你真的认识1/2吗？

陆桥实验小学 陈丽君

分数是数学教学的重难点，内容繁多，不易理解。目前，小学数学分数教学出现了各种问题，学生学习效率直线下降。首先，小学生的年龄较小，认知能力弱，对分数知识无法透彻理解，对教材中提及的分母、分子模糊，无法在生活中应用，学习目标不明确。其次，部分教师在制作教学课件时没有贴合小学生的知识基础，对度量没有进行解释，只是单一让学生认识分数与整数的区别，过于强调分数运算公式和基本定理，学生不能真正的理解分数的内涵和意义。

一、问题凝视

学生为什么不认为“1/2”是个“数”？

一直以来，在学生的潜意识中并不承认分数是一个“数”，而是个“结果”。学生对于分数的概念理解仅仅局限在份数定义上，对分数的本质理解还停留在“几份”的思考上，没有将分数的概念过渡到分数的“商”定义和“比”定义，即分数的认识没有越出自然数的范围^[1]。

二、成因透视

1.学生缺乏生活经验的支撑

“分数”对于小学生而言，一直是数学学习的“难点”，一方面原因就是分数在日常生活中的应用较少，并没有自然数那么自然、容易描述。其书写格式相对自然数也较复杂些，学生往往会将分数看做几部分，而不是一个数来看。例如，在学生学了小数之后，如果题目中算出结果为1/5米的话，学生几乎都要化为“0.2米”，似乎只有看到这个结果，心里才“踏实”。

2.学生对分数的理解维度单一，导致学生知其然不知其所以然

在很多一线数学老师看来，对于分数的概念好像小学生掌握的还不错，但越到高年级分数的理解对学生而言难度越大，即当要理解为什么时这种现象尤为突出：为什么除以一个分数等于乘以这个分数的倒数？为什么分子分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数分数的大小不变等等，可以看出，真正理解分数绝不是那么简单，要对分数进行多维、多元的理解。

3. 教师缺乏分数内涵整体的认识。（淡化了分数的度量意义）

小学阶段对分数的定义有三种，一种是分数的份数定义，二是分数的“商”

定义，三是分数的“比”定义。在“分数意义”的教学中，首先要意识到分数不是“对象”而是行为，也就是我们平均分物体（单位“1”）的“行为”，只有当使用符号表示分数时，分数才被看成“对象”。“分数的比定义”价值在于可用其定量研究两个以上事物在量方面的结构关系，实现数学“结构化思想方法”的意义。

华罗庚先生说“数起源于数，量起源于量”，无论是作为“量”的分数还是“率”的分数，分数单位都很重要，然而，对于分数的度量内涵如何在课堂教学中实施正是一线教师需要思考的问题。

三、出路审视

1.整体认识分数内涵

小学阶段，尽管分数在不同的年段有着不同的教学要求，但对于学生学习的引路者——教师而言，应全局把握分数的内涵与本质。精心设计，精心控制，逐步提升儿童对分数的理解水平。分数的每一种呈现方式和解释都与某一特殊的认知结构有关，如果忽略了其中某一必要的认知结构，就会导致学生缺乏对分数的另一种理解，这就是为什么有的学生对现实生活中的数学理解很好，但换一种情境就感到很困难。

2. 借助多种直观模型。

纵观小学教材中出现的分数，往往以学生熟悉的日常事务与活动为模型，建立分数的概念。但要引导学生更加深入的理解分数，让学生知其然并知其所以然，必须借助于多种模型。而小学教材中的分数模型主要有以下几类：一是面积模型：用面积的“部分——整体”表示分数。二是集合模型：用集合定义中的“子集——全集”来表示分数。从本质而言这也是“部分——整体”的一种关系，与分数的面积模型联系密切，甚至几乎没有区别，但学生在理解上难度更大。三是数线模型：用数轴上的点来表示分数。它把分数化归为抽象的数，而不是具体的事物，对这个模型的理解对学生的抽象能力要求更高。用数线模型和面积模型表示分数关系非常密切：一个分数可以表示单位面积的一部分，也可以表示“单位长度的一部分”。

3.巧用十进分数，埋伏分数单位

度量需要动手实践，亲自观察，体会分数单位的产生和叠加过程和结果。

分数既不是“十进制”的，也不是“位值制”的，而学生接触的现实生活中的“数”与“量”都是“十进制”的，借助小数的思想，利用具体形象的模型——学生熟悉的人民币“元、角、分”或者量尺上的刻度，帮助理解分数的量，认识易懂的“特殊”，有助于认识困难的“一般”[2]。

