专题复习课《二次函数中的最值问题》教学设计、实施与思考

江阴市第一初级中学   钟珍玖

摘  要：初三数学二轮专题复习，根据课程标准和地区考试说明要求，根据考试的热点问题选择微专题进行教学，实现知识技能的回顾到到活动经验积累，从数学思想理解到数学素养的形成，全面提高学生思维能力和思维品质。

关键词：专题复习课；二次函数；最值问题

     二轮复习是提高学生解题能力和思维能力的最为重要的阶段，依据课程标准的要求和地区考试热点问题，选择有典型意义和价值的问题，以微专题为主要教学组织方式，以深化学生对数学思想方法的理解与应用为导向，提高学生学科能力和素养。近期笔者参加了盐城市经济技术开发区教师发展中心组织的“聚焦核心素养导向下课堂范式——‘六市十校’课堂教学改革研讨活动”，有幸执教了《二次函数中的最值问题》一课，以下是教学设计、实施与思考。

1 学情分析

    学生经过一轮复习对二次函数的表达式、图像与性质有了更加深入的了解，具备了解决复杂问题的知识基础和基本能力，但是对于限定自变量取值范围和求含参数的二次函数的最值问题缺乏深刻认识，函数思想还没有扎根在学生的认知结构中，构造二次函数模型解决最值问题运用不够熟练，没有达到自动化的程度。

2 教学内容分析

    二次函数的最值问题是中考中的重点内容，通常有以下几种类型：带参数的二次函数求最值，实际问题中求二次函数的最值，几何问题动态问题和二次函数综合求最值。在初中阶段所学的三大函数（一次函数、反比例函数、二次函数）中，一次函数的图像是一条直线，求函数的最值必须规定自变量的取值范围，而函数的单调性也比较容易掌握，利用函数的性质求最值比较简单。二次函数在对称轴两侧的单调性不同，受到一次函数单调性负迁移的影响，大多数学生对于在二次函数顶点处求函数的最值比较熟悉，对于其它情形求函数的最值因缺少数形结合的意识和函数思想， 需要提高运用所学知识解决问题的能力。      

3 教学目标确定

    根据学情和教学内容分析，这节课的教学目标确定如下：1.熟练运用二次函数的性质解决有关的最值问题；2.会构造二次函数模型解决有关最值问题；3.在解决问题过程中深刻体会数形结合思想和模型思想。

4 教学设计与实施

    知识回顾：1.二次函数y＝—(x—2)²＋6，当x=     ，函数有最大值     ；当x       时，y随x的增大而减小；当x       时，y随x的增大而增大。

2. 二次函数y＝－x²＋4x＋2，当x=     ，函数有最大值     ；当x       时，y随x的增大而减小；当x       时，y随x的增大而增大。

    设计意图与教学实施：顶点式和一般式是二次函数常见的两种表达形式，设计两个问题帮助学生回顾求二次函数的最值问题所需要的知识基础。从课堂教学过程来看，函数的单调性和顶点的坐标公式学生掌握得比较牢固，对于基础比较薄弱的同学，起到再次复习和唤醒记忆的作用。

    经验积累：3.函数y＝－x²＋4x＋2在－2≤x≤1上的最大值为        ，最小值为        。

变式1：函数y＝－x²＋4x＋2在3≤x≤4上的最大值为       ，最小值为        。

变式2：你能尝试提出一个类似的问题吗？

    4.当－2≤x≤1时，二次函数y=－（x－m）²+m²+1有最大值4，则实数m的值为（    ）

    A.      B. 或   C. 2或       D.   2或或

    设计意图与教学实施：问题3和两个变式题在限定了自变量的取值范围的情形下求二次函数的最值，分三种类型设计问题，自变量的取值都在对称轴左侧，自变量的取值在对称轴的右侧，自变量的取值在对称轴的两侧。变式2设置成开放的问题，目的是培养学生提出问题的意识和深化对二次函数中求最值方法的理解。通过3个小问题的解决积累解决二次函数中限定自变量取值范围时求最值得解题经验，提高数形结合方法运用的自觉性和灵活性。问题2从特殊情形到一般情形，从静态问题到动态问题，自变量的范围是常量，二次函数的对称轴是移动的直线，问题的解决要转化为问题3的三种情形进行分类讨论，有了问题3的活动经验，学生有思考方向，不少学生能够解决问题4，充分说明这种递进式的教学设计有利于学生在类比中形成解题策略，积累思维的经验。

