小数的初步认识

                                                                                        江阴市周庄实验小学  陈晓旭

【教学内容】苏教版《义务教育教科书·数学》三年级下册第87～89页。

  【教前思考】三年级学生对小数已有一定的生活经验，但大多是依附于商品价格、长度、气温等认识，离开这些现实情境，小数便成了抽象的存在，让人难以理解。那么，如何帮助学生更好地认识小数呢？

     思考1：史宁中教授在《〈数学课程标准(2011年版)〉解读》中指出：“小数产生有两个前提，一是十进制记数法的使用，二是分数概念的完善。”苏教版教材在“分数的初步认识”学习的基础上，安排了“小数的初步认识”，并以“长度”作为主要的学习素材，试图通过分数意义的迁移来实现学生对小数意义的理解，然而我认为之前在初次认识分数时，更倾向于对“关系”意义的认知，而在初次认识小数时，则更倾向于联系分数的有关“具体量”的意义。同时，学生在对于生活中具体量的体验中，“用分数”的经验并不丰富。因此，仅仅借助分数的“具体量意义”来突破对小数的理解，显得并不恰当。

思考2：通过对数学史的了解，我发现相较于分数，小数似乎与十进制计数法更有渊源。而张奠宙教学在《小学数学教材中的大道理》提出在教学上不要总回到分数的意义上理解小数，分数虽然对学生理解小数有帮助，但并不应该是认识小数的唯一工具。追根溯源，小数的实质是十进制分数的另一种表现形式，其本质是十进制位值原理，小数是十进制的反向延伸，即在数位顺序表中增加十分位、百分位等新的位置，依旧重复着不断平均分成10份的过程，显示整数与小数的统一。

基于上述原因，我认为虽然教材中没有凸显这个认识的过程，但是教师在教学中要让学生感悟到从认识整数到小数这种完善的计数制度，体会数学结构的规范与完整。

【教材分析】苏教版教材中有关小数的认识分两个阶段进行教学。其中，第一次安排在三年级下册第八单元，重点引导学生结合具体情境初步认识小数的含义，运用米和分米的十进关系理解一位小数的意义。（图1）结合具体的“量”来比

较一位小数的大小，探索并掌握一位小数的加、减计算方法；第二次安排在五年级上册第三单元，重点引导学生相对抽象地理解小数的意义，再次采用分米、厘米、毫米与米之间的关系明确一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几等。（图2）再探索小数的基本性质，归纳小数的大小比较方法。

   

 

 

 

（图1）                       （图2）

【学情分析】三年级学生对小数已有一定的生活经验，但大多是依附于商品价格、长度、气温等认识，离开这些现实情境，小数便成了抽象的存在，让人难以理解。因此找准并读懂学生的认知起点与学习困惑尤为重要。

我抽取了一个中等水平的班级48名学生进行了书面问卷，要求在5分钟之内完成。调查情况统计如下：

调查一：关于认知能力

问题：①0.3是什么数？怎么读这个数？0.58怎么读？②请写出0.3的各部分名称。

                           表1

题目	0.3		0.58的读法	0.3的各部分名称
	称谓	读法		整数部分	小数点	小数部分
正确数/人	48	46	28	5	18	5
正确率	100%	95.8%	58.3%	10.4%	37.5%	10.4%

统计与分析：结果如表1所示，发现学生对小数的认知处于两种截然不同的水平。从生活经验的角度分析，他们都认识小数且都能读出一位小数；但在学习经验方面，能正确读出两位小数的学生只有一半左右，而知道小数中各部分名称的比例更低。

调查二：关于理解能力

问题：①2.5元表示什么意思？②填空：一角=（   ）元或（   ）元

表2

题目	2.5元的意思	1角=（  ）元或（   ）元
		0.1元	元
正确数/人	46	40	5
正确率	95.8%	83.3%	10.4%

统计与分析：结果如表2所示，绝大部分学生能借助生活经验知道2.5元就是2元5元，1角能用0.1元来表示；但从学习经验上分析，只有10.4%的学生知道1角可以用  元来表示，反映出从分数的角度来理解小数对学生而言存在着一定的思维障碍。

    结合调查和结果分析：进一步明确借助日常生活中的人民币初步认识小数，二是借助不同的材料多元表征理解小数的意义，借助计数器、数数的手段唤醒学生对整数“满十进一”计数规则的经验，沟通整数和小数之间的联系。

