个分位去哪儿了？

江阴市璜土实验小学 黄晓旦

【问题凝视】

在苏教版教材五年级上册《小数的意义》单元第二课时的课堂教学过程中，出现了这样的一幕：师生共同填写数位顺序表（如图）

教师让学生熟记小数部分的数位与计数单位，并介绍一下你有什么好的记忆方法。这时有学生提问：老师，为什么小数部分的第一个数位不是“个分位”？是不是数学家遗漏了？对于学生的这个观点，得到了大多数学生的赞同，大家一致认为有了小数部分有了“个分位”，记忆起来就更加简单，教师对学生在课堂上善于提问、敢于质疑的行为也同样表示肯定。对于这个问题，作为一线教师的你是否直接告知学生这是人为规定，约定俗成，还是会重新审视我们的课堂教学，给予学生更有说服力的理由？

【成因透视】

1.整数部分数位的“负”迁移

学生出现这样的问题，是从便于记忆的观点去看待数位顺序表，站在小数点两边一一对应的角度观察数位顺序表，是为了记忆而优化，为了记忆而产生的需求。整数部分的从右往左的数位“个位、十位、百位、千位……”学生在一年级上册认识11-20各数时，计数器上就出现了计数单位，所以说整数部分的起始数位“个位”，在学生认数的知识储备中是根深蒂固的，地位是无法撼动的。苏教版教材四年级下册认识多位数的过程中，再次强调了“个位、十位、百位、千位”这四个数位组成了“个级”，后面带“万”字的四个数位组成了万级，带“亿”字的四个数位组成了“亿级”，而小数部分却没有“四位一级”的规定，这对学生造成了认知冲突，正是因为这样的“负”迁移，让学生对“个分位”产生了迫切的需求。

2.对教材理解产生的“误”解读

对于从整数到小数数位顺序表的拓展，我们来看一看不同版本教材是如何处理的：

三个版本的教材，苏教版是先确定小数部分的“数位”再明确对应的“计数单位”；人教版教材是先明晰“计数单位”再确定“数位”；而北师版教材先教学“计数单位”还是“数位”并没有明确先后顺序。

【出路审视】

1.数位与计数单位的关系

我们追溯数的产生与发展，也能清晰的了解数位与计数单位的逻辑关系。在古代，比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子；在我国的古书《易经》中也有“结绳而治”的记载，古人也常用绳子打结来计算天数，用利器在树皮上或兽皮上刻痕。这里的“小石子”“绳结”“刻痕”就是最初的“计数单位”。随着农耕文化发展，人们需要记录日期、谷物种子数，对计数的要求越来复杂，逐渐出现用符号或小棍按照不同的位置摆放进行计数，形成了我国古代计数工具“算筹”，我国古代数学家刘徽在1700多年前就开始利用算筹记录小数（如图）                           在算筹的使用中，小棒摆放的位置不同，所表示的数值也不同，利用高低区分整数部分与小数部分。从数产生的角度出发，应该是先由“计数单位”产生“数”，最后创造出“数位”。

2.数位顺序表的建构过程

以苏教版教材为例，学生在一年级上册和下册分别进行了1-20各数的认识和100以内数的认识，这两次数的认识都是从计数单位开始的，并没有出现数位；四年级下册“万以内数的认识”，教材利用计算器一边拨珠一边数数：10个一千是一万，10个一万是十万，10个十万是一百万，10个一百万是一千万，随后出现数位顺序表，填写相应的数位名称，这是教材第一次出现数位顺序表；紧接着学习“亿以内数的认识”再次对整数的数位顺序表进行拓展。由此可见学生的认数经验也是先认识“计数单位”然后再到相对应的“数位”。

【片段重构】

基于上述分析，在小数部分数位顺序表教学过程中，我从“数的组成”角度切入：

问题驱动：请大家结合具体情境描述一下12.73这个数有多大？

情境表征：如果看成12.73元，这个数就表示12元、7角、3分；如果看成12.73米，这个数就表示12米，7分米，3厘米。

图形表征：如果把一个正方形看成“1”那么这个数就表示

语言表征：这个小数是有1个十，2个一，7个十分之一，3个百分之一组成的。

强化积累：同桌互相举几个两位小数或者三位小数说说它们的组成。

归纳反馈：构建数位顺序表

1.整理“计数单位”

2.拓展“计数单位”

3.定名“数位”

4.完善数位顺序表

计数单位自然就是“用来计量数的单位”，即“个、十、百、千、万……”，是组成数的基本元素，就像长度单位、面积单位、体积单位一样，是用来度量大小的基本单位。“数位”就是“数的位置”，即：“个位、十位、百位、千位、万位……”重点在“位置”，所以说数位和计数单位强调的重点是不一样的，也因此在概念、性质、表示方法、作用上产生了差异。数学家为了便于记忆，根据计数单位给相应的位置命名，这两个概念仅相差一个字，造成了混淆，究其原因就是对概念理解不到位，在实际教学中我们要把重心落在“计数单位”上，这样在十进制计数法中“计数单位”没有出现“个分之一”，自然不会出现“个分位”，让学生经历、体会、感悟、构建数位顺序表的过程，明晰两个概念的从属关系，这是认数教学的重点。