正比例和反比例关系放在一课时教学可行吗？

江阴市贯庄小学 黄燕红

【问题凝视】

“正比例和反比例”是苏教版教材六年级下册第五单元的内容，本单元中“正比例和反比例”的学习是对四年级时已学的“常见的数量关系”的延续和延伸，又是第三学段学习正比例、反比例函数的基础。全单元编排3道例题、一个练习，教学内容分成两段。

例1、例2，正比例的意义、正比例的图像;

例2、例3，反比例的意义。

可以看出，教材是把正比例和反比例关系这两个概念分开进行教学的，翻阅人教版和北师大版教材，虽然在内容安排上稍有不同，但是对于这两个概念的教学都做了相同的处理。这两个概念虽然意义不同，但是内容相近、结构相似，教材安排两个课时到底是出于何种考虑呢？能否放在一个课时进行教学呢？

【成因透视】

正比例和反比例是刻画某一现实背景中两种相关联的量的变化规律的数学模型，其本质上是函数关系，是中学数学中正比例、反比例函数的雏形。其核心是“变中有不变”的数学思想。^[]

教材之所以安排两个课时教学主要以下几个原因：

原因1：从常量到变量，学生对数量关系的理解和体验经历着由静态向动态发展的过程，这是学生认识过程中的一次重大飞跃。虽然学生在学习运算律和用字母表示数的时候对变量有所涉及，但是从函数的观念去研究数量之间的变化规律是第一次。

原因2：正比例和反比例的知识虽然在日常生活中有着广泛的应用，但是学生对它们的接触仅仅停留在生活经验的层次，学生在之前解决的实际问题中接触的都是常量，对于变量的研究经验不足。

原因3：正比例和反比例研究的是两个数量在变化过程中的一种特定关系，是变化着的数量关系，非常抽象。

这些原因都是学生学习中需要突破的难点，所以教材在编排这部分内容时，都采用了慢节奏推进的策略，目的是让学生结合一个个具体实例充分感知两种量的变化规律，并且在表达和表征变化规律的过程中逐步建立和理解概念。

但是正比例和反比例这两个概念实在是太相近，从题目上就能感受到它们有着密切的联系，学生在听到正比例这个字眼的时候，脑子里自然而然就会蹦出反比例这个词，也会对反比例充满着疑问？如果在学习正比例的时候也趁热打铁学习反比例，通过比较和鉴别是否能更有助于学生理解概念的本质，更有助于完善学生的认知结构呢？

【出路审视】

前面分析正比例和反比例这个单元教学的难点，概括起来主要是两点：一是陌生，二是抽象，这些对学生研究正反比例造成了思维障碍，如果能想办法跨越这些障碍，学生就能正确而清晰地理解变量的概念，从而学会从变化的角度研究两种数量之间的关系，那么在一节课中研究正比例和反比例两个概念应该是不成问题的。攻克的对象有了，关键是就是要想办法找出出路。那么如何让学生从陌生变得熟悉？让抽象难懂变得具体可见呢？教学中的出路又在哪里？

一、把握每一次“遇见”提前预热，变陌生为熟悉

德国天文学家、数学家开普勒曾说过，“数学就是研究千变万化中不变的关系。”正比例关系和反比例关系时最常见的数量关系，不仅在生活中司空见惯，在学生的数学学习中也经常可见，如果能让学生的每一次的“遇见”，都能做到不视而不见，擦肩而过，那么学生定能对“变化中的不变”印象深刻。学习正比例和反比例时也就不会陌生。

例如：学习商不变的规律时，经常会让学生填写这种表格：

这里在总结发现时，不要仅仅停留在总结出商不变的规律，还要让学生体会当商不变时，被除数和除数在同时变大，被除数变大，除数也变大，被除数变小，除数也变小，被除数和除数是相互关联的量，被除数变化，除数也会随着变化，且变化的方向是相同的。在观察的过程中学生其实最先发现的是商不变，这时可以提问学生：商不变时，什么是在变的？变化时有什么特点？接下去再进一步观察被除数和除数同时发生怎么的变化商才能不变。这样不仅让学生的观察有章可循，而且也让学生体会到了“变中有不变”