【教学设计】

教学目标：

1.使学生结合具体情境初步理解一位小数的含义，能正确读、写小数部分是一位的小数，了解小数各部分的名称。

2.使学生在动手操作、观察类比的过程中认识小数，学会有条理地表达自己的思考过程，发展归纳、概括和初步的推理能力。

3.使学生在参与数学活动的过程中体会小数与生活的密切联系，体验学习的乐趣，培养对数学的亲切感。

教学重点：理解一位小数的意义。

教学难点：理解一位小数与整数之间的十进关系。

教学过程：

一、情境“抽红包”，初步认读“小数”

1.红包激趣

出示：拼手气，拆红包。（红包数：8.80、65.65、0.01、0.10）

要求一生上台开红包，其余学生一起试读。

提问：同学们，观察这些数，它们有什么特别的地方？（都有小数点）

揭题：是的，同学们，像这样的数我们把它叫做小数。今天这节课我们一起来认识小数。（板书）

【设计意图】创设与学生生活和学习内容相适应的情境，引领学生轻松走进生活，走近小数，初步感受小数在现实生活中的应用，唤醒学生经验。

2. 小数的历史

过渡：关于小数，你们想要了解它的哪些知识？（学生任意说）

（播放自制小数史的视频，学生观看完视频后分享了解到的小数的知识）适时板书：整数部分  小数部分  小数点

【设计意图】从数学史的角度，引导学生发现古人如何表示小数，利用形象生动的图形和符号表示小数的由来，这样让学生更容易接受，并且能够激发学生的求知欲和好奇心，促使学生更加深入地学习小数，丰富学生的数学文化素养。

3. 读写“小数”

提问：你会写这些小数吗？

操作：老师黑板举例写第一个，先写8，再写小数点，小数点要写得靠下小一点，再写8，再写0。学生一起跟着老师书空写。

要求：学生尝试在练习纸上写第二个。

提问：你会读吗？（要求学生试读写出的小数，出现不同读法）

设疑：都是6  5  6   5 怎么读的还不一样？

师指出：小数点左边的数像以前整数一样读，后面的就像电话号码一样依次读出。

要求：一起把剩下的两个读一读。

提问：会读了，那你知道这些小数应该付多少吗？

师设疑：这两个小数都是两个0和一个1，为什么一个付1分，一个付1角？

（生随意说：1的位置不一样.....)

师释疑：同学们，像这样以元做单位的小数，我们刚才都是怎样付钱的呢？几元在哪里？（小数点的左边）。小数点的右边第一位付的是（角），小数点的第二位付的是（分）。原来它是跟位置有关系的。

二、探究“新数”，迁移“计数经验”

师过渡：了解了这么多小数的知识，同学们你们知道吗？最后一个红包是1角。超市里一般标价0.1元。这里的1角，0.10元也就是0.1元。

1. 自主表征0.1元（操作活动）

要求：（出示四种学习材料）请同学们任选一种或几种材料，表示出“0.1”元。

 

 

 

 

 

 

（实物图，线段图，长条图，计数器）

（学生自主表征，教师巡视收集典型素材）

2. 交流反馈

材料1反馈：基于“1角=0.1元”的经验，借助硬币表征“0.1”

材料2反馈：基于“1角=元”的经验，借助线段表征“0.1”

师提问：为什么这一段表示0.1元？

明确：1元里面有10个1角，把1元平均分成10份，取其中的1份正好是1角，也就是0.1元）

师追问1：除了这一段表示0.1，还有没有0.1了？（每一份都是0.1）

师追问2:看到这个图，你还想到了什么？（分数  元）

材料3反馈：借助直条图表征“0.1”，关注错例强化“十分”

（寻找学生的错误图进行辨析：一种没有平均分的；一种平均分，但不是10份的；一种是正确的。（出示过程：先正确后错误）

提问：（把图集合在一起看）你们的意思是要想正确的表示出0.1元，要怎么做？明确：应该把长方形平均分成10份，取其中的1份，就是0.1元）

师指出：这里0.1元也能用分数  元表示。

材料4反馈：借助计数器表征“0.1”，打通整数和小数的“十进”关系

（学生会出现不同表达，选择有代表性的：一种会是元角分的；一种标个十百，在个位上标一颗珠子的；一种就是在后面添加的）

提问：看了同学们的作品，你们有什么想问的？

过渡：是呀，同学们我们在一开始学习整数的时候就是用计数器来数数的。

老师操作：个位上拨珠1.2.3.....10。学生附和：满十进一，十位拨一。

          十位上拨珠10.20.30.40.。。。100。学生附和：又满十进一，在百位上拨1.