    凸显思想： 5.已知实数x、y满足x²+3x+y－3=0，则x+y的最大值为        。   

    变式训练：如图1，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－y）的最大值是       。

图1

图2

    设计意图与教学实施：问题5求 x+y的最大值，看起来似乎与二次函数的最值没有关系，实际上，如果把x+y作为整体，看成一个变量，就是关于x的二次函数，利用二次函数的性质就可以求解，问题解决的关键就在于要有函数的思想，把问题转化为求二次函数的最大值。变式训练则更近一步，在几何背景下，求两条线段差的最大值，设计的意图是几何问题用代数手段来解决，通过连接AO并延长与⊙O相交于点C，连接PC（如图2），可得△PAB∽△CAB，由相似三角形性质可得y=eq \s\do2(\f(1,8))x²，则x－y=x－eq \s\do2(\f(1,8))x²，求出最值即可。设计两个类似的问题，帮助学生强化函数的思想，用函数来刻画几何中的动态问题，特别是变式训练有一定的难度，能够深化学生对数学知识和方法的理解，提高解决问题的能力。

    聚焦素养：6.如图3，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为AB上一点，以DE为边作正方形DEFG（FG在DE右上方）。

问题：连接CF，则CF的最小值为__________。

变式：在问题条件不变的情况下，你还能提出什么问题？

图3

    设计意图与教学实施：几何中的动态问题是中考的必考内容，学生解答也有困难，所以在二轮复习中应重点予以关注。对于动态问题的刻画不外乎有两种方法：几何方法和代数手段，本题可以寻找点F的运动路径，运用“垂线段最短”来求线段的最值，但是寻找点F的运动路径要求较高，在初中阶段不宜深究，其原因为：一是求点的运动路径有超出课程标准要求的嫌疑，二是刻画运动路径到高中阶段都用解析几何的手段来解决的。设计这个问题的目的还是要进一步强化函数的思想，和问题5的变式训练的不同之处在于问题中并没有给出自变量，函数隐藏在问题中，可设BE=x，过点F作FH⊥AB，交BA的延长线于点H，可证△EFH≌△DEA，把线段FH、EH用含x的代数式表示，再由勾股定理构造二次函数，问题的解决需要学生有较高的数学素养，会抽象、会推理、会建模。

5 教后思考

    5.1 教学设计的高观点与教学实施的低起点

    二轮复习是提高学生多种思维能力和思维品质的重要阶段，教学设计也应该以素养立意，让学生积累解决综合性问题的活动经验，优化学生的思维方式。但是教学起点不宜过高，教学内容的呈现也应该有梯度，让不同层次的学生都学有所获。二轮复习中设置开放性问题是教学设计的重要策略，因为开放性问题不同层次的学生都“有话可说”“有事可做”，但是水平不同层次的学生提出问题的思维水平和层次有所不同，让学生在思维碰撞中获得思维的发展，优化思考问题的方式。

    5.2 教学设计应体现关联性和生成性

    二轮复习不同于一轮复习进行知识的唤醒和回顾，从而形成知识系统，二轮复习则是把所学知识进行横向的联系，把所学的知识进行综合和关联，所以说体现关联性是二轮复习教学设计最为重要的特征。而数学知识之间的联系广泛，选择合适的问题和专题就非常重要，笔者认为二轮复习选择专题的原则就是体现思想性、热点性、适恰性，也就是所教学设计的问题要体现数学思想和数学本质，加强学生对数学学科特点的认识，同时要选择地区考试的热点问题进行专题复习，加强复习的针对性。另外，二轮复习的教学设计还要兼顾学生的学情，不应追求题目的难度和大题量的训练，选择学生能够掌握和内化的问题，以问题串的方式呈现展开教学。二轮复习的教学设计应适当留白，让学生在开放性问题和多样性的解答中增强思维的灵活性，设计有利于生成的课堂教学样态。

    5.3 基于问题串进行递进式教学设计

    二轮教学以问题为导向，采用逐步递进的问题串进行教学设计，符合学生的认知特点，消除学生解决综合性问题的恐惧心理，能够正确把握考试的方向和动态。对于问题串的设计应体现层次性、开放性、综合性、创新性、生成性，能够提高学生高级思维能力，基于问题串的二轮复习教学设计，能够使课堂教学高效，有数学的味道。