为什么不可以这样求平均速度？

江阴市立新中心小学  包玲玲

“求平均数”是苏教版教材四年级上册第四单元“统计表和条形统计图”中的内容。它常用于表示一组数据的总体水平，在日常生活中应用广泛。教材在实际情境的引导下，提炼了求平均数的两种方法：移多补少或者先求和再平均分，更好地帮助学生体会平均数的学习价值。

课后的练习也是围绕生活需要设计，学生通过操作、观察、分析、比较和交流等一系列的活动，能有效地参与到解决问题的过程，并在过程中加深理解，掌握方法，积累经验，提高能力，增强数据分析观念。学生学习这部分内容时，兴趣高涨，知识的理解和消化也是比较到位的，但是在做到这样一道生活实际问题的时候，学生中却出现了不同的观点。

【问题凝视】

张浩同学端午节跟着父母去登高，上山每分钟行40米，原路返回时，每分钟行60米，张浩同学往返的平均速度是每分钟行多少米？

学生作业反馈：

①全班45人，有近30人答案是：将这两个速度相加，然后再除以2，即：（40+60）÷2=100÷2=50（米/分）

②有8位学生空着没有完成；

③有5位学生用了假设法（假设的路程长不同，但是方法一致），如：假设上山、下山的路程都是240米，那么上山时间是240÷40=6（分），下山时间是240÷60=4（分），那么总路程÷总时间=平均速度，即240×2÷（4+6）=48（米/分）。

虽然只有5位学生用了假设的方法来计算，但我们知道方法①是错误的，而方法③却是正确的，没有完成的学生经过询问，有个别孩子确实不会，但有个别孩子对这个问题存在疑问，觉得缺少条件，方法偏向于。看似简单的问题，为何错误率这么高？为什么不可以用方法①这样来求平均速度呢？

【成因透视】

    先来了解一些有关平均速度的知识。

有关平均速度是在学习“平均数”这一单元中接触到的，那什么是“平均速度”呢？百度百科告诉我们，平均速度是描述运动物体整体运动快慢程度的物理量,它与物体的位移相联系，做变速运动的物体其位移与时间的比值不是恒定不变的，这时我们可以用一个速度粗略地描述物体在这段时间内的运动的快慢情况，这个速度就叫做平均速度。平均速度的大小等于总位移除以总时间,平均速度的方向与位移方向相同。

多数学生为何会出现以上方法①的错误解答呢？

一、概念理解浅层次，思维禁锢不深入。

学生对平均速度的理解，还是处于浅层次，以为把速度平均分就是平均速度，故多数学生出现把两次速度相加除以2的求法。学生思维的低阶化，禁锢了思考的空间，概念浅表化的理解，导致对问题的推进不深入。

二、题目条件不充分，方法切换不灵活。

解答此题前，学生已经会用两种不同的方法求平均数，方法一：移多补少，把多的补给少的，使其一样多；方法二：先求和再平均分。在计算平均速度时，相应时间内行驶的总路程÷行驶的时间=平均速度。但题目中没有告知路程和时间，造成部分孩子不知道如何来解决这道题的原因，对于四年级的学生来说，假设方法用的还不够多，操作还不够熟练，学生并不会对方法进行筛选，所以能用假设法解答的孩子都是属于班级学习思维处于上游的个别孩子。学生对解决问题的方法还是处于就题论题的程度，方法之间不会灵活切换阻碍学生思维的发散。

三、模型建构不充分，思维体系碎片化。

本题为何有80%的学生解错，究其本质是孩子没有建构起数学学习的思维模型。没有数学学习思维模型的孩子做题时，他的思维体系是碎片化的，他们更多关注的是题目中的数据，习惯在数据间添加运算符号的方式进行简单的数据处理。他们不会对题目进行解读、理解与转化，更加不会分析题目所要表述思维原型点是什么，以致不会在新旧知识体系中进行灵活切换，找到解题方法。

【出路审视】

为什么不可以将速度求和再除以2计算平均速度呢？从以下几个方面来阐述。

一、辨析概念，让教学深度发生。

不仅是教师还是学生，学习前对概念必须充分了解并理解。这里要对平均速度和速度的平均值两个方面的内容进行充分了解。

平均速度，指的是总路程和总时间之间的比值。速度的平均值，指的是速度和与次数之间的比值。两个不同的概念，需要教者、学者深度理解。

比如总路程为120米，在前十秒速度为5m/s，在10-20s速度为3m/s,在20-25s内速度为4m/s。那么平均速度=120/25=4.8m/s；速度的平均值=（5+3+4）/3=4m/s。平均速度是有物理意义的，就是一段时间内的运动快慢，速度的平均值一般没有什么物理意义，平均速度一般不等于速度的平均值，必须用总位移除以总时间来算。

