极限思想呢

第二章成果1极限思想的产生、发展与完善

§1极限思想的产生

与一切科学的思想方法一样, 极限思想也是社会实践的产物. 极限的思想可以追溯到古代, 在我国春秋战国时期虽已有极限思想的萌芽, 但从现在的史料来看, 这种思想主要局限于哲学领域, 还没有应用到数学上, 当然更谈不上应用极限方法来解决数学问题. 直到公元 3 世纪, 我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”. 他的极限思想是“割之弥细, 所失弥少, 割之又割, 以至于不可割, 则与圆合体而无所失”. 第一个创造性地将极限思想应用到数学领域. 这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础.
刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用; 古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想, 但由于希腊人“对无限的恐惧”, 他们避免明显地“取极限”, 而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明. 到了16世纪, 荷兰数学家斯泰文在考查三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法, 他借助几何直观运用极限思想思考问题, 放弃了归谬法的证明. 如此, 他在无意中将极限发展成为一个实用概念。

§2 极限思想的发展

极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期生产力得到极大的发展生产和技术中大量的问题用初等数学的方法已无法解决要求数学突破只研究常量的传统范围而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分后来因遇到逻辑困难所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量与时间的改变量之比表示运动物体的平均速度让无限趋近于零对求极限得到物体的瞬时速度并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性试图以极限概念作为微积分的基础。他说“两个量和量之比如果在有限时间内不断趋于相等且在这一时间终止前互相靠近使得其差小于任意给定的差则最终就成为相等。”但牛顿的极限观念是建立在几何直观上的因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念只是接近于下列直观性的语言描述“如果当n无限增大时无限地接近于常数A那么就说以A为极限。”人们容易接受这种描述性语言。现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义。但
是这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系不能作为科学论证的逻辑基础。正因为当时缺乏严格的极限定义微积分理论才受到人们的怀疑与攻击例如在瞬时速度概念中究竟是否等于零?如果是零怎么能用它去作除法呢?如果不是零又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的“无穷小悖论”。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈他
说微积分的推导是“分明的诡辩”。贝克莱之所以激烈地攻击微积分一方面是为宗教服务另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。这个事实表明弄清极限概念建立严格的微积分理论基础不但是数学本身所需要的而且有着认识论上的重大意义。^[3]

§3极限思想的完善
1.极限的定义
    到了19世纪法国数学家柯西在前人的基础上比较完整地阐述了极限的概念他在《分析教程》中指出“当一个变量逐次所取的值无限趋近于一个定值最终使变量的值和该定值之差要多小就多小这个定值就叫做所有其它值的极限值特别地当一个变量的数值绝对值无限地减小使之收敛到极限 0这就说这个变量会变成无穷小.”
    柯西把无穷小视为“以0为极限的变量”这就正确地确立了“无穷小”概念似零而不是零却近似的等于 0.也就是说在变量变化的过程中它的值实际上不等于零但它变化的趋势是无限地接近于零.那么人们用“等于0”来处理问题是不会产生错误结果的.柯西试图消除极限概念中的几何直观但是“几何直观”不是消极的东西在研究函数时我们可以假设变量图象被放大到无数倍以后也会永远不能看到变量值“等于0”所以用不等式表示会更加“准确”作出极限的明确定义.但柯西的表述中还存在描述性的词语如“无限趋近”“要多小就多小”这些语句比较通俗易懂人们理解起来比较容易.
    德国数学家维尔斯特拉斯提出了抽象的极限定义给微积分提供了严格的理论基础.所谓x_n→x就是指如果对任何ε总存在自然数 N使得当 n > N 时不等式恒成立|x_n - x₁| <ε.这个定义定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系.因此这样的定义应该是目前比较严格的定义可作为科学论证的基础至今仍在很多的数学分析书籍中被频繁使用.在该定义中涉及到的仅仅是“数及其大小关系”此外只是用给定、存在、任何等词语已经摆脱了“趋近”一词.
    常量可理解为“不变化的量”.微积分问世以前人们习惯于用静态的图象研究数学对象自从解析几何和微积分问世以后“变量”被引进了数学领域人们可以用有关变量的数学工具对事物变化的过程进行研究.
    之后维尔斯特拉斯建立的 εN 语言则用静态的定义描述变量的变化趋势.这种“静态——动态——静态”的螺旋式上升演变方式反映了数学发展的辩证规律.如今人们经过不断地研究得到了准确的极限定义.

