运算律
数的加法和乘法的运算律，很多人（包括教师）把他们看成是简便运算的工具，这种认识是不够深刻的。
加法等四则运算是从实际问题引入的，由实际问题或几何意义很容易接受并承认加法和乘法的运算律。反过来，又把运算律作为简便运算的工具。这就是教师对于数的运算及其运算律大致的教学理解。
这里有几个问题值得深入思考（或者说是好奇心促使我们思考）：
第一，这些看起来没有任何疑义的教学程序，为什么会产生？
第二，仅有这些理解会有什么影响？
第三，如何更深刻理解并适当组织教学？
第四，什么是运算律？运算律是如何产生的？
（一）态度
首先是数学哲学观，或者说是态度。面对上述问题，无非是两类思考。第一类思考，这些看起来如此显然直观的事实，不需要太过认真去刨根问底。什么是数（自然数），什么是整数，什么是有理数，什么是实数，什么是运算律，不知道他们的定义也不影响数学学习和数学研究。
的确，正如克罗内克所言“上帝创造了自然数，其他一切都是人创造的”。在教学中也可以遵循此原则，我们承认自然数，然后就用自然数一步一步构造整数、分数、负数直到实数和复数。我们不去细问（不去好奇）这些构造的逻辑性，只从直观上加以解释。这些直观包括实际问题（比如数苹果的个数）和几何测量（比线段的长度累加，图形的面积，面积为2的边长的存在性等）。
用数轴上的点的平移变换解释数的加法，用点的位似变换解释数的乘法，用相反方向解释-a的意义。加一个正数就是点的正向平移，加一个负数就是点的反向平移，乘一个正数就是正向位似，乘一个负数就是反向位似。进而，可以解释正数乘负数等于负数，正数乘正数等于正数，负数乘负数等于正数。
借助数轴也可以解释减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。
我们今天并不是要否定直观的数学作用和实际问题对学习的价值，而是希望用好奇心去驱动，使得数学教师在直观和实际问题之外，还能掌握一些纯粹的数学本体知识。因此，我们的态度是第二类思考：按照什么逻辑体系能说说清楚“什么是运算律”，按照什么逻辑体系能证明“负负得正”。
（二）实数公理体系
回到数学本体，实数理论大致有两种途径构造。第一种：首先用ZFC集合论公理给出自然数概念。空集是0，{空集}是1，{空集，{空集}}是2，......，以此类推。然后定义加法和乘法，定义偏序关系，定义归纳法公理。第二步，用自然数集合的商集定义整数环。第三步，用整数环的商集定义有理数域。第四步，根据戴德金分割定义实数域。这样就构造了实数的概念，实数的加法、乘法，加法乘法的五种运算律，实数的序关系（也叫单调性定律，就是平常教师们常常说的不等式基本性质：不等式的传递性。不等式两边同加一个数，不等式方向不改变。不等式两边同乘一个正数，不改变不等式方向）
第一种构造法中，大家认为更严谨的来自《陶哲轩实分析》。这种构造法，要求非常谨慎，稍不留意容易出现纰漏或不够严谨。读起来和学起来也是相当地烧脑。因为在整个过程中，大量显然的事实都需要严格证明，相等关系也是需要定义的，1=1也不是事先承认的，需要通过相等关系的公理去证明。
第一种构造不适合中小学数学教师掌握，我们提供第二种构造实数的方式。第二种方式是直接定义实数，不是从自然数定义开始。
第二种实数构造法的大致框架：
第一组公理：集合R里有两种运算+和·，使得R(+, ·）是一个域。加法和乘法的五种运算律都在里面有定义。
第二组公理：在集合R里定义序关系（也就是单调性律）。基本上就是不等式的性质。
第三组公理：戴德金完备性公理。R中有上界的子集必有上确界。完备性公理等价于“R中单调有界的序列比收敛”，等价于区间套定理，等价于有限覆盖定理等。完备性公理刻画了实数的稠密性或者叫连续性。加上完备性公理实数才连续，直线（数轴）的点才与实数一一对应。
下面我们给出完整的希尔伯特实数公理体系。
其中公理4.3和公理4.4可以由前面的公理推证出来，可以不列为公理，此处为方便起见。
由实数公理可以证明相等关系“＝”满足自反性，传递性及加法（乘法）运算的相容性（即等量加等量还是等量）。也可以定义另一个序关系“≥”，可以证明“≥”序关系也满足传递性。在这些证明的基础上，下面我们证明所谓“负负得正”。
此处的证明是简化版的，中间许多命题都跳过了，比如0·a=0. 这些命题的补充并不是很困难的事情.
