100÷30和10÷3结果真的一样吗？

江阴市利港实验小学   黄芬

【问题凝视】

在四年级“商不变的规律”教学后，类似下面的错误出错率很高。

如果10÷3=3……1，那么100÷30=(  3  )……(  1  )

学生认为，根据“商不变的规律”，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，10÷3=100÷30。但实际却是10÷3=3……1，100÷30=3……10。算式相等，结果却不相等，究竟是什么原因呢？难道“商不变的规律”失灵了吗？

【成因透视】

(一）商不变规律的“负”迁移

我们在探究商不变的规律时，举例验证商不变的规律都是通过举例商整除的算式，如

因为30÷6=5，所以300÷60=5，15÷3=5，他们都是完全商（没有余数），因此完全符合被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。学生受没有余数的（完全商），商不变的规律的影响，自然而然地迁移出10÷3=3……1，100÷30=3……1这样的错误。

（二）商不变规律的“伪”理解

由于数学知识之间的断层，学生运用商不变性质进行有余数的除法计算时，对商不变性质的运用，对余数的认识不够；学生认为，“商”不变就是计算结果不变，而计算结果，就是等号后面的全部。即把商不变想当然地推理成“余数也不变”。在教学中，教师没有根据学生思维障碍，修复知识断层，对运用商不变性质进行除法简算中“余数”这个障碍点，没有引导学生进行讨论、探究，理解算理，没有让学生站在整个知识体系的高度来理解，导致学生对商不变规律的“伪”理解。

（三）受笔算除法简便算法的影响

学生在竖式计算时，根本不去考虑余数的变化，因为在以往的有余数的除法竖式计算中，竖式下面的余数与横式后面的余数都是一致的，是不需要调整的。这种认知，给学生带来了干扰，因此在对商不变的性质进行除法简算中，学生受竖式中余数1的影响，认为横式后面就是3 余1。 过程如下：

【出路审视】

（一）通过检验结果正视错误

100÷30=3……1，到底对不对呢？可以让学生用验算的方法来检验，即商乘除数加余数是否等于被除数，发现30×3+1=91，不等于被除数100。学生通过检验，发现结果是错误的。再引导学生关注竖式中的1在十位上，表示1个十，所以结果应该是3余10。

（二）立足教材原点剖析结果

“商不变的规律”，教材中是这样描述的：“被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。”10÷3=3……1，100÷30=3……10，商不变，“3”是商，确实没变，变得是余数，显然，“商”是不包括“余数”的。

（三）创设问题情境支撑理解

教育学和心理学研究表明：当学习的材料与学生的生活经验相联系时，才能激发学生探索的兴趣。为什么等于3……10，光靠验算和竖式，学生是很难理解“带余除法”的算理的。因此，我们可以把10÷3和100÷30放到具体生活情境中来分析，让问题情境给学生的数学理解“保驾护航”。

（四）突破知识断层理解算理

造成带余除法“算式相等，结果不等”的根本原因是学生没有学过小数除法、分数除法，知识出现了断层。目前使用苏教版教材的四年级学生还没有学到小数除法，他们只能用余数来表示尚未除完的（被除数）部分。而这个尚未除完的（被除数）部分如果继续除的话，结果其实还是一样的。10÷3=3……1，余数1再平均分成3份，每份是三分之一；100÷30=3……10，余数10再平均分成30份，每份也是三分之一。

【片段重构】

呈现原题：如果10÷3=3……1，那么100÷30=(  3  )……(  1  )

师：你们觉得对吗？为什么？

生1：根据“商不变的规律”，因为10÷3=3……1，所以100÷30=3……1，结果是对的。

生2：我觉得不对，因为我验算过了，3乘30加1只得91，3乘30加10得100，所以我觉得100÷30=3……10。

师：验算是验证结果正确与否的重要策略，我们以后要养成随时验算的好习惯。

师：刚才有同学说根据“商不变的规律”，10÷3与100÷30结果都应该是3……1，我们能不能列竖式再来算一下100÷30，看看结果到底是多少？

呈现学生竖式：

师：竖式计算的结果还是3余1呀，究竟哪里出问题了呢？

生1：100÷30虽然竖式上看起来是余1，但是余数1在十位上，表示1个十，所以写到横式后面应该是3余10才对。

生2：“商不变的规律”，说得是“被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变”，没说余数没变呀。10÷3和100÷30的商都是3，确实没变，只是余数变了，余数是不包括在商里面的。