2.极限思想与数学分析

有时我们要确定某一个量首先确定的不是这个量的本身而是它的近似值而且所确定的近似值也不仅仅是一个而是一连串越来越准确的近似值然后通过考查这一连串近似值的趋向把那个量的准确值确定下来.这就需要运用极限的思想方法.可以说数学分析中几乎所有的概念都离不开极限.几乎所有的数学分析著作都是先介绍函数理论和极限的思想方法然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数广义积分的敛散性、重积分与曲面积分的概念.数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体的体积等问题是由于其采用了“无限逼近”的思想方法才能够得到无比精确的计算答案.
    求复杂面积、体积、线段长度的工作始于德国科学家开普勒.1615年开普勒发表《酒桶的立体几何学》该书集中研究了求旋转体的体积问题.其基本方法是首先把给定的几何图形分成无穷多个无穷小的图形用某种特定的方法把这些图形的面积或体积加起来便得到给定的图形的面积和体积其次几何图形是由不可分离量即无穷小面积或体积组成的.虽然这些计算都是不严格的但是他得出的结果却是正确的.这些简单易行的方法同今天常采用的“微元法”有着相似之处.开普勒是第一个在求积中运用无穷小的数学家这就是他对积分学的最大贡献.^[4]
    1635 年意大利数学家卡瓦利里的《用新方法促进的连续不可分几何学》的正式出版标志着积分学的一个重要进展.他认为几何图形是由无数多个维数较低的不可分量组成的即面积是由条数不定的等距离平行线构成的体积是由等距离的平行平面构成的.他把这些元素分别称之为面积和体积的不可分量.卡瓦利里的不可分求和原理实际上就是后来定积分概念的雏形.
    借助极限思想人们的认识发生了很大的改变从“有限”到“无限”从“不变”到“变”从“直线构成形”到“曲线构成形”从“量变”到“质变”从“近似”到“精确”.运用极限思想可得到相应的无比精确的值.人们用“无限地逼近”实现了“精密计算”.用此新方法可解决“直接用常量办法计算有变化量的函数计算结果误差大”的问题.极限思想已经渗透到现代生活的各个领域中.在日常生活中极限思想已经成为人们解决问题必不可少的基本思想之一.

第三章成果2极限思想与数学发展的关系[5]

§1 从极限思想到极限理论

极限的朴素思想和应用可追溯到古代中国早在 2000年前就已能算出方形、圆形、圆柱等几何图形的面积和体积。3世纪刘徽创立的割圆术就是用圆内接正多边形面积的极限是圆面积这一思想来近似计算圆周率π并指出“割之弥细所失弥少割之又割以至不可割则与圆合体而无所失矣”。这就是早期的极限思想到 17世纪由于科学与技术上的要求促使数学家们研究运动与变化包括量的变化与形的变换还产生了函数概念和无穷小分析即现在的微积分使数学从此进入了一个研究变量的新时代

