0/5是真分数吗？

江阴市璜土实验小学 修晓静

【问题凝视】

在苏教版五年级下册《真分数》的学习过程中，当学生完成数学书第64页第4题时，出现了这样的一组错误答案：

学生认为是真分数。这样一组答案的出现，得到了部分学生的共鸣，他们翻开数学书第59页，指着概念说道：“分子比分母小的分数叫作真分数。”但是又有学生反驳，说：“0平均分成5份，每份都没有，也就无意义了。所以不是分数，更不可能是真分数。”可不想，这时又有学生跳出来反对，认为是一个分数，因为0÷5=0。看似简单的分数概念，却引发了大家的重重争论。那么，到底是不是分数呢？如果是分数，会是真分数吗？如果不是真分数，为什么学生会产生错误的认知呢？究竟哪里出现了认知偏差？

【成因透视】

（一） 分数单位的“固有化”

纵观苏教版小学数学的教材，二年级学习“平均分”，三年级学习“分数的认识”，五年级学习“分数的认识”。教材都选用了与学生日常生活息息相关的场景，例如分桃、分蛋糕，让学生在分、取的过程中，建立了对分数概念的深刻表象。明确：把一个物体、一个图形、一个计量单位、一个整体等看作单位“1”，平均分成若干份，表示这样一份或者几份的数叫作分数。表示其中一份的数，叫作分数单位。正是这“固定存在”的“1份”，让学生们错误地认为不是分数，因为0平均5份，每一份都是0，不满“1份”，不满足成为分数的条件，更别提是不是真分数了。

（二） 分数教学的“常态化”

在日常教学中，关于分数认识的每一节起始课，老师们一般都会设计一个让学生动手在纸片上分一分、涂一涂、比一比的教学活动，有效地让学生明白了分数的本质是平均分，理解了分数的意义。可是，正是这样的常态化教学，让学生在不知不觉中忽视了，甚至压根没有想到原来0也是可以平均分的，只不过没法实际操作。并且思维定势般地觉得把0平均分成若干份，丝毫没有意义，所以造成了很多人认为不是分数的错误情况。

（三）真分数概念的“伪理解”

五年级数学书第59页明确指出：分子比分母小的分数叫作真分数。学生抓住关键词“分子比分母小”，从而错误地理解是真分数。这种以偏概全的理解方式是当代学生看待问题的现状！学生们忽视了真分数的属性：真分数的值是大于0且小于1的，从而引发了对真分数概念的“伪理解”。

【出路审视】

1、理论引领，明晰分数。

人教版《小学数学基础理论和教法》在第135－136页说：“从分数的产生考虑，定义分数中的m是非0自然数，n是大于1的自然数，但是，根据需要，有如下的补充定义：

当n=1时， = = m 。

当m=0时， = = 0 。

这样，任何整数m都可以表示成分数的形式，所以整数可以看成是特殊的分数。”

根据上述第二条补充定义，可知是分数。但是把这种学术性很强的数学知识直接强加给小学生，有点不切实际。所以，是否可以借助小学生通俗易懂的分数与除法的关系：被除数÷除数 =。在整数除法中，因为除数不能是0，所以在分数中分母也不能是0。现在分子是0，就是分数。而且，数学家把像这样的特殊分数，叫做零分数。在小学里，对零分数一般不作专门介绍，它在分数减法运算中自然出现。

2、教材对比，正确认知

在人教版《卫星电视教育小学教师培训教材算术》第122页明确了真分数的定义：“分子小于分母的分数（分子是0的除外）叫做真分数。”在北京师范大学出版社出版的《小学教师〈专业合格证书〉教材—算术基础理论》第220页也明确了真分数的定义：“分子（不为0）小于分母的分数叫做真分数。”

根据上述内容，学生可以很清晰地明确：分子为0的分数不是真分数，所以分子为0的分数不是真分数。

对比苏教版五年级下册第59页上的真分数的定义：“分子比分母小的分数叫做真分数。”指向更明确，描述更严谨。

【片段重构】

（一） 教学是分数

1、利用分数与除法的关系教学

师：同学们，看： ！对于它，你们认为是真分数吗吗？说说你的想法。

生1：是真分数。

生2：我觉得不对。因为0平均分成5份，每份都没有，也就无意义了。所以不是分数，更不可能是真分数

生3：我觉得是一个分数，因为0÷5=0。

……

师：大家的想法听着都很有道理，但是这么争论下去也不是个办法，请大家静下心来想一想：要想确认是不是真分数？首先得确认是不是一个分数？这个逻辑顺序大家认同吗？

生：认同。

师：关于是不是一个分数呢？刚才出现了两种不同的意见。

生1：因为0平均分成5份，        生2：因为0÷5=0

每份都没有，也就无意 所以是分数。

义了，所以不是分数。

师：先看第2种。这位同学你能说说为什么0÷5=0，你就认为

生：我是根据分数与除法的关系，分子相当于被除数，分母相当于除数。在除法算式中，0不能做除数，所以在分数中，分母也不能是0。现在分子是0，所以我认为是分数。

师：同学们，你们听明白了吗？认同吗？

的确如你所说，根据分数与除法的关系，我们可以判定是分数。

师：我们再来看看第1种。联系实际生活想一想，把0平均分真的没有意义吗？

（学生们都很迷茫）

师：其实，三年级上册的数学书上有这样的一道题（如下图）：

3只小猴去摘桃，树上一个桃也没有，平均每只小猴能摘到几个桃？

师：大家看，0÷3=0，把0个桃子平均分成3份，每只小猴分得0个。它是有意义的，只是这平均分的过程无法像左图分6个蘑菇一样具体操作，只能靠同学们自行想象。

师：同学们，现在你们可以解开心中的疑惑了吧！就是分数。

2、利用分数减法教学

师：同学们，其实在分数减法中，也藏着分数呢！一起来找一找！

出题： - =

师：同学们，这是一道同分母分数的减法，按照计算法则，我们是怎样算的？

生：同分母分数相减，分母不变，分子相减。这里分母是5，分子3-3=0，分数=0。

师板书： - == = 0

师：真棒！一下子在计算过程中找到了，看来利用分数减法也能证明是一个分数呢！

3、介绍零分数

师：数学家把像这样的特殊分数，叫做零分数。在日常学习生活中，计算值遇到零分数，一般直接写成0。

（二） 教学不是真分数

师：是分数，但到底是不是真分数呢？公布答案：不是真分数。知道为什么吗？小组再次讨论下。

生：因为=0，而0<真分数<1，所以不是真分数。

师：说得真好，我们还要考虑分数值的大小呢！一起来看。因为真分数是在分数的基础上建立的，它的分子比分母小。尽管是一个分数，但是的分数值等于0，0是一个整数。而真分数的分数值必须大于0且小于1，所以不符合条件。因此，不是真分数。

4、总结：

分子比分母小的分数叫做真分数，真分数的分数值必须大于0且小于1。是分数，但不是真分数。