四、片段重构

片段一：感悟联系，引出分数

1.认识1/2

师：老师带来4个苹果，想分给2只小猴，应该怎么分？

生：4÷2=2（个），每人分得2个苹果。

师：老师还带4根香蕉，想分给2只小猴，应该怎么分？

生：2÷2=1（根），每人分得1根香蕉。

师：像这样每份分得同样多的分法在数学上我们叫做平均分。

师：可是老师这只有一个饼，要分给两只小猴，每只小猴分得多少呢？

生：把这个饼切成相同的两半，1÷2=？

师：是呀，把一个饼平均分成2份后，这“半个”用怎样的数来表示呢？把你的想法写下来吧。

学生展示自己的作品。

师：把一个饼平均分成2份，其中的一份就用1/2来表示。

师：其实生活中的“半个”就是数学中的1/2个。像1,2这样的数是我们以前认识过的数，而像1/2这样的数是我们在“数”这个大家庭中要认识的新朋友——分数。

【把握学生的认知起点，激活学生认知中的逻辑经验和现实经验，搭建新旧知识之间的“交集点”，更好地将新知同化到旧知的结构中。学生已经学习过平均分，具有了用整数表示平均分结果的经验，从用整数表示平均分的结果到用分数表示平均分的结果的过渡、衔接，引发认知冲突展现数域扩充额必要性。】

感知1/2的大小

师：一个饼平均分给2只小猴，一只小猴分得多少？

生：1/2。

师：那另一只呢？

生：也是1/2。

师：看来，每份都是这个饼的1/2，数一数这个饼有几个这样的1/2呢？

生：2个。

师：2个1/2合起来会是多少呢？

生：1。

师：在这条数轴上，每一个数都能找到自己的位置，你知道1/2在哪里吗？

0                               1

生：它在0和1的中间。

师：在这条数轴上可以非常清晰的看出，1/2这个分数比0大，比1小。

【数之间最基本的关系是比较大小，借助数轴将新学的分数与学过的自然数结合在一起，体会数系的扩展。】

片段二：数形结合，建构模型

1.异中求同：正方形纸的二分之一

师：我们找到了一个苹果的1/2，你能折出这张正方形纸的1/2吗？

学生自主研究正方形纸的1/2。

生：我是左右对折的，得到了1/2

生：我是上下对折的，也得到了1/2

生：：我是斜着对折的，也得到了1/2

师：折法不同，为什么其中的1份都表示这张长方形纸的2呢?

生：都是把正方形纸平均分成了2份，取其中的1份。

同中求异：不同对象的1/2

师：如果给你一个苹果，你还能找到它的1/2吗？

生：把一个苹果平均分成2份，每一份都是它的1/2。

......

师：如果给你4个桃呢？

生：把4个桃平均分成2份，其中的一份就是1/2。

师：4个桃的1/2是几个桃？

生：2个桃。

师：为什么物体不一样，却都能找到1/2？

生：只要是把物体平均分成2份，其中的一份就是它的1/2。

【借助多种直观模型——面积模型、集合模型、线性模型，揭示分数的本质，帮助学生建构新知，加深理解。】

片段三：创造分数，初步感悟分数单位。

师：刚才我们认识了分数1/2，想不想创造一个与1/2不同的分数呢?

课件出示： （表示1元的正方形纸条）

（表示1米的长方形彩带）

（圆形纸片）

（等腰直角三角形纸片）

创造你喜欢的分数：

(1)分一分：选一种或几种材料平均分成几份。

(2)涂一涂：把其中的1份或者几份涂上颜色。

(3)说一说：从你的作品中能找到哪些分数?

学生自主活动，教师巡视并收集学生的作品。

学生的作品1：

师：给大家介绍一下，你创造的是哪一个分数?

生：我把这张1元的正方形纸平均分成10份，给其中的1份也就是1角涂色，就用1/10来表示。

师：把1元平均分成10份，每1份都是它的1/10.。

师：从这幅作品里，你们还能找到别的分数吗?

生：9/10。

师：9/10是从哪里看出来的?

生：我们把1元平均分成了10份，涂色的有1份，没涂色的有9份，也就是9角，9角就是9个1/10,所以没有涂色的部分表示的就是9/10。

师：有道理，能用手指一指这个分数里的“10”是指哪一部分吗?“9”呢?

生：(边指边说)“10”指的是这张正方形纸平均分成10份，“9”指的是没有涂色的9份。

师：没有涂色的部分有几个1/10？

生：9个1/10。

师：9个1/10也就是几分之几?

生：9/10。

学生作品2：

师：这位同学涂了3份，创造出了哪个分数?

生：涂色的有3份，3个1/10表示3/10.

师：看来，有几个1/10就用十分之几来表示。

【运用生活中小学生最熟悉的数量关系——人民币的“元、角、分”体系，1元平均分成10份，每份是1角，很自然地过渡到1角是1元的1/10,3角有3个1角，也就是3个1/10，即3/10，让学生在操作活动中感悟分数单位，体会部分与整体的关系，感知“分”与“数”的价值：分数单位的累加就是分数。】

参考文献：

［1］ 陶积文.小学分数有效教学策略研究[D].西师大.2015.5

［2］张奠宙.“分数”教学中需要澄清的几个数学问题.小学教学教学版.2010.01