操场的面积到底有多大

江阴市南闸中心小学 徐国惠

【问题凝视】

苏教版数学六年级下册学生在用比例尺解决关于面积的实际问题时，出现了极高的错误率：

在比例尺为1:2000的图纸上量得长方形操场的长是6厘米，宽是2厘米，这个操场实际的面积是多少平方米？

图上面积：62=12平方厘米

实际面积：122000=24000平方厘米=2.4平方米

据统计，在解决该问题时，出现上述错误情况的学生达到了30%左右。通过对学生的访谈了解到，学生认为既然比例尺是1:2000，那说明实际的面积就应该是图上面积的2000倍。学生给出了自认为非常“充分合理”的解释。当我提醒学生操场的面积只有2.4平方米合理吗？学生似乎又否定了自己的答案。此时学生变得非常困惑，感觉自己方法没有问题，但为什么答案根本不合理呢？操场的面积到底有多大呢？

【成因透视】

一、建模体验缺失

教材中例题的教学创设了长方形草坪按一定比例缩小的情境，并分别告知了实际的长和宽以及图上的长和宽。然后提问：“你能分别写出草坪长、宽的图上距离和实际距离的比吗？”一方面勾联起了比例尺与图形的放大和缩小之间的联系，让学生初步体会到比例尺的本质就是图形的放大与缩小。另一方面通过两组比的比值相等隐含了同一幅图的比例尺相等的特点。但是，在此过程中学生只是通过教材预设按部就班地学习了比例尺的意义，后期的应用过程中只是机械地模仿，学生缺乏体验的过程，没有充分感知到知识产生的必要性，知识的学习只是停留在表层，以至于思维出现盲点，浑然不知症结所在。比例尺首先是一个比，描述的是图上距离和实际距离的倍比关系，关键要素是长度，而不是面积。平面图形在放大或缩小的过程中，边线长度的比和面积的比是不相等的，而这里，学生误以为比例尺是图上面积和实际面积的比，因此所以造成了上述的本质错误。

二、规律理解断层

比例尺的本质是长度的比，而非面积的比。但是这两者是互相关联的。教师在教学中应该建立起这两者之间的联系，让知识的形成更加结构化。而且在比例尺的教学之后教材安排了一节综合实践活动《面积的变化》，专门对图形的放大与缩小后长度比和面积比之间的关系进行了系统探究。但在实际教学中，有些教师以己度人，让学生自学或者一带而过，直接把规律让学生抄抄背背，自觉只要有规律的保驾护航，学生就能有效运用，而事实并非如此。

【出路审视】

一、激活内需 弥补缺失

在建构比例尺模型的时候，如果能建立在学生的内需的基础上，那无疑可增强学生对比例尺探究的欲望并加深对比例尺意义的理解。虽然比例尺在生活中运用相当广泛，但是应用范围是脱离学生的生活经验的，对于学生而言，什么是比例尺？何时要用到比例尺？基本都是零经验。在之前的数学学习中基本也是零需要。通过单元教材分析发现，运用比例尺本质追求是为了把图形按一定的比进行缩小。所以教学中要充分利用学生的前知，紧扣知识的内在关联，创设一个合情合理合拍的情境，让学生产生研究的动力和需要，在主动探究的过程中内化比例尺的意义，在对比练习中加固比例尺的意义。

二、充分探理 消除断层

学生需要在教师的关照之下才能拔节抽穗，揠苗助长只会让学生思维出现断层。学生必须清楚地知道根据比例尺是指图上距离和实际距离的倍比关系。为了让学生能够在边的倍比关系的基础上关联到面积的倍比关系，他们需要亲历一个扎实而完整地探理过程。只有建立在对规律的全方位的探究和验证的基础上，才能让规律上升为思维，才能寻找到知识的脉络与结构，让自己的思维更加的清晰，这样才不至于对规律产生混乱。

