“含有中括号的三步混合运算”教学实录与评析
执教：江苏省江阴市辅延中心小学教育集团 杜海良
评析：江苏省江阴市辅延中心小学教育集团 沈俊杰
【教学内容】苏教版四上第74页例3和“练一练”，练习十二第1－3题。
【教学目标】
1. 让学生了解中括号产生的必要性，掌握含有中括号算式的运算顺序，准确、规范计算有关算式题。
2.感受中括号的作用，感受数学符号的奇妙与数学的文化价值，进一步形成混合运算的技能，发展运算能力；培养比较、判断和推理等思维能力。
3. 培养学生独立解决问题的意识和认真、严谨的学习习惯。
【教学过程】
一．感受学习需求——经历“中括号”的产生
1.不含括号
出示：60÷6＋4×2
师：这题会算吗？等于多少？
生：18
师：咦，我怎么算出是28呀？大家看，60除以6等于10，10＋4=14,14×2等于28呀？
生：老师，你算的顺序不对，不是从左往右，应该先乘除后加减。
小结：原来如此，先乘除后加减是四则混合运算的一个法则，既然是法则，人人都要遵守，也包括老师。
2. 添小括号
师：还是这个算式，如果我把得数18改成12，这个等式肯定是错误的，但你有什么办法让这个等式仍旧成立？
生：添一个括号，变成 60÷（6＋4）×2=12
师：添了括号，怎么算？
生：先算括号里的，先加再除最后乘，得数就是12了。
师：这括号在这儿起了什么作用？
生：算的顺序变了
师：非常好，“（ ）”是一个特殊的数学符号，它可以改变运算顺序，“（ ）”里的必须先算，这也是四则混合运算的一个法则。
3. 添中括号
出示：60÷（6＋4）×2=3
师：再接着这个算式，你能再添上一个数学符号，使这个算式的得数等于3吗？
（生独立尝试，师巡视板贴）
生1：60÷（（6＋4）×2）=3
生2：60÷[（6＋4）×2]=3
师：（指着中括号问）这是什么符号？
生：中括号
师：也是括号，这里已经有了括号了，为什么还要添？
生：用括号可以改变运算顺序，当一个括号不够用时，我们可以再添。
师：那你为什么不像上面那样，继续添小括号，非要用这么一个新的符号？
生1：已经用过了不能用
生2：两个小括号混在一起会搞不清。
师：大家意思是，小括号外面如果还要加一个括号的话，得换一种形式了，就像衬衣外面就不再穿衬衣了，得穿外套，这样就产生了中括号，这样表示更有层次，更清楚，是么？
生：（集体）是。
二．完善运算法则——明晰含“中括号”的运算顺序
1.运算顺序
师：现在这个算式，既有小括号，又有了中括号，我们知道括号里的要先算，那到底应该先算哪个呢？
生：先算小括号里面的，再算中括号里面的。
师：是的,中括号相当于小括号的哥哥，并且还是个好哥哥。让弟弟小括号里面的先算，再算哥哥中括号里的。
师：谁来说说怎么算出3的？
生：先算小括号里的6加4得10，再算中括号里的10乘2得20，最后60除以20就等于3。
师：得数果然是3了，大家这个中括号添的真灵。
师：现在我们知道了，当题目中既有小括号又有中括号时，我们应该怎么算？
生：先算小括号里的，再算中括号里的，最后算括号外的。
师：这同样是四则混合运算的法则，我们都要遵守。
2.比较
师：大家现在对四则混合运算的顺序能搞的清吗？我们来试一试，说说下面三道题的运算顺序，再算出得数。
90÷10+5×2 90÷（10+5）×2 90÷［（10+5）×2］
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90÷10+5×2
90÷（10+5）×2
90÷［（10+5）×2］（学生分别说出三题的运算顺序与结果）
师：比较一下这三题有什么相同的地方，又有什么不同的地方？
（学生回答略）