提问1：如果我想把这1个百还回去，怎么拨？（百位拨回去，十位拨10颗珠）

指出：也就是退一作十！

追问1：如果要把这1个十还回去，怎么拨？（十位拨回去，个位拨10颗珠）

追问2：现在剩下这一个1，我还想还回去，有办法吗？(学生说，操作）

追问3：这里的1表示什么意思？再右边的一个位置拨1呢？还能在往右退一作十吗？

对比提问：回顾刚才计数器上数小数和数整数的过程，你有什么发现？

师小结：是的，数小数和数整数的方法是一样的，每满10就要向前一位进一，反过来，退下来的1又可以换成10。

【设计意图】理解不是单方面的成就，而是多方面的，是可以通过不同类型的证据表现出来的。因此在本环节中我设计操作活动，让学生对概念的理解可视化、可表达化。借助4种不同的材料让学生对于小数进行多元化表征，无论正确与否，都是学生内心对小数最真实的理解，让学生内隐的思维变得可视化，有助于教师及时发现问题，提高课堂教学质量。最后一种是借助计数器来表征，“数源于数”是学生认识整数时的已有的活动经验，在小数中同样适用。小数的出现是基于十进制表示数量的需要，是十进位制记数向相反方向延伸的结果。通过在计数器上拨出个、十、百这样不断累加的过程唤醒学生对整数“满十进一”计数规则的经验，那倒过来，退一作十，为学生构建一位小数计数规则做了很好的伏笔。学生已有经验与新知识进行合理、有效的衔接，符合学生的知识水平、认知规律和心理特征。

3. 抽象释疑

提问：（回到四种材料）无论是哪种材料，大家都找到了0.1元。现在你知道小数0.1是怎么来的吗？它和1又有什么关系呢？（小组讨论交流）

小结：0.1是把1平均分成10份，每份是  ，也就是0.1。反过来，10个0.1就能合成一个1。原来，0.1和1就是这样一种“分与合”的关系呀！（板书关系图）

【设计意图】这个环节是让学生用四种材料尝试表征0.1的含义后，组织学生交流“无论在哪种材料里，大家都找到了0.1.那么你知道0.1是怎么来的吗？它和1有什么关系？由此，学生跳出了“四种材料”的形式支撑，去聚焦蕴含其中的“十进关系”，达成了“0.1和1之间这样一种分与合的关系”的共识。

4.操作辨析：

 

 

【设计意图】理解了小数的含义后，进行0.3的辨析，学生要针对每一个图说出合理的解释，尤其是最后一个既要能判断，还为下面一个环节做铺垫。这一环节中精妙的评价活动不仅能让学生对知识的理解更加深刻，还能让学生的思维能力进一步得到提高。

三、借助数轴，拓展“小数范围”

1.找0.3、0.9米

辨析：是0.3米吗？(思考变一变：怎样分才能用0.3米表示？）

拓展：看图说小数，指其中的一段？（0.6米）这一段呢？（0.9米）

2.找1.3米、2.7米、3.5米

设疑：1.3米还能在这条线段上找到吗？

（不能，这里只有1米，不够了。根据学生回答，课件操作）

提问：怎样可以准确地找到1.3米的位置？（学生说）

指出：你们的意思就是把增加的1米也要平均分成10份，一份就是0.1米，（在1米后面增加3个0.1米）

提问：1.8米怎么找？（学生快速说）同样的方法找2.7米？3.5米？

3.同桌互相说找任意一位小数

思考：想象一下，一把把米尺接上去，还能表示出哪些数呢？（学生任意说）你说的完吗？

操作：（隐去单位，加上箭头）同学们，每一个点都能用一个数来表示，把他们集合在一起，就成了一条数轴。

4.观察数轴，寻找发现

小结：（手势指着数轴）我们可以发现：数轴可以无限延伸，越往右，数轴上的点表示的数就越大，可以表示出无限个数。

5.拓展延伸：尝试找小数1.35？（学生说找的方法，设置悬念，为后续铺垫）

【设计意图】从米尺上先找纯小数，再找带小数，丰富的小数的完整认知。最后把米尺去除单位动态生成数轴，在数轴中继续寻找小数。在这里，学生达到了几层认知：(1)超过1的小数，不能用1个单位表示；(2)掌握小数的组成，即小数有整数部分和小数部分；(3)理解小数与整数之间的密切联系，即10个0.1是1。在此过程中，还帮助学生感受到相邻的两个整数中间有小数，在动态的数轴上感受到小数有无数个，小数不小。

四、回顾总结，感悟“计数活动”

总结：同学们，刚才我们把这么多的“小数”数出来了，数着数着就数明白了，我们发现小数跟之前学过的整数有联系，除了整数，猜猜看，你觉得小数还跟什么数会有联系呢？等我们以后五年级学习的时候再来研究。