又如：在解决以上的实际问题时，学生根据数量关系填完表格后，可以提问：在这个实际问题中，长方形菜地的什么在发生变化？什么没有变？长和宽的变化有什么特点？使学生在解决这个实际问题时感受到当长和宽变化时，面积是不变的也就是长和宽的积是不变的，也就说长和宽是两个相关联的量，一个量变化另一个量也随着变化，但是变化方向是不同的。

再如：学生学习了基本的数量关系以后也会出现很多类似这样的实际问题。

如果每一次遇到这样的实际问题都能通过提问让学生去感受哪两种量在变化？在变化的过程中哪种量是不变的，这种不变的量与两种变量之间又有着怎样的关系？

这样在每一次的“遇见”时都能让学生体会、感悟、表达“变化中的不变”，那么这样的规律，学生肯定会对它不再陌生。

也就是说，要想让学生在一节课完成正比例和反比例的学习，并不是说真的在一节课解决所有的问题，而是要把教学行动落实在平时每一节课的教学中，落在每一个可能进行的教学契机中，教学时要像“下棋”，每次落“棋”要谋全局，动一步前要多思几步，虽然可能只是多问几个问题，但是却能让后面的教学省力很多。

二、结合具体的实例感受变化规律，变抽象为具体

学习素材是学生学习内容的重要载体，好的学习素材不仅能引发学生对学习欲望，还能促进学生生活经验、学习背景与学习主题的联结，促进学生对学习内容的深入理解。

函数的核心是“把握并刻画变化中的不变，其中变化的是过程，不变的是规律（关系）”。小学阶段正比例和反比例的关系的学习并不出现函数的概念，教材也着力通过具体的实例让学生去感受两个量之间的关系。

要把正比例和反比例关系放在一节课进行学习，学习素材的选择就更要进一步的斟酌，现实的素材背景不易变化太多，变化太多会影响学生对学习内容本质的把握，但同时又要能让学生的感知充分，让学生能对正比例和反比例的概念形成正确而清晰的表象。所以统一现实情境，变化数量关系应该是可行之举。

汽车行驶，购物计价都是生活中最常见的场景，对这些场景中出现的数量关系学生不仅积累了相当丰富的生活经验，而且在之前的学习中学生对这些场景中数量关系变化规律的观察和表达也积累了一定的经验。那么以此为“载体”进行教学应该是不错的选择。

【片段重构】

一、同一情境，感知不同的变化规律

1、谈话引出“变”

师：认识这个字吗？（变），从出生到现在，你有变化吗？（年龄、体重），板书：变

我用粉笔写字，粉笔有什么变化？

体重变了，是因为年龄变了，（板书“因，果”）

我们生活在一个变化的世界中，很多变化都有因果关系，而且存在着一定的规律。今天我们要从数学的角度研究生活中的一些变化现象，观察这些变化的现象存在着哪些规律？希望同学们都能有一双发现“火眼金睛”。

这里通过谈话交流让学生感受生活中的“变”，从而也引出了本单元的学习。

2、初步感知两种不同的变化规律

（1）变化方向相同

出示动画，两辆汽车在公路上行驶。一辆匀速，一辆变速。

这是两辆相同的汽车，它们在行驶时有什么不同？（一辆速度不变，一辆速度有变化）

这辆行驶速度不变的汽车，我们可以说汽车行驶的速度是一定的。

时间/时	1	2	3	4	5	6	……
路程/千米	80	160	240	320	400	480	……

这时路程和时间的变化有什么特点呢？

主要引导学生发现：路程和时间是两种相关联的量，路程随着时间的变化而变化，行驶时间越长，路程就越多，行驶时间越短路程就越少，在这两个量变化的过程中相对应的两个数的比值（或者说商）也就是速度是一定的。