到了17世纪后半叶牛顿和莱布尼茨在前人研究的基础上分别从物理与几何的不同思想基础、不同研究方向分别独立地建立了微积分学他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量极限概念被明确提出但含糊不清牛顿在发明微积分的时候合理地设想Δ越小这个平均速度应当越接近物体在时刻时的瞬时速度这一新的数学方法受到数学家和物理学家欢迎并充分地运用它解决了大量过去无法问津的科技问题。因此整个18世纪可以说是微积分的世纪但由于它逻辑上的不完备也招来了哲学上的非难甚至嘲讽与攻击。贝克莱主教曾猛烈地攻击牛顿的微分概念实事求是地讲把瞬时速度说成是无穷小时间内所走的无穷小的距离之比即“时间微分”与“距离微分”之比是牛顿一个含糊不清的表述其实牛顿也曾在著作中明确指出过所谓“最终的比”不是“最终的量”的比而是比所趋近的极限但他既没有清除另一些模糊不清的陈述又没有严格界说极限的含义包括莱布尼兹对微积分的最初发现也没有明确极限的意思因而牛顿及其后一百年间的数学家都不能有力地还击贝克莱的这种攻击这就是数学史上所谓第二次数学危机

经过近一个世纪的尝试与酝酿数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效由于法国数学家柯西、德国数学家魏尔斯特拉斯等人的工作以及实数理论的建立才使极限理论建立在严密的理论基础之上至此极限理论才真正建立起来微积分这门学科才得以严密化

§2 对极限概念定性描述的分析

微积分的极限理论的核心是如果一个数列或函数无限地接近于一个常数我们就说这个数是这个数列或函数的极限这是极限概念的定性的描述以数列极限为例即随着项数的无限增大数列的项无限地趋近于一常数对极限概念这一定性的描述比较容易理解。但在实际应用中这样的定义是不能解决问题的这里关键的东西是 “无限地接近于 ”的表述什么是无限地接近一般人可以说就是要多近就有多近在其他学科尤其是社会学科这么讲也说得过去了但是数学是一门逻辑严密的学科数学家是追求逻辑完美的人这样含糊
的定性分析不能让人满意也不能在应用中做严密的推理。因此必须给出极限概念的定量的描述
§3 对极限概念定量描述的分析

“无限增大”、“无限趋近”只是一种函数变化性态的形象描述无法进行严谨的论证。因此在数学中必须有极限概念的定量的描述

两千三百多年前的庄子说“一尺之棰日取其半万世不竭。"庄子·天下篇)这段话的意思是一根一尺长的小木棰“日取其半”其每天剩下的部分可以构成一个一个无穷数列:

且无论有多么大数列的一般项都不等于0. 但显然当无限增大时数列一般项将无限趋近于0。

于是我们可以得到数列极限的一个直观定义:

定义1:给定一个数列和一个常数.如果当无限增大时无限趋近于常数则称为数列的极限。

定义1是对极限概念的一种非常直观、形象、生动的表述。它表明:所谓数列的极限是指当无限增大时其一般项的一种变化趋势(趋向)。定义1较好地表达了人们对极限概念的直观理解但它却不能作为极限的严格数学定义。因为数学讲究“精确”追求“确定”。而定义1中“n无限增大”“无限趋近于”都是含糊不清的表述充满着不确定性.例如按照定义1我们当然可以认为数列(1)的极限是0但我们同样也可以认为数列(1)的极限是。为此我们可以把定义1中的表述“无限趋近于"改进为“与要多接近有多接近”或“要多小有多小”。于是得到了另一个定义:

定义给定数列和常数如果对于充分大的要多小要多小则称为数列的极限。

定义2比定义1有了较大改进但它们不能作为极限的数学定义。因为定义2中“充分大”“要多小有多小”之类的表述仍含混模糊缺乏定量化不便于进行数学推理。例如如果要用定义2来证明数列(1)的极限是0该如何操作?