师：是的，虽然数相同，运算符号也相同，但因为有了括号，改变了运算顺序，结果就不同了，这就是括号的作用。
师：括号的这个作用能帮助我们解决生活中的一些问题。比如——
三．体验学习价值——用含“中括号”的式子解决问题
出题：明明带了210元钱，买8个网球后还剩42元。你能提出哪些可以解决的问题？
（学生回答略）
师：老师这有两个问题，你能列综合算式解答吗？
（1）每个网球的单价是多少？
生：(210－ 42) ÷8
师：这里为什么要用到小括号？
生：必选要先算出已经用去的钱，然后才能除以8，算出每个网球多少元。
（2）剩下的钱可以买几个这样的网球？
生：42 ÷[(210－ 42) ÷8]
师：这里为什么除了小括号，还要用到中括号？
生：要求还能买几个网球，必选要先求出每个网球的单价，就要先算后面，所以这时我们就需要中括号来帮忙。
师：如果没有这个中括号呢？
生：这个算式算的就没有意义了。
师：从这我们可以发现，中括号与小括号一样，都是为了解决问题，改变运算顺序的需要而产生的。
四．规范运算流程——提升运算技能
（指着黑板上的算式42 ÷[(210－ 42) ÷8]）
师：要求剩下的钱还能买几个网球，算式有点复杂了，你会用递等式计算吗？
（学生独立尝试，两生上黑板演算）
师：先算什么？
生：小括号里的。
师：没轮到算的应该怎么样？
生：抄下来。
师：中扩号“[ ]”直接抄下来，还是写成小括号“（ ）”？
（学生发表两种意见）
师：大家的意见不一致，这样，我们一起请教身边的“老师”！打开课本，翻到７４页。看看书上是怎么写的。
生：还是写中括号“[ ]”。
师：其实，两种做法都可以！不过，保留中括号能够表达更多的信息，看到这个中括号，我就知道，它的上一步刚刚完成了小括号的运算，我还知道，下一步就要算中括号里的了。而且，这么写，不需要作任何的改变，所以也就不容易出错。我这么说，大家同意吗？
生：同意！
师：好，我们就这么做！请计算（学生独立练习后交流）
525÷[(81－56)×3] 320÷［5×(26-18)］
五．总结应用提升
1.回顾拓展
师：今天我们学习了“含有中括号的三步混合运算”。
生：课学到这，你还有什么不明白的或者有什么想法么？
生1：有没有大括号？
（其他学生：有）
生2：括号是怎么产生的，为什么这么写？
生3：要改变运算顺序就产生括号了。
生4：有的时候在解决问题列出综合算式时，要先算加减后算乘除，就要用到括号了。
师：的确括号就这样产生了。而且，有时光有小括号还不够用，所以又有了中括号。那是不是有了中括号，以后所有的问题都能解决了呢？
生：（不太确定）也不是吧。
师：的确如此，以后学习中我们会遇到有时还需要用到大括号。看来中括号也只是小括号的二哥，大括号才是他们的大哥。具体的，请大家打开课本阅读“你知道吗？”
师：同学们，一个个括号的产生，其实都经历了漫长的发展历程，凝聚着人类无穷的智慧。
师：我们继续来让括号大显身手。
2．练习提升
（1）根据运算顺序添上小括号或中括号。
32×800－400÷25 先减再乘最后除。
32×800－400÷25 先除再减最后乘。
32×800－400÷25 先减再除最后乘。
（2）去掉下列算式中的多余括号。
［(36+24)÷15］-18
320÷[5×(26－18)]
24×［19－(2×6)］
【教学评析】
运算顺序“从左到右”和“先乘除后加减”都不是以客观规律为基础的定理或定律，而是一种人为的关于数学符号语言的规定，目的在于尽可能减少算式中为说明各个运算的顺序所用的括号。在小学数学教学中，这样的“关于数学符号语言的规定”往往被生搬硬套，为避免教学中的知识性错误，课堂上引领学生进行深度思考的案例更是少之又少。杜海良老师执教的这节课，在确保教学内容科学性的同时，又让形式化的数学符号活跃于课堂，学生禁不住要探寻“为什么是这样？”“是谁规定的？”“还可能是怎样？”括号的产生和使用自然而然，中括号如此，其它括号亦如此。