【片段重构】

片段一

自主建模 丰富体验

<一>激活内需

师：前两节课我们研究了图形的放大和缩小，学校有一个比较大的长方形操场，长是120米，宽是40米，你能运用图形的放大和缩小的知识把它画在纸吗？

<二>交流辨析

学生尝试画图后交流。

师：谁来展示并交流下你画的长方形操场？

生1上台展示

师：你画的长方形的长和宽分别是多少厘米？

生：长是3厘米，宽是1厘米。

师：你为什么画了一个长3厘米、宽1厘米的长方形呢？你是怎么想的？

生：我是把实际的操场按1:4000的比缩小了以后画的。

师：这里的前项1指的是谁？后项4000指的是谁？

生：1指的是缩小后也就是图上操场的长，4000指的是原来的也就是实际操场的长。

师：那图上的宽和实际的宽的比也是1:4000吗？

生：是的。

师：也就是说这里的1:4000就是指图上某条边和对应的实际某条边的比。

师：为了让其他同学都能看懂你的想法，可以把这个比标在图上。（生标出比）

师：同学们，评价一下他的想法怎么样？

生2：挺好的，但是我的想法跟他不一样。

师：说说你的想法。

生2：我画的长方形操场的长是6厘米，宽是2厘米。

师：为什么你画的长方形的大小和他的不一样呢？说说你的想法。

生2：我是把实际的操场按1:2000的比来缩小的。

师：这里的1:2000指的是谁和谁的比呢？

生2：图上某条边和实际某条边的比。

师：同学们，你们觉得这两位同学的方法都合理吗？

生齐：合理。

师：是的，这两位同学都选择了一个合适的比把实际的操场缩小了以后画在了练习纸上。可能其他同学还有不同的答案，就不一一展示了。不管哪一种结果，同学们都写出了一个比。

<三>概括抽象

师：像这里的1:4000、1:2000等，表示图上距离和实际距离的比，就叫做比例尺。比例尺的前项指的是图上某条边的长度，后项指的是与之对应的实际某条边的长度。比例尺通常要化成前项是1的比。

师：请同学们根据你所画的长方形标注好比例尺。

片段二

关联规律 操作验证

<一>规律猜测

师：我们知道了比例尺是1:2000就说明实际距离是图上距离的2000倍，也就是说实际的长是图上的长的2000倍，实际的宽也是图上的宽的2000倍，那猜一猜，实际的面积是图上面积的多少倍呢？

生1：2000倍

生2：应该4000000倍

师：到底是多少倍呢？我们可以通过计算来验证。请同学们分别算出实际的面积和图上的面积，最后再求出实际的面积师图上面积的多少倍。

生展示：12040=480平方米=4800000平方厘米

62=12平方厘米

4800000012=4000000倍

师：通过计算，我们发现，在1:2000的比例尺下，实际的每条边是图上对应边的2000倍，而实际的面积是图上面积的4000000倍。

师：刚才第二位同学们猜对了，那这其中到底蕴藏着怎样的规律呢？

生1猜：图形的每条边扩大几倍，面积就扩大它的平方倍。

生2猜：实际距离是图上距离的n倍，实际的面积就是图上面积的倍。

师：这只是你们的猜测，是否正确呢？我们需要验证。

<二>逐步验证

师：通常我们要先从简单的入手。一个正方形的边长扩大3倍，面积扩大了多少倍？

生：9倍

师：同意吗？

生：同意。

师：正方形的边长扩大n倍，面积就扩大倍。这是我们已经掌握的规律。

师：那在其他图形的放大和缩小的过程中，是不是也存在这样的关系呢？完成学习单1

（学习单1）

把长方形按一定的比放大，放大后的面积与原面积有什么关系？

长方形	原长	放大后的长	原宽	放大后的宽	原面积	放大后的面积
按2:1放大
按5:1放大
按12:1放大

结论：把长方形按n:1的比放大，

学生交流后总结得出：把长方形按n:1的比放大，放大后每条边是原图对应边的n倍，面积是原图的倍

<三>迁移推广

师：长方形中是这样的规律，那在其他图形中呢？请同学们举例验证，挖成学习单2

（学习单2）

请你选择三角形、梯形或者圆进行验证

三角形	原底	放大后的底	原高	放大后的高	原面积	放大后的面积
按（ ）:（ ）放大
按（ ）:（ ）放大
按（ ）:（ ）放大

梯形和圆的表格略

师：通过验证，你们有什么结论？

生交流：把平面图形按n:1的比放大，放大后每条边是原图对应边的n倍，面积是原图的倍

师：正因为这样，所以在把操场按照1:2000的比例尺画在图纸上以后，实际的面积应该是图上面积的4000000倍。

比例尺及其应用这部分内容具有较强的综合性和实践性的特点，比例尺的意义绝不是简单的告知，比例尺的运用过程中支撑的一些规律也不是简单的背诵而已，应追溯知识和规律的本源，让学生亲历思维过程，培养学生数学学习过程中的迁移能力。同时教师要时刻持着审慎的态度直面学生呈现的问题，把准学生的脉搏，这样才能找到契合学生的教学路径。

参考文献

［1］张文. 教学需切准学生思维的韵律前行［J］.新教师，2016，（6）

［2］王孙君. 规律：在探究思辨中建构［J］.小学教学参考，2018，（12）

［3］陈玉. 灵活表达 提升思维 感受价值［J］.小数数学教育，2020，（3）