我们把定义2进行量化处理就得到了极限的严谨的数学定义:

定义设为数列为常数.若对任给的正数总存在正整数使得当时有则称数列收敛于定数称为数列的极限并记作或。

定义3关于极限概念是通过两个参数来表述的。其中可以取任何正数值(通常取正整数)。用于刻划与的距离取值越小表示与越接近;用于限制的变化的取值依赖于越小通常越大。当取一系列越来越小的值时对应有一系列越来越大的值当时表示:当充分大时要多小要多小。

例如在数列(1)中当依次取时对应有依次取当时从而说明数列的极限是0。

这就是说定义3是通过参数的一系列取值来表达数列的极限为的。这里一方面的取值可以是任意的另一方面一旦取定一个值就可以确定一个的值(虽然同一个值可以对应许多个不同的值。这种取值的任意性和确定性的统一正体现了极限的数学定义的根本特征。取值的任意性表达了无限增大时无限趋近于的极限本质而取值的确定性体现了数学定义的定量化与精确化保证了数学推理的可操作性。二者统一就得到了极限概念的严谨数学定义。定义3是真正建立在科学反映论基础上的极限的数学定义。

第四章成果3高中数学新课程中的极限及其教学实施方案

极限是高中数学新课程中的重要内容.《普通高中数学课程标准 (实验 )》(以下简称《标准》)中,设置了数列极限与函数极限.不少教师认为,极限的学习有利于高中与大学知识的衔接,发展学生的辩证思维,尤其是扩展解题的技巧和方法.因此对于极限教学的研究主要集中在极限思想在解题中的运用, 教学的重点放在用极限解题的技巧上. ^[6]

§1 对极限的认识

作为研究函数最基本的方法———极限方法在古代就有较为清楚的描述两千多年前的古希腊在深入研究圆形的过程中,萌芽了 “无限细分,无限求和 ” 的微积分思想我国西汉刘歆在《西京杂记》中提到的 “记里车 ”,东汉张衡制造的 “浑天仪 ”,蜀汉诸葛亮使用的 “木牛流马 ”,魏晋刘徽的 “割圆术 ”,也都用到了极限的思想.随着现代学科的成熟,微积分经历了长足的演变和发展.极限作为微积分最重要的概念,于20世纪初被引入中学数学.这次,《标准》中也设置了极限的内容,主要基于以下几方面的认识.

1.1 极限具有深刻的哲学意义

极限的概念来源于客观实际,是人们认识现实世界的一种共有现象.正如列宁在《哲学笔记》中概括的一样,“从生动的直观到抽象的思维,并从抽象的思维到实践,这就是认识真理、认识客观实在的辩证途径 ”.极限的早期萌芽是从人们感觉中产生.17 世纪上半叶随着对机械运动规律的探求,许多实际问题摆到了数学家们的面前物体在任意时刻的速度与加速度光学研究中涉及的曲线问题抛物体获得最大射程时的发射角行星引力问题等.数学家在掌握丰富的感性材料基础上,经历反复推敲与实践检验,发展了极限理论.因此,极限的思想揭示了马克思主义认识论关于认识的辩证过程.

人类通过抽象、概括认识自然界的本质.正是通过这种抽象,“从有限中找到无限,从暂时中找到永恒 ”(恩格斯语 ).从极限思想中,我们可以从有限认识无限,从近似认识精确,从已知认识未知等.比如在求曲面梯形面积时,首先要化 “曲 ”为 “直 ”.因此, 将积分区间细分,使每个细小的区间化曲为直,从而由已知求未知,计算出梯形的近似值,但近似不是精确,通过无限分割,使近似值逐渐趋向精确.当分割的程度越加细化,由量变引发质变,我们得到了关于梯形面积的精确值.不难看出,极限思想本质上讲是一种辩证思维.

1.2 极限包含重要的数学思想方法

高等数学中许多深层次的理论及其运用都是极限的延拓和深化.可以说,离开了极限思想,高等数学就失去了基础.极限思想贯穿了微积分的全部内容微分和积分都是由各种不同形式、不同方式的极限过程得到的,所以微积分最核心的就是极限思想. 随着伯努力、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、柯西等数学大家的完善,在微积分的基础上又产生了一些新的数学分支,如微分方程、无穷级数、微分几何、函数论、积分方程、变分法、泛函分析等.这些分支与极限有着密切的联系广义积分、级数和等概念都是用不同形式的极限方法得到的从直线、平面、三维空间到一般欧式空间,乃至各类抽象空间的收敛性,都借助了极限二重积分、三重积分、第一型曲线、曲面积分,它们的思想方法 (分割、求和、取极限 )都是一样的,都可看作求不均匀物体的质量直线段、可求面积的平面图形、可求体积的空间几何体、空间曲线以及曲面,都可归结为处理同一型式和的极限.