（2）变化方向不同

接着出示：一条公路全长1200千米，一辆汽车在这条公路上行驶的速度和行完全程所用的时间如下表：

速度/（千米/时）	40	60	80	100	120	……
时间/时	30	20	15	12	10	……

观察表中信息你们能发现什么？

学生不难得出：汽车行驶的路程是一定的。时间随着速度的变化而变化，速度变快，时间变短，速度变慢，时间变长。

此时，教师可以相机引导得出：汽车的速度和时间也是两种相关联的量，在变化过程中相对应的两个数的积也就是路程是一定的。

（3）观察比较

请仔细观察这两组信息有什么相同的地方？有什么不同的地方？

相同点：都有两个变量，一个定量。

不同点：第一组两个变量的比值（商）一定，两个变量的变化方向相同。

第二组两个变量的积一定，两个变量的变化方向相反。

3、深化理解变化规律，得出概念

过渡：开着车我们来到文具商店购买文具，在购物的过程中我们能碰到这样相同的变化规律吗？

（1）比较归类

先购买单价3元的notebook，购买的数量和总价如下表：

数量/本	10	20	30	40	50	60	……
总价/元	30	60	90	120	150	180	……

老师想用200元购买笔记本，购买不同的笔记本的单价和数量如下表：

单价/元	1	2	4	5	10	……
数量/本	200	100	50	40	20	……

请观察这两张表中的数据，你们觉得它们分别与刚才哪组数据的变化规律是相同的？请把表格贴在刚才的相应表格下面。

（2）归类追因

让学生表达说明，重点说明数据的变化特点和规律：“哪两种量在变化，变化方向怎么样？变化过程中哪种量是一定的？它和两种变量之间有什么关系？”

（3）揭示概念，说理明晰。

请同学们认真读一读正比例的这条定义，你们认为刚才我们的哪一组数量变化的规律符合正比例关系？都认为是第一组，为什么呢？你们能根据正比例的定义来说一说吗？

同桌之间先互相说一说，再集体交流。

那么第二组数量的变化规律，它们又是什么关系呢？猜得很对，是反比例关系。那么谁能仿照正比例给反比例下个定义呢！

指名说后给出定义。

请同学们分别来说一说为什么这两组数量的变化规律符合反比例关系。

（4）比较辨析，加深理解

那么谁能来说一说正比例和反比例关系有什么相同点和不同点呢？

全班交流后，完成表格。

	相同点	不同点
正比例
反比例

如果用x和y表示两种相关联的量。用k表示它们的比值或者积，如果x和y成正比例，算式应该如何表示？反比例呢？

交流得出：，x和y成正比例

，x和y成反比例

小结：也就是说，看两种量是否成正比例，关键看什么？看两种量是否成反比例关键看什么？

4、应用概念辨析判断

（1）出示：根据表中的数据判断表中的两种量成什么比例？为什么？

刚才同学们完成得很好！我们再来看两组数据。

（2）出示：根据表中的数据判断表中的两种量是否成比例？为什么？

这里也有一个定量是什么？（和）

但是比值不一定，乘积也不一定。所以两种量不成比例。

这里也有一个定量是什么？（差）

但是比值不一定，乘积也不一定。所以两种量不成比例。

所以同学们一定要记牢。

判断两种量是否成正比例，一定要看两种量的比值是否一定。

而判断两种量是否成反比例，一定要看两种量的乘积是否是一定的。

在以上的教学中正比例关系和反比例关系的概念几乎是一气呵成，学生在具体的情境中，经历在观察中整体感知，在比较中发现规律，在交流中描述规律，在概括中抽象出模型。对于变量的观察，学生之前积累了一定的观察经验，学生有章可循；来自学生身边的学习素材，会让学生倍感亲切，提升了学生探索的乐趣；正比例和反比例关系同一节课解决，借助它们内容的相近和结构的相似，巧妙应用正迁移完成反比例关系的自主建构。这样抓住正比例、反比例的本质和联系进行教学，有助于学生加深对正比例、反比例意义的理解，从整体上把握各种量之间的比例关系，促进学生认知结构的完善。