如何放大平行四边形?

江阴市青阳实验小学 吴晓燕

【问题凝视】

在学习图形的放大和缩小后，在方格纸上将平行四边形按3∶1的比放大，学生呈现了下面一些画法。

先出示第1幅图，让学生判断并说明判断的理由。有近一半的学生认为都是对的，理由是底和高都放大了3倍。再出示第2幅图，这时有一小部分学生改了，说第2幅正确，理由是底和高都放大了3倍，第2幅中的平行四边形要和原来的像一些，边要斜一些。学生思考：平行四边形该怎么放大呢？

【成因透视】

（一）认知的片面性

按比例放大长方形，只要将长和宽同时放大；按比例放大正方形，只要将边长放大；按比例放大直角三角形，只要将两条直角边放大；那么按比例放大平行四边形时，将底和高放大，怎么就不行了呢？

长方形和正方形都是矩形，长方形由长和宽决定它的形状，正方形由边长决定它的形状。直角三角形中两条直角边的长短就确定了它的形状。在建立学生的这些认知过程中，学生错误的认为平行四边形的形状与面积有关，而平行四边形的面积与底和高相关，所以只要放大底和高就行了。图形的放大或缩小是图形运动的一种方式。放大或缩小后的图形与原来图形相比，大小变了，但形状与结构没变。数学中的图形放大或缩小，它的每条边都按相同的比变化，也就是每条边都要放大到原来的几倍或缩小到原来的几分之几。

（二）图形的复杂性

把一个图形放大或缩小就是初中阶段学习的相似图形。两个边数相同的多边形，如果他们的对应角相等，对应边成比例，那么两个多边形叫做相似多边形。小学阶段图形的放大或缩小主要从对应边的角度思考，对于学生而言，判断平行四边形的放大或缩小后的形状是否相同比较困难。平行四边形容易变形，仅凭眼睛的直觉来判断它的每条边都按相同的比变化很难。

【出路审视】

（一）结合生活经验建立放大缩小的直观感知

数学来源于生活，生活中蕴含着大量与数学有关的问题。生活中放大和缩小的现象很多，如地图、建筑工地上的图纸、照相机中的照片等都是把物体按一定比例缩小；望远镜、投影仪、显微镜等都是把物体按一定比例放大。这些生活情境为学生提供了大量的生活经验。

生活中还有缩放尺。缩放尺是一种用于对图形放大或缩小的工具。不但可以对规则的几何图形进行放大或缩小，而且对不规则的平面图形也能放大或缩小。

（二）借助多种感知理解放大缩小的本质特征

对比人教版和苏教版的教材，虽然在人教版教材中没有直接出现将平行四边形按比例放大或缩小，但对于直角三角形的放大后提了这样的问题“三角形的两条直角边放大到原来的2倍，斜边是否也变为原来的2倍？”苏教版教材也提了相同的问题。人教版还要求学生观察一下放大后的图形与原来的图形，比较它们的内角、边长、周长，什么变了？什么没变？而苏教版教材在本单元的“动手做”中先让学生观察，再照样子分别把下面的三角形和四边形按2∶1的比放大。

放大和缩小的本质是图形的形状不变。如何让学生充分体会理解形状不变，着力点只要放在每条边按相同的比例变化。同时辅助学生感知每条边按相同的比例变化，图形的对应内角不变。为学生的后续学习相似图形奠定基础。让学生体会到在放大和缩小的过程中，图形的大小虽然变了，但形状不变的内在。成直角的两条边可以在方格中放大，那斜着的边可以怎么放大呢？苏教版的做一做给了很好的建议，只要将斜着的边延长到原来的3倍，为学生画出平行四边形的放大图提供了辅助工具。

人教版 苏教版

【片段重构】

【教学片断一】多种素材，丰富表象

导入：小明一家正在计划暑假出去旅游，小明爸爸拿出中国地图，一家人一起商量应该到哪个城市旅游。小明拿出他喜欢的望远镜准备旅游的时候用，妈妈准备了照相机。

出示图片：地图、望远镜、照相机拍下的照片

提问：我国的国土面积有960万平方千米，这么大，怎么能画在这张纸上呢？

生：地图是按我国面积缩小了画的。

师：那你知道缩小是什么意思？

生：缩小就是变小。

师：这也是地图，你看都是中国地图，他们的形状都像什么？

师：生活中还有很多地方运用到了放大和缩小，你能举例说一说吗？

生：上课时老师用的投影仪。

生：放大照片。

生：显微镜下的微生物

……

师：看来放大和缩小在生活中运用非常广泛，放大和缩小中蕴含怎样的数学知识呢，今天我们就来研究图形的放大与缩小。　（板书课题）

【教学片断二】重点突破，深化理解

师：你是怎么画出放大后的直角三角形的？

师：你们先画了两条直角边，那三角形斜边的长是原来的2倍吗？你怎么知道的？

师：有同学先画斜边吗？斜边为什么不先画？

生：斜边难画，找不准。两条直角边好画，沿着方格画就行了。

小结：这说明只要找到能决定直角三角形大小的边，进行放大就可以了。

比较：请同学们观察一下放大后的长方形，直角三角形与原来的图形，比较它们的内角、每条边长、 周长，什么变了？什么没变？在组内说说你的发现。

生：我比较的是长方形，我发现四个角还是直角。每条边都放大到原来的2倍，周长也是原来的2倍。

生：我比较的是直角三角形，我发现放大后的三角形和原来的三角形的内角一样大，每条边都放大到原来的2倍，周长也是原来的2倍。

生：我发现的它们的内角不变，每条边长和周长变了。

生：我发现每条边放大的倍数是一样的。

师：刚才同学们说到的对应的内角大小不变，对应的边长都放大到相同的倍数，实际上就是指图形的形状不变。

【教学片断三】知识拓展，提升能力

师：看这是小明家拿出的地图，你知道它是按怎样的比缩小的吗？

生：按1∶4000000的比缩小。

师：这些生活中的放大和缩小，你能知道它们都是按怎样的比放大或缩小的吗？也就是每条边都要放大到原来的几倍或缩小到原来的几分之几？

师：在方格纸上我们知道如何画出放大或缩小的长方形，直角三角形，那我们学过的其他图形呢？（介绍做一做）

师：你能照样子把平行四边形按2∶1的比放大吗？

学生尝试做图

师：劳动者的智慧是无穷的，在绘制设计图时，工程师还需要借助专门用于把图形放大或缩小的工具——缩放尺。它不但可以对规则的几何图形进行放大或缩小，而且对不规则的平面图形也能放大或缩小。我们一起来看看吧。（介绍缩放尺）