1.3 极限具有丰富的现实背景

极限思想方法是微积分的基本思想方法,使借助数学对事物的运动变化规律做定量分析成为可能,即把所考察的对象 (如圆的面积、变速运动物体的瞬时速度、曲边梯形的面积等 )看做某对象 (内接正边形的面积、匀速运动物体的速度、矩形面积的和 )在无限变化过程中变化结果的思想.在这种思想指导下,得到了运用极限去刻画切线斜率、变速运动的瞬时速度和加速度等概念的方法.因此,极限内容有着丰富的物理背景比如,建筑学中房梁在外加负荷下的弹性问题,工业生产中机械模型的制造,物体重心以及物体之间的引力问题等.随着极限思想向现代化学科扩张和渗透,极大程度上促进了跨学科和边缘学科的产生、发展、深化,也使得极限在现实生活中的运用日益广泛.如化学不定量问题 (配置硝酸等 ),用常规方法很难解决,但是采用极限思想便可迎刃而解.类似这样的例子不胜枚举,这些现实问题,为极限内容提供了丰富的背景.

§2极限的教育价值

2.1 有助于培养学生的辩证思维

极限内容中蕴涵着大量的辩证思想.应根据学生的实际水平和能力,适度地从哲学的角度剖析变与不变、量变与质变、近似与精确等对立统一规律, 能有效地训练学生数学思维,提高综合素质.极限内容中还有很多知识涉及到较深刻的辩证思想,这使得极限的学习成为高中数学新课程的一个重点和难点.但这个难点恰好是训练学生辩证思维的良好素材,提高学生综合素质的最佳环节.

2.2 有助于增进学生对数学本质的了解

数学中许多概念,可以从过程和对象两个侧面来理解.所谓过程,就是具备了可操作性的法则、公式、原理等.而对象则是数学中定义的结构关系.极限既代表函数变化趋势的过程,又代表发展变化的结果.因此,极限既操作别的对象 (比如数列、函数 ), 又要被更高层次的运算 (比如导数、微分 )来操作. 所以,极限概念在某一层次和更高级的层次的概念之间起着某种枢纽作用,有助于学生认识数学概念形成过程中的多层次抽象以及数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性.

此外,借助于极限思想,数学中许多概念定义得以完备.如有理指数幂.当为无理数时,可以看成某一有理数列)的极限,即,这样均有意义,则,从而把无理指数幂纳入到幂函数的内容中.不难看出,中学极限的学习有利于学生系统全面地了解数学内部结构,整体把握其性质.

2.3 有助于学生体会数学与现实及其它学科的联系

极限具有丰富的现实背景,是刻画物体运动变化的重要数学工具.在诸如人造卫星、自动控制、各类电子装置的设置、导弹计算等方面有广泛的运用. 极限也在刻画物理量 ——— 速度、加速度等方面起到

不可忽视的作用,它体现了数学与物体的天然联系.

例如,变速运动中求物体在某一时刻的瞬间速度.自变量时间与函数的图像如图所示,则在时间段[的平均速度为割线的斜率.当逐渐接近,点的斜率为:,即为物体在时刻的瞬时速度.事实上,速度、加速度这些物理量贯穿物理学的许多分支,都是数学中极限的现实原型.充分挖掘极限背后所蕴涵的现实生活背景,可以极大地丰富学生的数学生活,培养学生数学化思考的习惯,体会数学与现实生活的密切联系,更好地认识人类的生活空间.

