面积的变化

一、引导探究，初步感知

1、现象

同学们，通过之前的学习，我们已经会把一个图形按比例放大或缩小。

比如，这个长方形，要知道它是按怎样的比例放大的，首先需要什么？（数据）

有了数据，接下来干什么？算什么？

很显然，这是这个长方形是按3:1放大的。在放大过程中，除了边长发生变化，什么也发生了变化？

面积是怎么变化的？让我们也来算一算。（1）面积之比居然和长度之比不同（2）但既然是长度发生变化引起的面积变化，那么面积之比和长度之比之间存在怎样的关系？

（当思考遇到困难的时候，我们可以试着画画图）

数形结合：示图 看出面积变化

（大长方形一排摆了3个小长方形，摆了这样的三排，也就是说大长方形里有3×3个小长方形，说明大长方形的面积是小长方形的3的平方倍。因此，放大后长方形面积：放大前长方形面积=：1）

原来如此，如果长方形按3:1放大，放大后与放大前面积之比是：1=9:1

积的变化规律：其实从长方形面积的计算也能看出变化的规律。

（把长方形按3:1放大，放大前的面积计算是3×1，放大后的长是3×3，放大后的宽是1×3，放大后的面积就是3×）

2、猜想

按其他比例放大的长方形也有这样的规律吗？有些同学在犹豫，犹豫是因为什么？不确定时怎么办？

确实，单一数据的发现并不能作为结论，需要更多的数据支持来说明规律是否存在。

请你自己先确定小长方形按几比一放大，填表，对相关数据进行计算，看看能不能有所发现。

交流：相应板书 把一个（     ）按（       ）的比例放大，放大后与放大前的面积比是（      ）

有没有不同的发现？

3、验证

这样的例子举的完吗？有什么可以代表所有的数吗？如果都用字母表示的话能看出变化规律吗？

数形结合：让我们也来画图看一看面积是如何变化的吧。

大长方形一排摆了n个小长方形，摆了这样的三排，也就是说大长方形里有n×n个小长方形，说明大长方形的面积是小长方形的n的平方倍。因此，放大后长方形面积：放大前长方形面积=：1）

字母表达式：任意长方形，按n:1放大，也就是长和宽同时×n，那么放大后的面积就是ab，那么放大后与放大前的面积比为ab：ab，化简后为：1

一个规律的得出不但要通过实践检验，还需要更科学地论证，而字母表达式就能起到这样的效果。

总结规律：现在这个规律我们可以怎样表述？

4、回顾

让我们回头看一看，为了研究长方形放大后面积的变化规律，我们是怎么做的。

首先，我们由一个长方形放大后发现面积比与长度比之间存在一定关系的现象。就提出猜想，按其他比例放大后是否也存在这样的规律。为了验证猜想，我们采用了举例验证和推理验证两种方式，最后得出结论。

我们经历了从现象观察 到提出猜测 到多方验证最后得出结论的过程，就使我们发现的规律更科学更严谨。

二、自主探究，深化认识

1、设计研究方案

（1）引导

刚才我们讨论了长方形面积放大后面积的变化。关于放大和面积变化，你还想研究什么？

其他平面图形也有这样的规律吗？让我们也来研究研究。

（2）确定研究材料

既然要研究，就先得确定研究材料。你需要什么？

（3）数据收集分析

然后对这些图形的各项数据进行收集和计算

（4）推理验证

为了让我们的结论更严谨，有能力的同学也可以像长方形一样用字母表示推理过程

（5）最后把得出的结论写下来

2、全班交流

请向大家讲述你的研究过程和结论

3、谁能用一句话概括这么多规律？

4、经过大家的大胆猜测，科学求证。我们发现了平面图形放大后面积的变化规律。在这整个过程中，对你来说最大的收获是什么？

有的同学收获了研究结论，有的同学收获了研究方法。

收获了结论可以用来干什么？

收获了方法可以用来干什么？

三、巩固练习 拓展延伸

1、巩固

用我们今天研究出的规律来解决问题。

2、拓展

研究了图形放大后面积的变化规律，你还有什么想研究的吗？

3、延伸

名言

愿大家都能像数学家一样去猜想、去思考、去验证。用数学的方法解释现实中存在的现象。