基于核心素养培育的高中数学课堂教学设计探析
——以“不同函数增长的差异”教学设计为例
张龙伍
（江苏省江阴市成化高级中学，214423）
一、问题提出
随着高中数学新课程的改革和《普通高中数学课程标准（2017年版）》颁布实施，新课程提出了很多全新的教育理念，教师在课堂教学中，应做到“以人为本”，为学生提供丰富多彩的教学情境，激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极参与课堂教学的每个环节，丰富学生的学习方式，引导学生自己发现问题、提出问题、解决问题，自己探索得出数学结论，让学生主动经历数学知识形成与应用过程，体会蕴涵在其中的思想方法，培养学生创新精神和探索能力，促进学生全面发展．
《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确指出：数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成和发展的.数学核心素养是适应个人终身发展和社会发展需要的具有数学基本特征的思维品质与关键能力．如何培养学生的数学核心素养，已然成为当前课堂教学改革的热门话题，而课堂是让数学核心素养落地生根的主阵地．
基于此，笔者对“不同函数增长的差异”的教学设计谈点自己的拙见．
二、教学要素分析
（一）教学内容解读
本节课是新版教材人教2019A版普通高中教科书数学必修第一册第四章第4.4.3节《不同函数增长的差异》，从内容上看是在学习了指数函数、对数函数和幂函数之后的对函数学习的一次梳理和总结．通过对这三种函数图像及性质的对比探究，完成对函数增长快慢的认识，既是对三种函数学习的总结，也是为后续导数的学习做了铺垫。从数学思想方法上看，本节课突出体现了转化与化归、数与形结合等思想，同时培养和发展学生的数学直观、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养，因此本节课在整个高中数学中具有较重要的地位和作用．
（二）教学目标设置
根据学生的实际情况及新课标要求，制定如下教学目标：
（1）在信息技术的辅助下，了解指数函数、对数函数、一次函数的增长差异；
（2）经过探究对函数的图像观察，理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”的含义，培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流表达能力；
（3）在认识函数增长差异的过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数学应用的意识和探索数学能力．
三、教学过程设计
（一）引入实例，创设情境
【情境1】全球新冠肺炎，一年不到的时间，从发现第一个确诊者，截止2020年11月12日上午11:00，我国累计确诊92336人，海外累计确诊51803343人。我们国家在党和人民的共同努力下控制了疫情，对于海外疫情，这个数据恐怖吗？在疫情的初始阶段，在没有防控的情况下，增长速度快吗？目前什么情况？如果让你在已经学过的函数模型中寻找一些来自描述，你会选择什么样的函数？
【情境2】假设你又10万用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报10元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案？
【设计意图】通过具体的生活情境，引入本节课题，提出研究函数增长差异的问题的必要性，进一步培养和发展学生逻辑推理和数学抽象的核心素养．
（二）互动交流，探求新知
在我们学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数中哪些函数在定义域上是增函数？
我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．
虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．
下面就来研究一次函数，指数函数 ，对数函数在定义域内增长方式的差异．
【问题探究1】以函数与 为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异．
分析：(1) 在区间(-∞,0)上，指数函数值恒大于0，一次函数y=2x值恒大于0，所以我们重点研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异．
(2) 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：
(3) 观察两个函数图象及其增长方式：
①函数与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4)；②在区间(0,1)上，函数的图象位于y=2x之上;
③在区间(1,2)上，函数的图象位于y=2x之下；④在区间(2,3)上，函数的图象位于y=2x之上．
综上：虽然函数与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度不变，但是的增长速度改变，先慢后快．
【设计意图】
1．采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法．
2．经过学生自主探究，培养学生的观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流表达能力．
【思考2】请大家想象一下，取更大的x值，在更大的范围内两个函数图象的关系?
【总结1】函数与y=2x在[0,+∞)上增长快慢的不同如下：
虽然函数y=2x与在[0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度．尽管在x的一定范围内，，但由于的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个，当时，恒有．
【总结2】一般地指数函数与一次函数y=kx(k>0)的增长都与上述类似.即使k值远远大于a值，指数函数虽然有一段区间会小于y=kx(k>0)，但总会存在一个，当时，的增长速度会大大超过y=kx(k>0)的增长速度．
【设计意图】通过对指数函数和幂函数的图像的观察分析，说出自己的发现，并进行交流，归纳总结出两类函数增长的差异和特点，发展学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养．
【跟踪训练1】. 三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
其中关于x呈指数增长的变量是 .