§3 极限教学应注意的问题

基于高中数学新课程对极限的定位以及对极限教育价值的分析,极限教学应注意以下几个问题

3.1 注意无限概念的阐述和理解

极限内容的学习是培养和发展学生思维不可分割的部分.但由于学生对对立统一规律的认识还很模糊,必然会有很大的困难,其本质的问题就是对无限的认识.在数学哲学上,区分了两种无限一种是潜无限,即把无限看成是永远在延续的过程.比如不断延伸的自然数列1,2,…,,…另一种称为真无限,即把无限对象看成是可以自我完成的过程.比如坐标轴上一个动点以单位速度从坐标1处向原点移动,通过了数集中的一切点,又因为和自然数集一一对应,所以无限的自然数集是可以完成的过程.然而,很多学生由于受日常语言的影响,认为无限就是潜无限,把取极限看成是一个永远也无法完成的过程.因此,极限函数定义中无限接近对学生而言便是只能非常接近但不能达到.然而存在某些情况极限值是可以达到的,典型的事例是比较1和的大小.对于这类问题,即便利用极限证实了,但学生仍然认为总是会比1小,并且无法达到1.产生这种观点的原因是因为学生把函数看成始终处于不停地运动中,不断靠近1,因此无法等于1.不停地运动而无法达到实际上是否定了真无限的结果.由此,对极限正确的理解依赖于学生对真无限的认可.可以说,真无限应该是学习极限概念最重要的认知障碍.许多教师为了帮助学生,将无限接近解释为 “要多接近有多接近 ”,但这样的解释对学生来说还是接近不能达到.事实上,较好的解释应该是和1之间其实什么也不差.因为假如它们相差,只要9循环到100001便可以了.因此教师可以反问学生 “如果非常接近但不相等,那究竟差多少?”可以较好地避免学生单一理解潜无限而拒绝真无限,从而领会 “由近似到精确 ”的辩证思想.

3.2 注重极限思想的灵活运用

极限思想是高中数学中一种重要的数学思想, 它从数量上描述变量在运动过程中的变化趋势.极限内容不仅贯穿在整个微积分部分,而且与解析几何、立体几何、数列、三角函数、不等式也有着密切的联系.因此,极限思想在解决数学各个分支的问题时有着不可忽视的作用.对于某些较难的数学问题,如果能够灵活运用极限思想求解,往往可以避开一些复杂抽象的运算,降低解题的难度,优化解题思路, 达到事半功倍的效果.例如设为自然数,求证不等式许多学生会利用数学归纳法证明,但是,当证明=+1时,不等式右边是一个常量,而左边从变为+1时却在不断增大,证明难度较大.然而,把看成数列,则上述不等式可转化为求数列的和,因此想到利用数列极限进行求解.因为,所以有下式:,两边同时取极限,则.在上例中,将不等式的项与数列相联系,用极限求和的方法为解决不等式证明问题拓宽了思路,简便了计算过程.另外,极限思想与特殊化原则的结合,可对某些较复杂的问题做极端化处理,使解题过程化难为易.因此,教师应该在课堂教学中帮助学生归纳和总结极限思想在解题中的运用,但不能把对极限的运用局限在解微积分的题目中.应该认识到,通过极限思想,能有效地将数学各部分内容系统地联系起来,有利于学生从整体上把握数学的本质.

3.3 关注极限在物理、数学、现代科技中的应用

物理中的速度、加速度、电路单调性变化等问题是极限研究的对象.因此,极限在物理中的运用是不言而喻的.在教学中,应引导学生有意识地运用极限刻画和解决物理学科中的问题 (例如弹性小球落地到停止运动所经过的路程 ).极限在数学中也有着重要的作用.极限及其运算可以刻画几何对象,分析曲线的性质,证明不等式,计算图形面积,证明数列和的存在性、线性代数求解等等.例如求抛物线与直线及轴围成的面积.在轴上将线段等分为份,以每份线段为底,分别作个矩形,这个矩形的面积之和近似于阴影部分的面积S.当.分割、求和、取极限的思想方法还可以用来解决解析几何、立体几何的问题,使解题过程构思巧妙独特,简便快捷.此外,在解决现实的应用性问题 (比如环保、贷款等 )中,借助极限可以帮助我们做出合理的估计与推理.值得注意的是,不能把极限的应用仅仅局限在解决形式上的、由数学符号构建的、纯数学内部问题的求解与证明,这样在无形之中割断了数学与生活的联系,致使学生对数学概念形成不完全、不客观的认识.高中数学新课程中设置极限内容有着更为广泛的目的,而不仅仅为了解决纯数学问题.因此,课堂教学应该对极限的应用性给予相应的关注.

