100÷30与10÷3的余数一样吗？

江阴市祝塘中心小学 佘玲红

【问题凝视】

在四年级上册第二单元《两、三位数除以两位数》中学习的“商不变的规律”，它是典型的起点型核心知识，根据这个规律可以刚学生用简便方法计算被除数和除数末尾都有零的除法。学生运用“商不变的规律”计算整除的除法时，如90÷30，被除数90和除数30同时除以10，算式就变成9÷3=3，根据“商不变的规律”，所以90÷30=3，感觉到非常简单。

但当计算中出现余数时，如100÷30，根据商不变的规律10÷3=3……1，学生往往出现100÷30=3……1.100÷30和10÷3的余数一样吗？都是3余1吗？

【成因透视】

一、“商不变的规律”负迁移为“计算结果不变的规律”

知识的迁移现象在教学中时有发生，可以说学生的对新知识的习得，都离开已经习得的旧知识的影响。学生在学习了“商不变的规律”以后，对“被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变”记忆深刻。“商不变的规律”产生了消极影响的阻碍作用，不少学生对“商”和“计算结果”的概念混淆不清，认为商不变就是计算的结果不变，因此产生计算结果都是“3……1”的错误。

二、对除法计算的算理理解不深入

学生在运用“商不变的规律”对100÷30计算时，机械式的将被除数和除数末尾撇掉一个零（同时除以10），然后按照10÷3计算出结果，两个竖式一对比，就认为计算结果都是3余1.

学生并没有真正去理解其中的算理，没有深入的理解清楚每一次计算时用是（ ）÷（ ），余下的数表示的（ ）。

三、缺乏反思检验的数学习惯

在计算结束后，很多学生嫌计算麻烦，都不愿去检验计算的记过是否正确，缺乏反思、验算的数学习惯。在有余数的除法算式中，学生只要用商×除数+余数，看是否等于被除数，就能自我发现，100÷30的余数并非和10÷3的余数一样，都是1.

【出路审视】

一、聚焦本质，拓展“商不变的规律”

学生将“商不变的规律”负迁移为“结果不变的规律”，那么教师在教学“商不变的规律”时，首先要区分“商”和“结果”两个概念，明确在有余数的除法算式中，计算的最终结果是“商……余数”。其次，教师在教学“商不变的规律”之后，还应该对其进行补充教学，在一组有余数的除法计算题组中，探究余数的变化情况，进而拓展“商不变的规律”——被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，余数随着被除数的变化而变化。

二、计算教学重算理，轻算法

在学习“商不变的规律”前，学生已经学习了被除数和除数末尾都有零的除法，在探究出商不变的规律后，教师顺势出两组计算题组，一组能够整除的，是对“商不变规律”的巩固，另一组是不能整除的，设疑这一组也满足前面所学规律吗？以问引思，激发学生主动探究余数的变化规律。教师在随后教学运用“商不变的规律”进行简便计算的教学过程中，要讲清每一步的算理，说清（ ）÷（ ），余下的数表示的（ ）。而不仅仅是“去掉同样多的零”，进行简便计算，教学竖式格式。这种“重算法、轻算理”的教学方法就是学生不能准确理解余数的重要原因之一。

三、渗透质疑思想，培养验算习惯

在解题时，有些学生缺乏解题的耐心，匆匆完成作业而不愿验算；有一些学生认为自己计算的结果都是正确的，盲目的自信而不愿意验算；也有一些学生嫌验算太繁琐，怕麻烦而不愿验算；还有些学生没有体会到验算的必要性，而没有养成验算的习惯……教师在平时的教学过程中，就要渗透质疑的思想，在质疑同伴的观点中引发思考与辩论，在质疑自我的结果中培养验算的习惯。

【片段重构】

片段一：拓展“商不变的规律”

在探究出“商不变的规律”之后……

教师出示计算题组A：

根据27÷9=3，直接说出下面除法算式的商。

9÷3=

81÷27=

270÷90=

2700÷900=

学生独立完成后，交流，教师评析。

【设计意图：在学生探究了“商不变的规律”之后出示的专项训练，让学生更加明确被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。】

教师出示计算题组B：

10÷3=

100÷30=

200÷60=

1000÷300=

师设疑：哪位同学可以口算出10÷3的结果？（根据学生的回答，标出第一题的计算结果“3……1”）

引发辨析：10÷3=3……1，等号后面的3是这个除法算式的？1呢？3……1是这个除法算式的？（辨别商、余数、计算结果的概念）

继续设疑：将第二个除法算式与10÷3进行比较，你发现被除数和除数发生了怎么的变化？（发生相同的变化，同时×10）根据前面所学的规律，我们可以确定的是什么？（商不变，商还是3）余数是不是也一样呢？

预设学生回答：

生1：不假思索，结果仍是“3……1”.

生2：假如结果是“3……1”，3×30+1=91，不等于被除数100，是错的。

3×30+10=100，所以结果应该是“3……10”

生3：

对生2的回答及时评价：这是位特别善于思考的同学，敢于对他人的观点进行质疑，并且拿出强有力的证据来证明自己的观点。其实同学们有没有发现，他师怎么来证明自己的？对，就是用了我们计算中的检验的方法，看商×除数+余数的结果，是否等于被除数。我们的计算中少不了检验与反思。

师引导对比：商不变的规律，在这个有余数的除法算式里依然适用。不过计算结果，除了商不变，还要考虑余数的情况，你知道余数会发生怎样的变化呢？

小组合作探究。

在交流后小结：同学们真厉害，个个都是数学小能手，我们探究出来了余数的变化情况，所以在有余数的除法计算中，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，余数随着被除数的变化而变化。

片段二：运用“商不变的规律”进行简算

师：上节课我们学习了“商不变的规律”，我们可以把被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。学习了这个“商不变的规律”之后，对我们的计算也是有很多的帮助，今天我们就来学习运用“商不变的规律”进行简算。

师：你会计算100÷30吗？

预设学生作业：

生1： 生2： 生3：

对于生3的竖式评析——以问引思：

当被除数和除数都去掉1个零后，算式变成了什么？(10个十÷3个十)

借助小棒情境理解，100根小棒，10跟一捆，有10捆（即100里面有10个十），每3捆为一份，可以有这样的几份？（3份）3份一共有多少小棒？（3×3=9捆，也就是9个十），最后余下了？（1捆，也就是1个十，即10根）

沟通生2和生3的竖式——求同存异：

对比这两位同学的竖式，你发现它们之间有什么联系吗？

指出：他们都是在计算10个（ ）除以3个（ ），可以得到3份，还余下1个（ ）。这就和我们之前学的“商不变的规律”以及余数的变化规律一致了。

拓展练习：你会计算1000÷300吗？

“商不变的规律”是典型的起点型核心知识，根据这个规律可以刚学生用简便方法计算被除数和除数末尾都有零的除法，它还有利于后期学习“分数的基本性质”和“比的基本性质”等相关内容，因为在学习该内容时，教师务必要聚焦知识本质，区分概念，辨析异同，要有长程视野，渗透数学思想，培养良好的数学习惯。

【参考文献】

[1] 知识迁移在数学教学中的应用探究[J].宁博.数学之友.2014(04)

[2]以问引思，建构起点型核心知识——《商不变的规律》教学与思考[J].

刘正松.教育世界.2020(35)