表面涂色的正方体（探索规律）
江阴市实验小学 张斌
教学内容：苏教版六年级上册教材第26—27页探索规律“表面涂色的正方体”。
学情分析：本内容是学生学完长、正方体后结合正方体特征来展开的数学实践活动课，是正方体表面积的变化的拓展问题。重点是发展和培养学生空间想象能力以及推理计算能力。让学生学会利用已有经验，从易到难，由简单到特殊，由表及里的逐步研究问题。
教学目标：
1. 发展学生的空间想象能力，能够通过实际操作、操作一半想一半以及“画脑图“等形式，得出结论。
2. 使学生在探索规律的过程中，经历观察、比较、推理、归纳、反思等过程，培养学生空间观念和推理想象能力。
3. 培养学生小组合作的意识和小组合作的能力，提高小组合作的水平。
教学重点：
1. 发展学生的空间想象能力，能够通过实际操作、操作一半想一半以及“画脑图“等形式，得出结论。
2. 培养学生小组合作的意识和小组合作的能力，提高小组合作的水平。
教学难点：发展学生的空间想象能力。
教学资源：自制课件，3、4、5阶魔方，研究几录单。
教学过程：
课前谈话：
一、回顾旧知，激趣导入：
1、回顾旧知
师：来，看屏幕。（课件出现一个正方体）
师：这是一个……？
生：正方体
师：你对正方体有了哪些认识？
生：有6个面，都是完全相同的正方形
有12条棱，长度都相等
有8个顶点
（结合学生回答板书：6个面，12条棱，8个顶点）
师结：要将正方体研究透，就要围绕面、棱、顶点展开研究。
2、激趣导入
师：继续看屏幕。（媒体演示小正方体表面涂上红色）
师：看到了吧！正方体表面都涂上了红色。看又有怎样变化？（媒体演示棱长平均分成8份）
师边动画边说：将涂色正方体棱长平均分成8份，全都切开，再展开。你有什么感觉？
生：切开后小正方体好多啊！
师：是啊！眼睛都看花了。来，合起来吧！（动画合成大正方体）
师：我们切出其中一小部分来看。（动画一个顶点处取出8个小正方体）
师：你有什么发现？
生：小正方体有的3面涂色，有的2面涂色，有的1面涂色，还有没涂色的。
师：嗯！观察真仔细！想想切出的小正方体最多几面涂色？
生：最多3面涂色。
师：是的，刚才我们把正方体棱长等分切开得到的小正方体，有些是…? 有些是…? 有些是…?还有些是…?
生：3面涂色，2面涂色，1面涂色，没涂色的。
师揭示课题：今天我们把没涂色的放一放，先一起来研究表面涂色的正方体。（板书课题）
二、提出问题，明确方向
1、提出问题
师：想想切开的小正方体3面涂色有（ ）个？2面涂色有（ ）个？1面涂色又有（ ）个？
师：你能一下子填出来吗？感觉复杂吧？
师：在数学学习过程中，我们遇到复杂的问题一般都是怎么做的？
生：从简单的开始考虑
师：是的，从一些简单的问题开始研究，看看能否从中找到……?(规律)然后利用规律解决复杂问题。（板书：简单—找规律—复杂）
2、明确方向
师：你觉得从简单的开始研究，从棱长平均分成几份开始研究呢？（板书：棱平均分的份数）
生1:棱平均分成2份，最简单。
师：嗯！有不同想法吗？
生2：从棱长平均分成3份开始研究，因为棱长平均分成2份得到的小正方体都是3面涂色的，没有2面涂色，也没有1面涂色。很特殊。
师：有和他一样想的吗？让我们一起来看看是不是这样。（媒体展示棱平均分成2份展开的小正方体）
师：棱平均分成2份，切开一共有几个小正方体？
生：2×2×2=8（个）
师：能一眼看出这8个小正方体其实都是……?