理解了两者之间的不同，才能使教学真正深入理解，知识直达人心。

二、优选方法，让思维迸发火花。

求平均数的两种方法：移多补少和先求和平均分，两种方法没有好坏之分。为了更加直观形象地教学，选择合适的方法是尤为重要的，数形结合在这个时候就凸显出强大的优势。用直观的图形解释抽象的概念，是认识和理解抽象概念的有效手段。在遇到有关平均数的问题时，可以将数转化为形，在对比与联系中，真正地感受理解平均数。

方法③中用到的假设法，通过图形的演绎，移多补少的方法淋漓尽致地把平均数的概念解释到位。

假设上山的路程是240米，这里上山和下山的路程都是相同的，上山的速度是40米/分，上山时间：240÷40=6（分钟），也就是上山用6个40米才能到达山顶；再来看下山的，路程还是240米，但速度是每分钟60米，下山时间：240÷60=4（分钟），在下山的过程中，就有4个60米，根据此，画出图1。

要求出往返的速度，就该是6个40米与4个60米之间的平均值，用移多补少的方法来解决，是把4个60米多的部分补给6个米少的部分，使其一样多。方法：可以将多的部分先全部拿来，再均衡地分在10份里面。画出图2。

从图上可以看出，为什么不可以用速度之和除以2？就是因为这里40和60的个数并不相同，不可以先将两个速度相加再除以2。

三、建构模型，让理解更加深入。

本题虽然是在统计与概率单元中出现的题目，但涉及到的是行程问题相关问题，可以把重点放在“速度×时间=路程”这样思维模型框架中进行假设。在这个模型框架中可以清楚地看出，整个题目只交代了往返的速度，其他两个必要条件都没有介绍，这样的表述，使题目更加简洁，同时加大了孩子对题目的理解难度。如果学生能脱离题目表达的外衣，找出题目的原型，利用原型已经建立好的思维框架去理解，找出解题突破点，从而得到答案，那么数学理解就到达了“青草更深处”。

【片段重构】

出示例题：张浩同学端午节跟着父母去登高，上山每分钟行40米，原路返回时，每分钟行60米，张浩同学往返的平均速度是每分钟行多少米？

学生读题后师问：什么是往返的平均速度？

学生：速度的平均数

师问：是这样吗？平均速度和速度的平均数一样吗？

   学生难理解。

   师介绍：我们来看一个视频介绍，看后，你再来说说想法。

   视频：总路程为120米，在前十秒速度为5m/s，在10-20s速度为3m/s,在20-25s内速度为4m/s。那么平均速度=120/25=4.8m/s；速度的平均值=（5+3+4）/3=4m/s。（相关例子对比说明，理解概念）

   师追问：现在你们理解什么是往返的平均速度了吗？（生理解的基础上阐述）

  师问：那么这道题应该如何解答呢？题目只告诉我们速度，还缺少什么？

  生答：缺少路程和时间，

师问：哦，这还是个行程问题。行程问题基本的数量关系是什么？

生答：速度×时间=路程

追问：没有告诉我们，你打算怎么操作?

生答：假设路程是120米，当然也可以假设其他数据。

表扬：你真厉害，假设法是解决问题的有效方法之一。

追问：接下来怎么操作？

生答：那么上山时间就是6小时，下山时间就是4小时。

介绍：看得清楚些，我们可以画线段图来表示。出示图3。这样，题目就变成往返总路程480米，总时间10分钟，那么速度就是48米/分

表扬：感谢你的介绍。

追问：为什么不能用两次速度相加除以2呢？谁能来解释一下。

生答：自由说。

介绍：接下来我们用一组图形的变化来说明一下这个问题。（视频介绍原因）

师问：同学们都理解了吗？以后碰到这样的问题，我们应该怎么思考？

随后，出示类似的题目，学生练习，巩固方法。

  这样一个让学生错误率超半的题目，看似简单实则复杂。数学课堂是思考的课堂，授之以鱼不如授之以渔。学习的关键在于思考和理解，只有在充分理解的状态下，才能解决问题的本质，从而提高学习正确率，形成能力，培养高阶思维。

参考文献：

[1] 贲友林名师工作室.学生视野中的小学数学问题研究1[M].南京.江苏凤凰教育出版社，2020.12

[2] 张奠宙等.小学数学教材中的大道理：核心概念的理解与呈现[M].上海.上海教育出版社，2018.3

[3] 南京东方数学教育科学研究所。教师教学用书（数学四年级上册）[M].南京.江苏凤凰教育出版社，2016.7