【设计意图】通过跟踪训练1巩固所学知识，巩固对函数增长差异性的认识，增强学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理的核心素养．
【问题探究2】以函数与为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.
分析：(1) 在区间(-∞,0)上，对数函数没意义，一次函数值恒小于0，所以研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异.
(2) 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：
(3) 观察两个函数图象及其增长方式：
【总结3】虽然函数与在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异.
【思考3】将放大1000倍，将函数与比较，仍有上面规律吗？先想象一下，仍然有.
【总结4】一般地，虽然对数函数与一次函数 在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.
随着x的增大，一次函数保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢.
不论值比值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长会慢于的增长，因此总存在一个，当时，恒有.
【设计意图】通过对对数函数和幂函数的图像的观察分析，归纳总结出两类函数增长的差异和特点，发展学生逻辑推理、数学运算等核心素养．
【跟踪训练2】．函数的图象如图所示．
（1）试根据函数的增长差异指出曲线，分别对应的函数；
（2）比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对的大小进行比较).
【设计意图】通过跟踪训练2巩固所学知识，巩固对函数增长差异性的认识，增强学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理的核心素养．
【问题探究3】类比上述过程，
（1）画出一次函数，对数函数和指数函数的图象，并比较它们的增长差异；
【总结5】虽然函数，函数与在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异.
在(0,+∞)上增长速度不变，函数与在(0,+∞)上的增长速度在变化.
函数的图象越来越陡，就像与轴垂直一样；函数的图象越来越平缓，就像与轴平行一样.
（2）试着概括一次函数，对数函数和指数函数的增长差异；
【总结6】一般地，虽然一次函数，对数函数和指数函数在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.
随着x的增大，一次函数保持固定的增长速度，而指数函数的增长速度越来越快；对数函数的增长速度越来越慢.
不论值比值小多少，在一定范围内，可能会小于，但由于的增长会快于的增长，因此总存在一个，当时，恒有；
同样，不论值比值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长会慢于的增长，因此总存在一个，当时，恒有.
（3）讨论交流“直线上升”、“对数增长”、“指数爆炸”的含义．
直线上升：增长速度不变，是一个固定的值；
对数增长：增长速度越来越慢，图象越来越平缓，就像与轴平行一样；
指数爆炸：增长速度越来越快，以相同倍数增加，图象越来越陡，最终就像与轴垂直一样.
【思考4】你可以再举出几个生活中的例子吗？
（三）实例运用，巩固提高
1.下列函数中随的增大而增大且速度最快的是（ ）.
A. B. C. D.
2.函数的图象如图所示，则可能是（ ）.
A. B.
C. D.
3.某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案.
【设计意图】
1．通过课堂练习巩固本节所学知识，巩固对函数增长差异性的认识，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养．
2．运用函数增长差异解决实际问题,培养学生的数学建模的核心素养．
（四）归纳总结，提升认识
1．研究了一次函数，指数函数 ，对数函数在定义域内增长方式的差异;
2．根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数;
3．理解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义，在实际应用中会选择适当的函数模型.
【设计意图】学生根据课堂学习，自主总结知识要点、运算的思想方法。
（五）布置作业
1．教材P139练习1、2、3、4；
2．预习下节课内容
（六）教学反思
随着高中数学新课程的改革和《普通高中数学课程标准（2017年版）》颁布实施，新课程提出了很多全新的教育理念，教师在课堂教学中，应做到“以人为本”，为学生提供丰富多彩的教学情境，激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极参与课堂教学的每个环节，丰富学生的学习方式，引导学生自己发现问题、提出问题、解决问题，自己探索得出数学结论，让学生主动经历数学知识形成与应用过程，体会蕴涵在其中的思想方法，培养学生创新精神和探索能力，促进学生全面发展．