生3：被除数和除数同时除以10，商不变，但是余数要变。

师：当“商不变的性质”遇到“有余除法”时，余数究竟会怎么变呢？我们来研究下，要研究，我们先从简单的数据，开始研究。我们以分东西来举个例子：

5块巧克力，平均分给2个人，每人分几块，还多下来几块？

10块巧克力，平均分给4个人，每人分几块，还多下来几块？

生：5块巧克力，平均分给2个人，每人分2块，还多下来1块。

10块巧克力，平均分给4个人，每人分2块，还多下来2块。

师：你发现了什么？

生：巧克力的总块数（被除数）和分的人数（除数）同时乘了2，每人分的块数（商）不变，余数也乘了2。

师：同学们大胆推测下，如果被除数和除数同时除以一个相同的数（0除外），商不变，余数会怎么变？你会举例验证吗？

生：9本本子，平均分给6人，每人分1本，还余3本。

3本本子，平均分给2人，每人分1本，还余1本。 ……

本子的总本数（被除数）和分的人数（除数）同时除以了3，每人分的本数（商）不变，余数也除以了3。

师：是呀，同学们通过举例验证得到被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，但余数要跟着乘或除以几。

师：那现在你能解释一下为什么10÷3=3……1，100÷30=3……10了吗？

生：10÷3=3……1，根据商不变的规律，100÷30，被除数和除数同时乘10，商不变，商还是3，但是余数要跟着乘10，所以余数是30。

师：如果我们继续把巧克力继续分下去，你们想一想，余1块，余下的一块继续分的话，也就是把这1块巧克力平均分成几份？余下的2块巧克力将怎么分，2块巧克力平均分成几份？同桌讨论后用方形纸片分一分。

生：我是这样分的，剩下的1块巧克力平均分成2份，每份半块巧克力，加上原来的2块就是每人2块半。

这里剩下的2块巧克力平均分成4份，每份也是半块巧克力。加上原来的2块就是每人2块半。虽然余数不同，但是继续分下去，每份分到的还是一样多的。

师：是呀，在这里，余数虽不同，但分到最后结果其实是一样的。老师告诉你们，现在我们还没有学过用小数来表示分得的结果（商），等到学到小数的计算时，这两个算式的商都可以统一用一个小数表示了，就是每人分到2.5块。

师：刚才我们通过猜想到验证，借助操作，明白了什么，你能说一说吗？

生：商不变的规律一直在，虽然余数变了，但其实是相等的。

师：那我们能不能试着把10÷3和100÷30也改编成一道实际问题。

生：有10捆小棒，每捆10根，每3捆放一盒，可以放多少盒？还余多少？

师：我们可以怎样列式？

生：10÷3=3（盒）……1（捆）

师：还可以怎样列式？

生：（10×10）÷（3×10）=3（盒）……10（根）

师：仔细观察这两个算式，你发现了什么？

生：“把10捆小棒，每3捆放一盒”,也可以“把100根小棒，每30根放一盒”，

10捆÷3捆 =         100根÷30根

3（盒）……1（捆） =       3（盒）……10（根）

师：10÷3和100÷30，计算结果不同，是因为单位不同，而1捆其实就等于10根。他们的计算道理也是一样的，即都是“小棒总数÷每盒要放的小棒数=盒数……剩余小棒数”。

师：如果把余数继续分下去呢？

生：10÷3=3……1，余下的1平均分给3份，每份是三分之一；100÷30=3……10，余下的10平均分给30份，每份也是三分之一。别看余数不一样，但其实最后分到的是一样的，所以结果还是相等的。

杜威说：“教育即经验的改造或改组。”所以，真正的教学需要了解“学生在哪里”，如果教师不知道学生在哪里，不从学生的既有经验出发，教学就炸不下根，就进不到学生心理。要让学生经历观察、猜想、操作、验证、讨论等活动过程，让学生明白算理，理解算理，感受数学的力量。

（江阴市利港实验小学 黄芬）