第五章后记

§1思考与有待研究的问题

通过撰写期刊论文、调查报告等形式对调查结果进行表现使得调查结果更加具有参考价值。提供研究路径在社会中能够对于数学本体论之极限思想研究提供经验。对于我校数学本体论之极限思想能够进行合理研究并且撰写相关期刊论文为其他学校的数学本体论之极限思想研究进行一定的经验分享在社会中能够对于各个学校的数学本体论之极限思想研究的健康发展提供经验在进行数学本体论之极限思想的管理探索中开设研究路径并且能够对当前所遇到的问题来进行针对性方案的解决能够为当地数学本体论之极限思想研究的思想层面起到积极的促进作用能够为其他学校提供借鉴意义。这是今后还需要进一步延续的研究内容.

学生方面

通过对数学本体论之极限思想的实证研究能够帮助学生提升自身的综合素质。同时对于数学本体论之极限思想的研究也能够让学生对于数学本体论之极限思想有更加深入的理解帮助学生提升自身在学习方面的积极性让学生能够更加具有创新精神以及探索精神提升学生的科学探究能力有利于提升我国数学本体论之极限思想的发展此外对数学本体论之极限思想进行研究也让学生能够更加有效、科学的进行学习保障我国的人才资源质量。

教师方面

通过数学本体论之极限思想的研究能够让教师的教学方法进行提升大大提升教师的教学质量以及教学水平在新的研究成果中弥补了传统教学上的不足之处同时也能够获得更多的教学资源来对学生展开教学让教师能够提升自身的教学效率有助于建设更加全面且强大的师资队伍。

学校方面

通过数学本体论之极限思想的研究能够探索出在新型的教育模式下所存在的优势为学生的教育内容进行更加系统的规划同时能够帮助学校培养出更具有综合素养的学生对于整个学校的教育理念以及教学办法上能够进一步提升。

教育改革方面

数学本体论之极限思想的研究无疑是打破了我国长久以来传统教育模式的格局能够引入新的教学目标以及教学模式对于我国的教育改革而言起到了极大的推动作用。开拓了我国教育行业的先河让我国对于数学本体论之极限思想的研究达到了空前的高度对于我国的教育改革具有十分重要的作用。

§2致谢

经过一个月的查资料、整理材料今天终于可以顺利的完成论文了自己想想培训期间的点滴历历涌上心头时光匆匆飞逝。要感谢的人实在太多了首先要感谢我们的国培计划组织单位尤其是王建明教授制定的“数学本体—科学精神—人文素养”为主题的培训契合当下教育主旋律。论文的选题和中期答辩以及最后答辩特别感谢祁建新院长的鼓励和指导都是在祁院长的指导下完成的倾注了祁院长大量的心血。祁院长指引我的论文的写作的方向和架构并对本论文初稿进行逐字批阅指正出其中误谬之处使我有了思考的方向他循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪他一丝不苟的作风将一直是我学习中的榜样。

【参考文献】

[1] 侯江鱼.极限思想在小学数学教学中的渗透路径研究[J].考试周刊.2021.

[2] 程心亮.关于初中数学极限思想的教学反思[J].中小学教学研究.2014.

[3] 邓蜀元. 极限思想的产生和发展[J].考试周刊.2009.

[4]李芳.极限思想的产生与发展[J].语数外学习.2020.

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第一章 研究问题