一． 括号内外见“小”见“大”
1.“衬衣外套”析层次，“哥哥弟弟”明顺序
细品老师课里的语言：“小括号外面如果还要加一个括号的话，得换一种形式了，就像衬衣外面就不再穿衬衣了，得穿外套，这样就产生了中括号。这样表示更有层次，更清楚。”学生在经历了中括号产生的过程、体会了中括号产生的必要后，这种清晰的层次感了然于心，这不仅仅是对“含有中括号的三步混合运算”的教学，也很好的沟通了其它结合符号产生的必要性——说明所需的运算顺序，进一步明确了中括号在其中的位置与顺序。整节课分明的教学层次也由此展开。
“中括号相当于小括号的哥哥，并且还是个好哥哥。让小弟小括号里面的先算，再算哥哥中括号里的。”又一个比方，赋予了数学符号生命，既然括号的产生是运算顺序的需要，那么顺序的明确就是学习括号的关键。区别于语文中的标点符号，结合符号与运算顺序有关。两个比方，从符号到物，从物到人，形象生动地明晰了中括号的运算顺序。
2.应用深化价值，练习提升素养
老师引导学生在解决实际问题的过程中，理解运算顺序的合理性。小括号和中括号在同一个问题情境中，因所求问题的不同选择和使用的括号也不相同，既与之前所学的小括号呼应和递进，又为后续学习多步计算的解决问题埋下伏笔。“有了中括号以后，是不是所有的问题都解决了？”将学生的思维再次引向深入，以期达到“寻梦？撑一支长篙，向青草更青处漫溯；满载一船星辉，在星辉斑斓里放歌”的目的，让整节课有了整体感和结构性。
整体性、结构性是数学学科的本质特性。用整体建构的理念指导学生学习一系列的结合符号，创建出结构化的数学课堂，引领学生在完善知识结构、丰富学习感受、发展思维素养的过程中，逐步地从自主走向自为，既符合数学学科的本质，又符合儿童数学学习的规律，更符合信息时代素养教育的大方向。
二．括号内外有“序”有“美”
1.规范指导恰到好处，练习提升融入文化
递等式计算中，是否保留中括号引发了大家的争议。然而，杜老师包容的点评中，既肯定了学生的多样化表达，也进一步明确了保留中括号做法的有益之处，更为练习提升做好了规范表达的准备。
我国著名数学家华罗庚教授说过：“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美。”括号的使用也有美感吗？这一点，老师早就洞察到了，并让这种美贯穿始终。“简洁美是数学永远追求的目标”正如杜老师所说，数学用空间形式和数量关系谱写了自然界和人类社会的内在旋律,以其简洁、优美的公式与定理揭示了世界的本质，给人以美感。结合符号是有限的，随着解题步骤的增多，算式也会变得庞大，老师适时的引导学生：括号的使用不在于丰富，而是在于简洁。作为人类智慧结晶的数学再次与美密切联系在了一起。
2.教学结构循序渐进，学生素养螺旋提升
数学的简单美，主要表现在数学的逻辑结构、数学的方法和表达形式的简单性，全课的设计结构也处处彰显美感。从“感受中括号产生的必要”到“明晰含中括号的顺序”、“应用中深化价值”，再到“递等式计算”和“练习提升”，看似轮廓清晰，却又丝丝入扣、紧密相连，体现了数学核心的基本思想和学科核心素养，不仅在教学内容本身把握得当，还使之蕴含在教学设计的结构之中，力求向学生展现数学本身的魅力——高度的抽象性，严密的逻辑性，广泛的应用性，让学科素养的积累和提升润物无声。
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