生：3面涂色
师：是的，这里8块全是3面涂色，没有2面涂色和1面涂色的。和刚才同学说的一样，比较特殊。
师：其实我们从简单的开始研究也是有所选择的，通常是从一般的情况开始研究。板书：一般
师：现在我们就从棱长平均分成……?(3份)开始研究。
三、自主探索，发现规律
1.探究切成3×3×3个小正方体的涂色情况。
（1）每条棱平均分成3份再切开。（课件演示）
师：棱平均分成3份，切出小正方总个数是多少？（板书：小正方体的总个数）
生：3×3×3=27（个） 板书
（2）整体感知涂色情况
师：这27个小正方体，还像刚才那样都是3个面涂色的吗？(动画移出3面涂色的小正方体)
还有……?(2面涂色)在哪儿？用手指一下。（动画移出2面涂色小正方体）
还有……?(1面涂色）请学生指下在哪？（动画移出1面涂色小正方体）
还有……?(没涂色的)在哪儿？生指在中间
（3）自主寻找
师：接下来请你借助于3阶魔方，独立思考，独立找找3面涂色的小正方体有多少个？2面涂色的小正方体有多少个？1面涂色的小正方体有多少个？把你找的结果填在研究单上，待伙儿再交流你是怎样找的。（媒体出示要求）
（4）反馈交流：3面涂色、2面涂色、1面涂色的小正方体各有多少个？
师： 3面涂色的个数都找到了吗？来说说看，你是怎么找到的？
生：3面涂色的在原正方体的顶点位置所以有8个（媒体展示，师板书）
师：3面涂色知道在哪儿了吧。
师：再来交流2面涂色的个数？你是怎么找到的？
生：2面涂色的在原正方体棱的中间，每条棱上找到1个，有12条棱共有12个（动画展示，师板书）
师追问：2面涂色是在哪儿找的？（棱上找的）这一条棱上有3个为什么？只算了中间1个？
生：因为两端的已经是3面涂色了。（媒体展示棱的中间）
师：还有1面涂色的个数呢？你是怎么找到的？
生：1面涂色的在原正方形面的中间，每个面上找到1个，有6个面共有6个。（媒体展示，师板书）
师追问：1面涂色的到哪里找的？（面上）面上有这么多个为什么只找中间这1个？
生：其余的都是3面或2面涂色的，只有中间这个是1面涂色。（媒体展示面的中间）
师：谁在来看着图完整的来说说我们的研究结果，是怎么找到的。
生：正方体棱平均分成3份，一共有3×3×3=27（个）小正方体。3面涂色的在原正方体的顶点位置所以有8个。2面涂色的在原正方体棱的中间，每条棱上找到1个，有12条棱共有12个。1面涂色的在原正方形面的中间，每个面上找到1个，有6个面共有6个。
（5）小结
师:真好，刚才我们将正方体棱平均分成3份，切开大家不仅找到了3面涂色、2面涂色、1面涂色小正方体的个数。而且还发现了它们的位置特点。（板书位置）
师：有找的经验了吗？
生：有。
师：接下来带着我们宝贵的研究经验继续来研究，棱长平均分成4份、5份，其中3面2面1面涂色各有多少个？
2. 研究4×4×4、5×5×5正方体的涂色情况
（1）小组探究
师：如果你已经有了感觉，空间想象可以，能直接想象着推算出结果，那你就直接填。你也可以看着平面图来想，还可以借助4阶5阶魔方来验证自己的想法。实物在组长那里。最后在小组里交流自己的想法。
学生开始探究活动，师深入小组了解情况，给予必要点拨。
（2）交流4×4×4正方体涂色情况
师：谁来交流下，将棱长平均分成4份，正方体的涂色情况？
生：正方体棱平均分成4份，一共有4×4×4=64（个）小正方体。3面涂色的在原正方体的顶点位置所以有8个。2面涂色的在原正方体棱的中间，每条棱上找到2个，有12条棱共有24个。1面涂色的在原正方形面的中间，每个面上找到4个，有6个面共有24个。
（根据学生回答板书）
再请一位同学看着图指着说说，各种涂色情况。
（3）交流5×5×5正方体涂色情况
师：谁再来交流下，将棱长平均分成5份，正方体的涂色情况？
生：正方体棱平均分成5份，一共有5×5×5=125（个）小正方体。3面涂色的在原正方体的顶点位置所以有8个。2面涂色的在原正方体棱的中间，每条棱上找到3个，有12条棱共有36个。1面涂色的在原正方形面的中间，每个面上找到9个，有6个面共有54个。
（根据学生回答板书）
再请一位同学看着图指着说说，各种涂色情况。
（4）找规律
师：刚才我们研究了3×3×3、4×4×4、5×5×5小正方体涂色情况。现在可以根据发现的结果来……?