（三）回到开始的问题
如果我们用好奇心去问什么是加法，什么是乘法，忘却实际的量，回到数学本体，事实上什么加法什么是乘法，数学上无法直接定义的，那么如何来给出加法和乘法的意义呢？运算律（不是运算定理）就好像是给出了加法和乘法的数学意义，当然仅有加法和乘法的五个运算律（加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律）只能得到一些恒等关系，加上序关系才有不等关系。所以运算律尽管看起来有简便计算的作用，事实上是对加法和乘法的约束（公理）。加上完备性公理实数才连续，直线（数轴）的点才与实数一一对应。
正如前文所述，教师们从实际问题和几何直观入手，很容易引进加法和乘法的运算律，从小学低年级开始就有自然数的运算律，后来又有正分数及小数的运算律，到初中默认接受（或通过举例）有理数和实数的五种运算律，这是多数人的做法。但我们在学校观察中，也发现个别教师表现出对实际问题和几何直观的不甚满意，部分学生也对此有质疑（不是事实上的质疑，是原理上的质疑）。
情形一：只接受数学来源于实际问题，其口号是数学来源于生活。这些教师的数学哲学观决定了他们的数学教学观和数学教育观。此类数学哲学观产生的深层次原因，大致可以理解为其一是中国传统文化和传统哲学在教师身上的投影——实用主义哲学，凡事都得有用，没有实际用途的知识是不应该存在的。其二是课程改革中过于强化所谓数学的应用性，强化数学知识的情境化，使得数学来源于生活称为一种时髦和口号，而事实上，中小学数学课程里的知识要面对数学的应用差之万里，更少有数学是如何真实应用的经验和体会。其三是缺少对数学本体的根本认识，缺少对数学基础问题发展历史的基本了解。比如几何公理化体系的发展过程，实数理论的建构大致方式等等。在这些数学大厦中最重要最基础的数学“常识”方面仅仅依靠直观和实际背景的解释，从事数学教学是遗憾的。只接受这种数学哲学观下的教育，是不太关心本体论的，最多关系方法论，认识论也不是此观点需要研究的问题。目标很简单，是否有用。
情形二：坚持数学本体论，坚持数学是纯粹的抽象的，数学的符号不需要实际意义的支撑。当然这样的数学教师是不多的。历史上的数学家哈代可能是这方面的一个重要代表。哈代说“严格说起来根本没有所谓数学证明…，归根到底我们只是指出一些要点，…”。哈代甚至不承认数学需要用于物理学。希尔伯特在建立数学公理体系的时候，也对公理需要有实际意义的支撑持否定态度。毫无疑问，对于大多数学校和学生而言，这样的数学是枯燥无味的，也是难以入学的。但我们也不应该否定和完全排除所谓的数学精英教育，这种教育应该强化数学本体，强化数学的精神性与数学的理性，保持强烈的好奇心，感受证明的乐趣（尽管那些命题在直观意义下是如此显然），毕竟数学思维要区别于物理思维和实际问题解决的思维，要允许一部分充满好奇心的孩子刨根问底，不断追问直至数学的基础。我们长期失去好奇心，将会是致命的。好奇心产生真正的问题，好奇心产生真正的原创和核心技术。
情形三：这是多数教师的状态，他们在纯粹的数学与实际的数学之间。正如F·克莱因在《高观点下的初等数学》的开场白所言，他认为完全脱离意义的数学知识和数学推理是不可接受的。许多教师在面对不同水平的学生时，总在努力寻找一些几何直观、数形结合或者生活实际，帮助学生理解概念，帮助学生理解数学原理。事实上，在纯粹数学和实际数学之间建立平衡是一件艺术，许多优秀教师处理的非常好。这是我们基础数学教育的宝贵财富。需要注意的是，当教师引领学生们走进所谓严格的数学证明之后，就要用形式化推理完成数学证明，不能在证明过程中又回到教学引入时的状态，借助直观或实际形成证明过程，这样的话，平衡就没搞好，学生也会乱——何时可以借助直观，何时必须形式化推理。
（四）合理地组织教学
前文的分析可谓深刻而玄幻，老师们最关心的还是实际问题：如何组织教学（说到底实用主义哲学充满人们的思维空间）。我们也必须回到这个问题，这是教师培训者的职业要求。
小学阶段：总体来说，举例说明，面积直观，让学生认识运算律即可。但有一点点可以尝试（如果你的学生的数学学习期望较高），在中高年级学习了分数和小数之后，可以“证明”一下：分数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律，或者减少一点工作，“证明”一个运算律。证明的前提是承认自然数的运算律。
第二个建议，不要仅仅强调运算律是简便运算的工具。尽早结合数的模式，＝的认识，简单的证明等等（如证明分数的运算律）进入儿童早期代数思维的学习。在未知量中敢于使用运算律，将会极大地培养学生的早期代数思维习惯。
初中阶段：我的经历告诉我，初中学生会有很大可能性对老师提出能不能证明有理数的运算律。这些学生不是因为具体的计算困难而提出问题的，实际上是他们的好奇心还没有完全消失。建议：在承认自然数运算律的基础上，证明有理数的运算律。实数的运算律是无法证明的，因为没有完备性公理，就无法从间断的有理数扩展到连续的实数集合。可以给学生提问：什么是数的加法，什么是数的乘法，为什么不需要问什么是减法，什么是除法。这些问题都是直指实数公理体系的，虽然没有给学生讲实数公理体系。
学生可能还是举例说什么是加法，什么是乘法。进而追问：能给加法一个定义吗？结果显然是无法给出定义。这些运算律就是“箍”（约束）加法和乘法的，别跑偏了。在某种意义上，满足这些运算律的这两张运算就是加法和乘法。这段教学建议只限于学习目标是高要求的学生。
高中阶段：高中的运算丰富起来了，有集合的运算，向量的运算，实数和复数的运算，函数的运算，三角运算、指数运算和对数运算等等。有时候叫运算律，有时候叫运算性质，其实都是一个道理。
建议：第一，复数运算律可以证明，在承认实数运算律的前提下。第二，进一步让学生体会运算律就是约束某个数学概念的公理。比如对数运算性质是约束对数运算的。什么是对数函数？直观上是借助指数运算的逆运算获得，这是直观。形式上是一个定义在R+的函数满足运算满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(1)=0，就是一个对数函数。这种用运算律（这时律就不那么凸显）来约束而得到的就是抽象函数。第三，高阶建议。由复数扩展到四元数，感受运算律的作用。