生：找规律。
师：仔细观察表格中的数据，你发现又怎样的规律？把你的发现在小组里交流。
小组讨论后集体汇报，学生的发现可能有：
A、3面涂色的小正方体都在大正方体的顶点的位置，都是8个；
B、2面涂色的小正方体的个数都在每条棱的中间，1面涂色的小正方体都在每个面中间的部分；
C、2面涂色的小正方体的个数都是12的倍数，1面涂色的小正方体的个数都是6的倍数。
D、2面涂色的个数，只要把棱长平均分的份数减2，再乘以12。
师：屏幕上看图验证，份数减2其实是计算一条棱上2面涂色个数。
E、1面涂色的个数，只要把棱长平均分的份数减2，差的平方再乘以6。
师：屏幕上看图验证，份数减2，差的平方其实就是计算中间那个一面涂色的正方形中小正方形个数。
3、运用规律，解决问题
师：大家发现了这样的规律，能解决课前的那个问题了吗？
生：独立解决棱平均分成8份，3面2面1面涂色情况。
集体交流：
正方体棱平均分成8份，一共有8×8×8=512（个）小正方体。3面涂色的在原正方体的顶点位置所以有8个。2面涂色的在原正方体棱的中间，有（8-2）×12=72个。1面涂色的在原正方形面的中间，有（8-2）2 ×6=216个。
师及时追问：8-2，是这里一条棱上的个数吗？（媒体显示）
（8-2）2 是这里一个面上的个数吗？（媒体显示）
师：看，找到规律解决问题就简单多了。如果这里将棱平均分成10份、100、1000……你还会计算每种涂色情况吗？
生：会！
师：那要是棱长平均分成n 份呢？请大家独立填出各种涂色个数。
交流板书:
正方体棱平均分成n份，一共有n3（个）小正方体。3面涂色的有8个。2面涂色(n-2) ×12个。1面涂色的有(n-2)2 ×6个。
师：我们把研究的规律用含有字母的式子表达出来就可以这样。
师：还记得刚才那个特殊情况吗？棱长平均分成2份，我们来看各种涂色情况是否也符合这样的规律。
师生齐验证板书。
师：在这里棱长平均分成2份虽然特殊，但也符合我们发现的规律。
四、总结拓展
1、总结
师：通过今天的数学探究活动你有什么收获？可以说说知识上的收获，也可以说说学习方法、学习思想上的收获。
生：从简单开始研究——然后找到规律——最后再来解决复杂的问题
师：这也是解决较复杂数学问题的一般方法。
师追问：各种涂色情况有怎样的规律？
师：把表面涂色的正方体的每条棱平均分成若干份，切成完全相同的小正方体，3面涂色、2面涂色、1面涂色小正方体个数，与大正方体的面、棱、顶点的位置息息相关，要把找、数、算等方法结合起来，并根据图形的特征进行思考。
师：还有什么问题要问的吗？
生：没有涂色的小正方体有着怎样的规律呢？
2.知识延伸
师：你打算怎么研究？
生：可以把总个数减去3面、2面、1面涂色个数剩下的就是没涂色的小正体个数。
师：嗯，没涂色的在原正方体的……?
生：里面。
师：所以比较难观察。（动画出示3阶4阶5阶正方体）
我们先想想它的位置，生逐个先想，再动画切开验证。（动画展示内部不涂色部分）
研究发现：不涂色的个数，是棱长平均分的个数减去2,差的立方。
用字母表示成：（n-2）3
五、全课总结
通过今天的学习，你有哪些收获？